Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Тождественные преобразования — с. 194
720. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) 3x/(7√x); б) 5/√(ab); в) 4/(√c − 1); г) 1/(2√x + 3√y).
Умножаем числитель и знаменатель на выражение, которое избавляет знаменатель от корней.
а) 3x · √x/(7√x · √x) = 3x√x/(7x) = 3√x/7 (x > 0).
б) 5√(ab)/(√(ab) · √(ab)) = 5√(ab)/(ab).
в) Умножаем на √c + 1: 4(√c + 1)/((√c − 1)(√c + 1)) = 4(√c + 1)/(c − 1).
г) Умножаем на 2√x − 3√y: (2√x − 3√y)/((2√x)² − (3√y)²) = (2√x − 3√y)/(4x − 9y).
Ответ: а) 3√x/7; б) 5√(ab)/(ab); в) 4(√c + 1)/(c − 1); г) (2√x − 3√y)/(4x − 9y).
а) 3x · √x/(7√x · √x) = 3x√x/(7x) = 3√x/7 (x > 0).
б) 5√(ab)/(√(ab) · √(ab)) = 5√(ab)/(ab).
в) Умножаем на √c + 1: 4(√c + 1)/((√c − 1)(√c + 1)) = 4(√c + 1)/(c − 1).
г) Умножаем на 2√x − 3√y: (2√x − 3√y)/((2√x)² − (3√y)²) = (2√x − 3√y)/(4x − 9y).
Ответ: а) 3√x/7; б) 5√(ab)/(ab); в) 4(√c + 1)/(c − 1); г) (2√x − 3√y)/(4x − 9y).
721. Докажите, что: а) (x − y)/(x√y − y√x) = √y/y + √x/x; б) (a − b)/(a√b + b√a) = √b/b − √a/a.
Все переменные положительны.
а) x√y − y√x = √x · √x · √y − √y · √y · √x = √(xy)(√x − √y); x − y = (√x − √y)(√x + √y). Левая часть равна (√x + √y)/√(xy) = √x/√(xy) + √y/√(xy) = 1/√y + 1/√x = √y/y + √x/x.
б) a√b + b√a = √(ab)(√a + √b); a − b = (√a − √b)(√a + √b). Левая часть равна (√a − √b)/√(ab) = √a/√(ab) − √b/√(ab) = 1/√b − 1/√a = √b/b − √a/a.
Тождества доказаны.
а) x√y − y√x = √x · √x · √y − √y · √y · √x = √(xy)(√x − √y); x − y = (√x − √y)(√x + √y). Левая часть равна (√x + √y)/√(xy) = √x/√(xy) + √y/√(xy) = 1/√y + 1/√x = √y/y + √x/x.
б) a√b + b√a = √(ab)(√a + √b); a − b = (√a − √b)(√a + √b). Левая часть равна (√a − √b)/√(ab) = √a/√(ab) − √b/√(ab) = 1/√b − 1/√a = √b/b − √a/a.
Тождества доказаны.
722. Решите уравнение: а) 3x(x − 1) − 17 = x(1 + 3x) + 1; б) 2x − (x + 2)(x − 2) = 5 − (x − 1)²; в) (3x + 1)/2 = (2x − 3)/5; г) (x − 3)/6 + x = (2x − 1)/3 − (4 − x)/2.
а) 3x² − 3x − 17 = x + 3x² + 1; −4x = 18; x = −4,5.
б) Левая часть 2x − (x² − 4) = −x² + 2x + 4. Правая 5 − (x² − 2x + 1) = −x² + 2x + 4. Части совпадают, равенство верно при любом x.
в) Умножим на 10: 5(3x + 1) = 2(2x − 3); 15x + 5 = 4x − 6; 11x = −11; x = −1.
г) Умножим на 6: x − 3 + 6x = 2(2x − 1) − 3(4 − x); 7x − 3 = 4x − 2 − 12 + 3x; 7x − 3 = 7x − 14; −3 = −14 — неверно, корней нет.
Ответ: а) −4,5; б) любое число; в) −1; г) корней нет.
б) Левая часть 2x − (x² − 4) = −x² + 2x + 4. Правая 5 − (x² − 2x + 1) = −x² + 2x + 4. Части совпадают, равенство верно при любом x.
в) Умножим на 10: 5(3x + 1) = 2(2x − 3); 15x + 5 = 4x − 6; 11x = −11; x = −1.
г) Умножим на 6: x − 3 + 6x = 2(2x − 1) − 3(4 − x); 7x − 3 = 4x − 2 − 12 + 3x; 7x − 3 = 7x − 14; −3 = −14 — неверно, корней нет.
Ответ: а) −4,5; б) любое число; в) −1; г) корней нет.
723. От фермы до станции Пётр может доехать на велосипеде или дойти пешком. Идёт он со скоростью 6 км/ч, а на велосипеде едет со скоростью 16 км/ч. Каково расстояние от фермы до станции, если на велосипеде Пётр тратит на этот путь на 40 мин меньше, чем пешком?
Пусть расстояние s км. Пешком Пётр тратит s/6 ч, на велосипеде s/16 ч. Разность 40 мин = 2/3 ч.
s/6 − s/16 = 2/3. Умножим на 48: 8s − 3s = 32, 5s = 32, s = 6,4.
Ответ: 6,4 км.
s/6 − s/16 = 2/3. Умножим на 48: 8s − 3s = 32, 5s = 32, s = 6,4.
Ответ: 6,4 км.
724. Расстояние от города A до города B поезд должен проходить по расписанию за 4 ч 30 мин. По техническим причинам он был задержан с отправлением из города A на 30 мин. Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в город B вовремя. Найдите расстояние между городами A и B.
Пусть скорость по расписанию v км/ч, тогда расстояние s = 4,5v. Из-за задержки на 0,5 ч поезд был в пути 4,5 − 0,5 = 4 ч со скоростью v + 10: s = 4(v + 10).
4,5v = 4v + 40; 0,5v = 40; v = 80. s = 4,5 · 80 = 360.
Ответ: 360 км.
4,5v = 4v + 40; 0,5v = 40; v = 80. s = 4,5 · 80 = 360.
Ответ: 360 км.
725. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через 30 мин навстречу ему из пункта B в пункт A выехал велосипедист. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода. Велосипедист через 1,5 ч после выезда встретил пешехода. С какой скоростью шёл пешеход и ехал велосипедист, если известно, что расстояние между пунктами A и B равно 26 км?
Пусть скорость пешехода x км/ч, велосипедиста x + 8 км/ч. К моменту встречи велосипедист ехал 1,5 ч, пешеход шёл 1,5 + 0,5 = 2 ч. Вместе они прошли 26 км.
2x + 1,5(x + 8) = 26; 3,5x + 12 = 26; 3,5x = 14; x = 4. Скорость велосипедиста 4 + 8 = 12.
Ответ: пешеход шёл со скоростью 4 км/ч, велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч.
2x + 1,5(x + 8) = 26; 3,5x + 12 = 26; 3,5x = 14; x = 4. Скорость велосипедиста 4 + 8 = 12.
Ответ: пешеход шёл со скоростью 4 км/ч, велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч.
726. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 11,5. Второе число в 1,5 раза меньше первого и на 10 меньше третьего, а четвёртое равно сумме первого и второго. Найдите эти числа.
Сумма четырёх чисел 4 · 11,5 = 46. Пусть второе число b; тогда первое 1,5b, третье b + 10, четвёртое 1,5b + b = 2,5b.
1,5b + b + (b + 10) + 2,5b = 46; 6b + 10 = 46; b = 6.
Первое 1,5 · 6 = 9; второе 6; третье 16; четвёртое 15 (9 + 6). Проверка: 9 + 6 + 16 + 15 = 46.
Ответ: 9, 6, 16 и 15.
1,5b + b + (b + 10) + 2,5b = 46; 6b + 10 = 46; b = 6.
Первое 1,5 · 6 = 9; второе 6; третье 16; четвёртое 15 (9 + 6). Проверка: 9 + 6 + 16 + 15 = 46.
Ответ: 9, 6, 16 и 15.
727. Сколько нужно добавить воды к 300 г 20%-го раствора соли, чтобы получить 8%-й раствор этой соли?
В растворе соли 300 · 0,2 = 60 (г). Пусть добавили x г воды; масса раствора 300 + x, соли по-прежнему 60 г: 60/(300 + x) = 0,08. Тогда 300 + x = 750, x = 450.
Ответ: 450 г.
Ответ: 450 г.
728. Решите квадратное уравнение: а) 2,5x² + 4x = 0; б) 6y² − 0,24 = 0; в) 0,2t² − t − 4,8 = 0; г) 3 1/3 u² + 3u − 3 = 0.
а) x(2,5x + 4) = 0: x = 0 или 2,5x = −4, x = −1,6.
б) 6y² = 0,24; y² = 0,04; y = ±0,2.
в) Умножим на 5: t² − 5t − 24 = 0. D = 25 + 96 = 121; t = (5 ± 11)/2, t₁ = 8, t₂ = −3.
г) Умножим на 3: 10u² + 9u − 9 = 0. D = 81 + 360 = 441 = 21²; u = (−9 ± 21)/20, u₁ = 0,6, u₂ = −1,5.
Ответ: а) 0; −1,6; б) ±0,2; в) 8; −3; г) 0,6; −1,5.
б) 6y² = 0,24; y² = 0,04; y = ±0,2.
в) Умножим на 5: t² − 5t − 24 = 0. D = 25 + 96 = 121; t = (5 ± 11)/2, t₁ = 8, t₂ = −3.
г) Умножим на 3: 10u² + 9u − 9 = 0. D = 81 + 360 = 441 = 21²; u = (−9 ± 21)/20, u₁ = 0,6, u₂ = −1,5.
Ответ: а) 0; −1,6; б) ±0,2; в) 8; −3; г) 0,6; −1,5.