Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Уравнения и системы уравнений — с. 196
738. Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 6 ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на 5 ч больше, чем второй. За какое время может выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно?
Пусть вторая бригада выполняет работу за x ч, тогда первая за x + 5 ч. За 1 час они выполняют 1/x и 1/(x + 5) работы, вместе 1/6.
1/x + 1/(x + 5) = 1/6. Умножим на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5); x² − 7x − 30 = 0; D = 169; x = (7 + 13)/2 = 10 (второй корень отрицателен). Вторая бригада 10 ч, первая 15 ч.
Ответ: первая за 15 ч, вторая за 10 ч.
1/x + 1/(x + 5) = 1/6. Умножим на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5); x² − 7x − 30 = 0; D = 169; x = (7 + 13)/2 = 10 (второй корень отрицателен). Вторая бригада 10 ч, первая 15 ч.
Ответ: первая за 15 ч, вторая за 10 ч.
739. Две автомашины отправились одновременно из села в город, который удалён на 180 км. Одна автомашина пришла в город на 45 мин позже другой, так как её скорость была на 20 км/ч меньше. С какой скоростью шла каждая автомашина?
Пусть скорость быстрой машины v км/ч, медленной v − 20 км/ч. Время в пути 180/v и 180/(v − 20) ч; разность 45 мин = 3/4 ч.
180/(v − 20) − 180/v = 3/4. Приведём: 180 · 20/(v(v − 20)) = 3/4; v(v − 20) = 4800; v² − 20v − 4800 = 0; D = 400 + 19 200 = 19 600 = 140²; v = (20 + 140)/2 = 80. Медленная машина шла со скоростью 60 км/ч.
Ответ: 80 км/ч и 60 км/ч.
180/(v − 20) − 180/v = 3/4. Приведём: 180 · 20/(v(v − 20)) = 3/4; v(v − 20) = 4800; v² − 20v − 4800 = 0; D = 400 + 19 200 = 19 600 = 140²; v = (20 + 140)/2 = 80. Медленная машина шла со скоростью 60 км/ч.
Ответ: 80 км/ч и 60 км/ч.
740. Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч.
Пусть скорость лодки в стоячей воде v км/ч. По течению v + 3, против течения v − 3. 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 5. Умножим на (v + 3)(v − 3): 36(v − 3) + 36(v + 3) = 5(v² − 9); 72v = 5v² − 45; 5v² − 72v − 45 = 0; D = 5184 + 900 = 6084 = 78²; v = (72 + 78)/10 = 15 (второй корень отрицателен).
Ответ: 15 км/ч.
Ответ: 15 км/ч.
741. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км против течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч.
Пусть скорость течения x км/ч (0 < x < 10). 3 ч 15 мин = 3,25 ч. 18/(10 + x) + 14/(10 − x) = 3,25. Умножим на (10 + x)(10 − x): 18(10 − x) + 14(10 + x) = 3,25(100 − x²); 320 − 4x = 325 − 3,25x²; 3,25x² − 4x − 5 = 0; умножим на 4: 13x² − 16x − 20 = 0; D = 256 + 1040 = 1296 = 36²; x = (16 + 36)/26 = 2 (второй корень отрицателен).
Ответ: 2 км/ч.
Ответ: 2 км/ч.
742. Катер прошёл 75 км по течению реки и столько же против течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения равна 5 км/ч?
Пусть скорость катера в стоячей воде v км/ч (v > 5). Время по течению и против: 75/(v + 5) + 75/(v − 5). Время в стоячей воде на 80 км: 80/v. По условию 75/(v + 5) + 75/(v − 5) = 2 · 80/v.
Левая часть 75 · 2v/(v² − 25) = 150v/(v² − 25). Тогда 150v/(v² − 25) = 160/v; 150v² = 160v² − 4000; 10v² = 4000; v² = 400; v = 20 (v > 0).
Ответ: 20 км/ч.
Левая часть 75 · 2v/(v² − 25) = 150v/(v² − 25). Тогда 150v/(v² − 25) = 160/v; 150v² = 160v² − 4000; 10v² = 4000; v² = 400; v = 20 (v > 0).
Ответ: 20 км/ч.
743. Токарь должен был обработать 240 деталей к определённому сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и потому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?
Пусть по плану x деталей в час, тогда фактически x + 2. Время по плану 240/x ч, фактическое 240/(x + 2) ч; разница 4 ч.
240/x − 240/(x + 2) = 4. Умножим на x(x + 2): 240 · 2 = 4x(x + 2); x² + 2x − 120 = 0; D = 484; x = (−2 + 22)/2 = 10 (второй корень отрицателен).
Ответ: 10 деталей в час.
240/x − 240/(x + 2) = 4. Умножим на x(x + 2): 240 · 2 = 4x(x + 2); x² + 2x − 120 = 0; D = 484; x = (−2 + 22)/2 = 10 (второй корень отрицателен).
Ответ: 10 деталей в час.
744. Сотрудник типографии должен набрать к определённому сроку рукопись объёмом 150 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем обычно, то закончит работу на 1 день раньше намеченного срока. Сколько страниц в день обычно набирает сотрудник?
Пусть обычно он набирает x страниц в день, тогда при ускорении x + 5. Время 150/x и 150/(x + 5) дней; разница 1 день.
150/x − 150/(x + 5) = 1. Умножим на x(x + 5): 750 = x(x + 5); x² + 5x − 750 = 0; D = 25 + 3000 = 3025 = 55²; x = (−5 + 55)/2 = 25 (второй корень отрицателен).
Ответ: 25 страниц в день.
150/x − 150/(x + 5) = 1. Умножим на x(x + 5): 750 = x(x + 5); x² + 5x − 750 = 0; D = 25 + 3000 = 3025 = 55²; x = (−5 + 55)/2 = 25 (второй корень отрицателен).
Ответ: 25 страниц в день.