Упражнения для повторения курса 7–9 классов — с. 200
771. Решите систему уравнений: а) {x + xy + y = 11, x − xy + y = 1; б) {2x − y − xy = 14, x + 2y + xy = −7; в) {x² + y² = 34, xy = 15; г) {x² − y² = 12, xy = 8.
а) Сложим уравнения: 2(x + y) = 12, x + y = 6. Вычтем второе из первого: 2xy = 10, xy = 5. Числа x и y — корни уравнения t² − 6t + 5 = 0, t = 1 или t = 5. Решения (1; 5) и (5; 1).
б) Сложим уравнения: 3x + y = 7, y = 7 − 3x. Подставим во второе: x + 2(7 − 3x) + x(7 − 3x) = −7, x + 14 − 6x + 7x − 3x² = −7, 3x² − 2x − 21 = 0, D = 4 + 252 = 256, x = (2 ± 16)/6; x = 3 или x = −7/3. Тогда y = −2 или y = 7 + 7 = 14.
в) (x + y)² = x² + y² + 2xy = 34 + 30 = 64, x + y = 8 или x + y = −8. При x + y = 8, xy = 15 числа 3 и 5; при x + y = −8, xy = 15 числа −3 и −5. Решения (3; 5), (5; 3), (−3; −5), (−5; −3).
г) Из второго y = 8/x. Тогда x² − 64/x² = 12, x⁴ − 12x² − 64 = 0, x² = 16 или x² = −4 (не подходит). x = 4, y = 2 или x = −4, y = −2.
Ответ: а) (1; 5), (5; 1); б) (3; −2), (−2 1/3; 14); в) (−3; −5), (−5; −3), (3; 5), (5; 3); г) (−4; −2), (4; 2).
б) Сложим уравнения: 3x + y = 7, y = 7 − 3x. Подставим во второе: x + 2(7 − 3x) + x(7 − 3x) = −7, x + 14 − 6x + 7x − 3x² = −7, 3x² − 2x − 21 = 0, D = 4 + 252 = 256, x = (2 ± 16)/6; x = 3 или x = −7/3. Тогда y = −2 или y = 7 + 7 = 14.
в) (x + y)² = x² + y² + 2xy = 34 + 30 = 64, x + y = 8 или x + y = −8. При x + y = 8, xy = 15 числа 3 и 5; при x + y = −8, xy = 15 числа −3 и −5. Решения (3; 5), (5; 3), (−3; −5), (−5; −3).
г) Из второго y = 8/x. Тогда x² − 64/x² = 12, x⁴ − 12x² − 64 = 0, x² = 16 или x² = −4 (не подходит). x = 4, y = 2 или x = −4, y = −2.
Ответ: а) (1; 5), (5; 1); б) (3; −2), (−2 1/3; 14); в) (−3; −5), (−5; −3), (3; 5), (5; 3); г) (−4; −2), (4; 2).
772. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли: а) парабола y = x² − 6x + 8 и прямая x + y = 4; б) прямая x + y = 4 и гипербола y = 3/x; в) окружности x² + y² = 4 и (x − 3)² + y² = 1; г) окружность (x − 1)² + (y − 2)² = 4 и прямая x + 2y = 3. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.
Точки пересечения — решения системы из уравнений обеих линий.
а) y = 4 − x и y = x² − 6x + 8: x² − 6x + 8 = 4 − x, x² − 5x + 4 = 0, x = 1 или x = 4. Точки (1; 3) и (4; 0). Пересекаются.
б) y = 4 − x и y = 3/x: 4 − x = 3/x, x² − 4x + 3 = 0 (x ≠ 0), x = 1 или x = 3. Точки (1; 3) и (3; 1). Пересекаются.
в) Вычтем из первого уравнения второе: x² − (x − 3)² = 4 − 1, 6x − 9 = 3, x = 2. Тогда y² = 4 − 4 = 0, y = 0. Единственная общая точка (2; 0): окружности касаются (центры (0; 0) и (3; 0) удалены на 3 = 2 + 1). Окружности имеют ровно одну общую точку.
г) Из x + 2y = 3 имеем x = 3 − 2y. Тогда (2 − 2y)² + (y − 2)² = 4, 4(1 − y)² + (y − 2)² = 4, 5y² − 12y + 4 = 0, D = 144 − 80 = 64, y = (12 ± 8)/10; y = 2 или y = 0,4. Точки (−1; 2) и (2,2; 0,4). Пересекаются.
Графики: парабола с вершиной (3; −1), прямая через (0; 4) и (4; 0); гипербола и та же прямая; окружности радиусов 2 и 1 с центрами (0; 0) и (3; 0); окружность с центром (1; 2) радиуса 2 и прямая через (3; 0) и (−1; 2).
Ответ: а) да: (1; 3), (4; 0); б) да: (1; 3), (3; 1); в) окружности касаются в точке (2; 0); г) да: (−1; 2), (2,2; 0,4).
а) y = 4 − x и y = x² − 6x + 8: x² − 6x + 8 = 4 − x, x² − 5x + 4 = 0, x = 1 или x = 4. Точки (1; 3) и (4; 0). Пересекаются.
б) y = 4 − x и y = 3/x: 4 − x = 3/x, x² − 4x + 3 = 0 (x ≠ 0), x = 1 или x = 3. Точки (1; 3) и (3; 1). Пересекаются.
в) Вычтем из первого уравнения второе: x² − (x − 3)² = 4 − 1, 6x − 9 = 3, x = 2. Тогда y² = 4 − 4 = 0, y = 0. Единственная общая точка (2; 0): окружности касаются (центры (0; 0) и (3; 0) удалены на 3 = 2 + 1). Окружности имеют ровно одну общую точку.
г) Из x + 2y = 3 имеем x = 3 − 2y. Тогда (2 − 2y)² + (y − 2)² = 4, 4(1 − y)² + (y − 2)² = 4, 5y² − 12y + 4 = 0, D = 144 − 80 = 64, y = (12 ± 8)/10; y = 2 или y = 0,4. Точки (−1; 2) и (2,2; 0,4). Пересекаются.
Графики: парабола с вершиной (3; −1), прямая через (0; 4) и (4; 0); гипербола и та же прямая; окружности радиусов 2 и 1 с центрами (0; 0) и (3; 0); окружность с центром (1; 2) радиуса 2 и прямая через (3; 0) и (−1; 2).
Ответ: а) да: (1; 3), (4; 0); б) да: (1; 3), (3; 1); в) окружности касаются в точке (2; 0); г) да: (−1; 2), (2,2; 0,4).
773. При каком значении c имеет решение система уравнений {3x − y = 5, x − 3y = 7, 2x + 5y = c?
Система из трёх уравнений имеет решение, если у первых двух уравнений есть решение, которое удовлетворяет и третьему. Из первого y = 3x − 5. Подставим во второе: x − 9x + 15 = 7, −8x = −8, x = 1, y = −2. Подставим в третье: c = 2 · 1 + 5 · (−2) = 2 − 10 = −8.
Ответ: при c = −8.
Ответ: при c = −8.
774. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли парабола y = x² − x + 4 и гипербола y = 4/x. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.
Абсциссы общих точек — корни уравнения x² − x + 4 = 4/x при x ≠ 0. Умножим на x: x³ − x² + 4x − 4 = 0. Разложим левую часть группировкой: x²(x − 1) + 4(x − 1) = (x − 1)(x² + 4) = 0. Так как x² + 4 > 0, остаётся x = 1. Тогда y = 4/1 = 4; проверка: 1 − 1 + 4 = 4.
Иллюстрация: парабола с вершиной (0,5; 3,75) ветвями вверх лежит выше оси x и пересекает ветвь гиперболы y = 4/x (первая четверть) в одной точке (1; 4); ветвь гиперболы в третьей четверти лежит ниже оси x и параболы не пересекает.
Ответ: да, пересекаются в единственной точке (1; 4).
Иллюстрация: парабола с вершиной (0,5; 3,75) ветвями вверх лежит выше оси x и пересекает ветвь гиперболы y = 4/x (первая четверть) в одной точке (1; 4); ветвь гиперболы в третьей четверти лежит ниже оси x и параболы не пересекает.
Ответ: да, пересекаются в единственной точке (1; 4).
775. При каком значении a система уравнений {x + 3y = 2, xy = a имеет единственное решение?
Из первого уравнения x = 2 − 3y. Подставим во второе: (2 − 3y)y = a, 3y² − 2y + a = 0. Система имеет единственное решение, когда это квадратное уравнение имеет ровно один корень, то есть D = 0: 4 − 12a = 0, a = 1/3. Тогда y = 2/6 = 1/3, x = 2 − 1 = 1; решение (1; 1/3).
Проверка: 1 + 3 · 1/3 = 2; 1 · 1/3 = 1/3.
Ответ: при a = 1/3.
Проверка: 1 + 3 · 1/3 = 2; 1 · 1/3 = 1/3.
Ответ: при a = 1/3.
776. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь увеличится на 1/6. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на 1/10. Найдите эту дробь.
Пусть искомая дробь m/n. По условию (m − 1)/(n − 1) = m/n + 1/6 и (m + 1)/(n + 1) = m/n − 1/10.
Первое: (m − 1)/(n − 1) − m/n = (n(m − 1) − m(n − 1))/(n(n − 1)) = (m − n)/(n(n − 1)) = 1/6.
Второе: m/n − (m + 1)/(n + 1) = (m(n + 1) − n(m + 1))/(n(n + 1)) = (m − n)/(n(n + 1)) = 1/10.
Пусть d = m − n. Тогда 6d = n(n − 1) и 10d = n(n + 1). Разделим: 6/10 = (n − 1)/(n + 1), 6n + 6 = 10n − 10, n = 4. Тогда d = 4 · 3/6 = 2, m = 6.
Проверка: 5/3 − 6/4 = 5/3 − 3/2 = 1/6; 6/4 − 7/5 = 3/2 − 7/5 = 1/10.
Ответ: 6/4.
Первое: (m − 1)/(n − 1) − m/n = (n(m − 1) − m(n − 1))/(n(n − 1)) = (m − n)/(n(n − 1)) = 1/6.
Второе: m/n − (m + 1)/(n + 1) = (m(n + 1) − n(m + 1))/(n(n + 1)) = (m − n)/(n(n + 1)) = 1/10.
Пусть d = m − n. Тогда 6d = n(n − 1) и 10d = n(n + 1). Разделим: 6/10 = (n − 1)/(n + 1), 6n + 6 = 10n − 10, n = 4. Тогда d = 4 · 3/6 = 2, m = 6.
Проверка: 5/3 − 6/4 = 5/3 − 3/2 = 1/6; 6/4 − 7/5 = 3/2 − 7/5 = 1/10.
Ответ: 6/4.