Упражнения для повторения курса 7–9 классов — с. 198
753. Решите графически уравнение: а) x³ = 7x − 6; б) 6/x = 0,5x − 2; в) 4/x = x² − 2x; г) √x = x³.
Строим графики левой и правой частей в одной системе координат; корни — абсциссы точек пересечения. Найденные значения проверяем подстановкой.
а) Графики y = x³ и y = 7x − 6 пересекаются в трёх точках: (−3; −27), (1; 1), (2; 8). Проверка: (−3)³ = −27 = 7·(−3) − 6; 1 = 7 − 6; 8 = 14 − 6.
б) Графики y = 6/x (гипербола) и y = 0,5x − 2 (прямая) пересекаются в точках (−2; −3) и (6; 1). Проверка: 6/(−2) = −3 = 0,5·(−2) − 2; 6/6 = 1 = 0,5·6 − 2.
в) Графики y = 4/x и y = x² − 2x (парабола с вершиной (1; −1)) пересекаются в одной точке с абсциссой x ≈ 2,6 (уравнение равносильно x³ − 2x² − 4 = 0; при x = 2,6 значение левой части ≈ 0,06).
г) Графики y = √x и y = x³ пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1). Проверка: √1 = 1 = 1³, √0 = 0 = 0³.
Ответ: а) −3; 1; 2; б) −2; 6; в) x ≈ 2,6; г) 0; 1.
Оговорка: корень в пункте в) найден приближённо, как и положено при графическом решении.
а) Графики y = x³ и y = 7x − 6 пересекаются в трёх точках: (−3; −27), (1; 1), (2; 8). Проверка: (−3)³ = −27 = 7·(−3) − 6; 1 = 7 − 6; 8 = 14 − 6.
б) Графики y = 6/x (гипербола) и y = 0,5x − 2 (прямая) пересекаются в точках (−2; −3) и (6; 1). Проверка: 6/(−2) = −3 = 0,5·(−2) − 2; 6/6 = 1 = 0,5·6 − 2.
в) Графики y = 4/x и y = x² − 2x (парабола с вершиной (1; −1)) пересекаются в одной точке с абсциссой x ≈ 2,6 (уравнение равносильно x³ − 2x² − 4 = 0; при x = 2,6 значение левой части ≈ 0,06).
г) Графики y = √x и y = x³ пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1). Проверка: √1 = 1 = 1³, √0 = 0 = 0³.
Ответ: а) −3; 1; 2; б) −2; 6; в) x ≈ 2,6; г) 0; 1.
Оговорка: корень в пункте в) найден приближённо, как и положено при графическом решении.
754. Решите систему уравнений: а) {4x − y = 17, y + 6x = 23; б) {6x − 10y = 11, 5y + 7x = 19; в) {5x = y + 50, −3,4x + 2,6y = 14; г) {4x − 2y = 3, 13x + 6y = −1.
а) Сложим уравнения: (4x − y) + (y + 6x) = 17 + 23, 10x = 40, x = 4. Из первого y = 4x − 17 = −1.
б) Умножим второе уравнение на 2: 10y + 14x = 38. Сложим с первым: 6x − 10y + 14x + 10y = 11 + 38, 20x = 49, x = 2,45. Тогда 5y = 19 − 7 · 2,45 = 19 − 17,15 = 1,85, y = 0,37.
в) Из первого y = 5x − 50. Подставим во второе: −3,4x + 2,6(5x − 50) = 14, −3,4x + 13x − 130 = 14, 9,6x = 144, x = 15. Тогда y = 75 − 50 = 25.
г) Умножим первое уравнение на 3: 12x − 6y = 9. Сложим со вторым: 25x = 8, x = 0,32. Тогда 2y = 4x − 3 = 1,28 − 3 = −1,72, y = −0,86.
Ответ: а) (4; −1); б) (2,45; 0,37); в) (15; 25); г) (0,32; −0,86).
б) Умножим второе уравнение на 2: 10y + 14x = 38. Сложим с первым: 6x − 10y + 14x + 10y = 11 + 38, 20x = 49, x = 2,45. Тогда 5y = 19 − 7 · 2,45 = 19 − 17,15 = 1,85, y = 0,37.
в) Из первого y = 5x − 50. Подставим во второе: −3,4x + 2,6(5x − 50) = 14, −3,4x + 13x − 130 = 14, 9,6x = 144, x = 15. Тогда y = 75 − 50 = 25.
г) Умножим первое уравнение на 3: 12x − 6y = 9. Сложим со вторым: 25x = 8, x = 0,32. Тогда 2y = 4x − 3 = 1,28 − 3 = −1,72, y = −0,86.
Ответ: а) (4; −1); б) (2,45; 0,37); в) (15; 25); г) (0,32; −0,86).
755. Решите систему уравнений: а) {(2x − y)/3 − (x − 2y)/2 = 3/2, (2x + y)/2 − (x + 2y)/3 = 1/3; б) {(x − y + 1)/2 + (x + y − 1)/5 = 7, (x − y + 1)/3 − (x + y − 1)/4 = −3.
а) Умножим первое уравнение на 6: 2(2x − y) − 3(x − 2y) = 9, то есть 4x − 2y − 3x + 6y = 9, x + 4y = 9. Умножим второе уравнение на 6: 3(2x + y) − 2(x + 2y) = 2, то есть 6x + 3y − 2x − 4y = 2, 4x − y = 2.
Из второго y = 4x − 2. Подставим в первое: x + 16x − 8 = 9, 17x = 17, x = 1, y = 2.
Проверка: (2 − 2)/3 − (1 − 4)/2 = 0 + 1,5 = 3/2; (2 + 2)/2 − (1 + 4)/3 = 2 − 5/3 = 1/3.
б) Введём новые переменные u = x − y + 1 и v = x + y − 1. Система примет вид u/2 + v/5 = 7, u/3 − v/4 = −3. Умножим первое на 10: 5u + 2v = 70; второе на 12: 4u − 3v = −36. Умножим первое на 3, второе на 2 и сложим: 15u + 6v + 8u − 6v = 210 − 72, 23u = 138, u = 6. Тогда 2v = 70 − 30 = 40, v = 20.
Отсюда x − y + 1 = 6, x − y = 5, и x + y − 1 = 20, x + y = 21. Складываем: 2x = 26, x = 13, y = 8.
Ответ: а) (1; 2); б) (13; 8).
Из второго y = 4x − 2. Подставим в первое: x + 16x − 8 = 9, 17x = 17, x = 1, y = 2.
Проверка: (2 − 2)/3 − (1 − 4)/2 = 0 + 1,5 = 3/2; (2 + 2)/2 − (1 + 4)/3 = 2 − 5/3 = 1/3.
б) Введём новые переменные u = x − y + 1 и v = x + y − 1. Система примет вид u/2 + v/5 = 7, u/3 − v/4 = −3. Умножим первое на 10: 5u + 2v = 70; второе на 12: 4u − 3v = −36. Умножим первое на 3, второе на 2 и сложим: 15u + 6v + 8u − 6v = 210 − 72, 23u = 138, u = 6. Тогда 2v = 70 − 30 = 40, v = 20.
Отсюда x − y + 1 = 6, x − y = 5, и x + y − 1 = 20, x + y = 21. Складываем: 2x = 26, x = 13, y = 8.
Ответ: а) (1; 2); б) (13; 8).
756. Решите систему уравнений {ax − 3y = 13, 2x + by = 5 с переменными x и y, если одним из решений первого уравнения является пара чисел (8; 1), а второго — пара чисел (5; −1).
Пара (8; 1) удовлетворяет первому уравнению: 8a − 3 = 13, 8a = 16, a = 2.
Пара (5; −1) удовлетворяет второму уравнению: 10 − b = 5, b = 5.
Получаем систему 2x − 3y = 13, 2x + 5y = 5. Вычтем из второго уравнения первое: 8y = −8, y = −1. Тогда 2x = 13 + 3y = 10, x = 5.
Проверка: 2·5 − 3·(−1) = 13; 2·5 + 5·(−1) = 5.
Ответ: a = 2, b = 5; решение системы (5; −1).
Пара (5; −1) удовлетворяет второму уравнению: 10 − b = 5, b = 5.
Получаем систему 2x − 3y = 13, 2x + 5y = 5. Вычтем из второго уравнения первое: 8y = −8, y = −1. Тогда 2x = 13 + 3y = 10, x = 5.
Проверка: 2·5 − 3·(−1) = 13; 2·5 + 5·(−1) = 5.
Ответ: a = 2, b = 5; решение системы (5; −1).
757. Каково расстояние от точки пересечения прямых 5x − 2y = −25 и −4x + 3y = 27: а) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат?
Найдём точку пересечения, решив систему 5x − 2y = −25, −4x + 3y = 27. Умножим первое уравнение на 3, второе на 2: 15x − 6y = −75, −8x + 6y = 54. Сложим: 7x = −21, x = −3. Тогда 2y = 5x + 25 = 10, y = 5. Точка (−3; 5).
а) Расстояние до оси абсцисс равно модулю ординаты: |5| = 5.
б) Расстояние до оси ординат равно модулю абсциссы: |−3| = 3.
в) Расстояние до начала координат √((−3)² + 5²) = √34.
Ответ: а) 5; б) 3; в) √34.
а) Расстояние до оси абсцисс равно модулю ординаты: |5| = 5.
б) Расстояние до оси ординат равно модулю абсциссы: |−3| = 3.
в) Расстояние до начала координат √((−3)² + 5²) = √34.
Ответ: а) 5; б) 3; в) √34.
758. Подберите значения k и b так, чтобы система уравнений {y = kx + b, y = 2,5x − 3: а) не имела решений; б) имела бесконечно много решений; в) имела единственным решением пару чисел, в которой x = 4.
Решения системы — общие точки двух прямых.
а) Решений нет, если прямые параллельны и не совпадают: угловые коэффициенты равны, свободные члены различны: k = 2,5, b ≠ −3. Например, k = 2,5, b = 0.
б) Бесконечно много решений, если прямые совпадают: k = 2,5, b = −3.
в) При x = 4 вторая прямая даёт y = 2,5 · 4 − 3 = 7. Первая прямая должна проходить через точку (4; 7) и не совпадать со второй: 4k + b = 7, k ≠ 2,5. Например, k = 1, b = 3 (прямая y = x + 3).
Ответ: а) k = 2,5, b ≠ −3 (например, b = 0); б) k = 2,5, b = −3; в) 4k + b = 7, k ≠ 2,5 (например, k = 1, b = 3).
Оговорка: в пунктах а) и в) допустимы и другие значения, удовлетворяющие указанным условиям.
а) Решений нет, если прямые параллельны и не совпадают: угловые коэффициенты равны, свободные члены различны: k = 2,5, b ≠ −3. Например, k = 2,5, b = 0.
б) Бесконечно много решений, если прямые совпадают: k = 2,5, b = −3.
в) При x = 4 вторая прямая даёт y = 2,5 · 4 − 3 = 7. Первая прямая должна проходить через точку (4; 7) и не совпадать со второй: 4k + b = 7, k ≠ 2,5. Например, k = 1, b = 3 (прямая y = x + 3).
Ответ: а) k = 2,5, b ≠ −3 (например, b = 0); б) k = 2,5, b = −3; в) 4k + b = 7, k ≠ 2,5 (например, k = 1, b = 3).
Оговорка: в пунктах а) и в) допустимы и другие значения, удовлетворяющие указанным условиям.
759. Принадлежит ли точка пересечения прямых −2x + y = 11 и 3x + 2y = 1 прямой: а) 10x − 3y = −45; б) −7x + 9y = 65?
Найдём точку пересечения: из первого уравнения y = 2x + 11. Подставим во второе: 3x + 4x + 22 = 1, 7x = −21, x = −3, y = 5. Точка (−3; 5).
а) 10 · (−3) − 3 · 5 = −30 − 15 = −45 — равенство верно, точка принадлежит прямой.
б) −7 · (−3) + 9 · 5 = 21 + 45 = 66 ≠ 65 — точка не принадлежит прямой.
Ответ: а) да; б) нет.
а) 10 · (−3) − 3 · 5 = −30 − 15 = −45 — равенство верно, точка принадлежит прямой.
б) −7 · (−3) + 9 · 5 = 21 + 45 = 66 ≠ 65 — точка не принадлежит прямой.
Ответ: а) да; б) нет.
760. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точки: а) (0; 30) и (6; 0); б) (2; 3) и (−2; 10).
Ищем уравнение в виде y = kx + b.
а) Точка (0; 30) даёт b = 30. Точка (6; 0): 0 = 6k + 30, k = −5. Прямая y = −5x + 30, или 5x + y = 30.
б) Подставим обе точки: 3 = 2k + b и 10 = −2k + b. Сложим: 13 = 2b, b = 6,5. Тогда 2k = 3 − 6,5 = −3,5, k = −1,75. Прямая y = −1,75x + 6,5, или 7x + 4y = 26.
Проверка б): при x = −2: y = 3,5 + 6,5 = 10.
Ответ: а) y = −5x + 30; б) y = −1,75x + 6,5.
а) Точка (0; 30) даёт b = 30. Точка (6; 0): 0 = 6k + 30, k = −5. Прямая y = −5x + 30, или 5x + y = 30.
б) Подставим обе точки: 3 = 2k + b и 10 = −2k + b. Сложим: 13 = 2b, b = 6,5. Тогда 2k = 3 − 6,5 = −3,5, k = −1,75. Прямая y = −1,75x + 6,5, или 7x + 4y = 26.
Проверка б): при x = −2: y = 3,5 + 6,5 = 10.
Ответ: а) y = −5x + 30; б) y = −1,75x + 6,5.
761. Найдите такие значения коэффициентов a и b, при которых точки M(2; −3) и N(1; 4) принадлежат параболе y = ax² + bx.
Подставим координаты точек в уравнение параболы.
M(2; −3): 4a + 2b = −3. N(1; 4): a + b = 4.
Из второго b = 4 − a. Тогда 4a + 8 − 2a = −3, 2a = −11, a = −5,5, b = 9,5.
Проверка: 4 · (−5,5) + 2 · 9,5 = −22 + 19 = −3; −5,5 + 9,5 = 4.
Ответ: a = −5,5, b = 9,5.
M(2; −3): 4a + 2b = −3. N(1; 4): a + b = 4.
Из второго b = 4 − a. Тогда 4a + 8 − 2a = −3, 2a = −11, a = −5,5, b = 9,5.
Проверка: 4 · (−5,5) + 2 · 9,5 = −22 + 19 = −3; −5,5 + 9,5 = 4.
Ответ: a = −5,5, b = 9,5.