Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Уравнения и системы уравнений — с. 195
729. Существует ли значение переменной x, при котором значение квадратного трёхчлена x² − 10x + 31 равно: а) −5; б) 6; в) 55?
Выделим полный квадрат: x² − 10x + 31 = (x − 5)² + 6. Значит, трёхчлен принимает только значения, не меньшие 6.
а) Значение −5 < 6: уравнение (x − 5)² + 6 = −5 даёт (x − 5)² = −11, корней нет. Не существует.
б) (x − 5)² + 6 = 6, (x − 5)² = 0, x = 5. Существует.
в) (x − 5)² + 6 = 55, (x − 5)² = 49, x − 5 = ±7, x = 12 или x = −2. Существует.
Ответ: а) нет; б) да (x = 5); в) да (x = 12 или x = −2).
а) Значение −5 < 6: уравнение (x − 5)² + 6 = −5 даёт (x − 5)² = −11, корней нет. Не существует.
б) (x − 5)² + 6 = 6, (x − 5)² = 0, x = 5. Существует.
в) (x − 5)² + 6 = 55, (x − 5)² = 49, x − 5 = ±7, x = 12 или x = −2. Существует.
Ответ: а) нет; б) да (x = 5); в) да (x = 12 или x = −2).
730. При каких значениях m уравнение имеет хотя бы один корень: а) 10x² − 10x + m = 0; б) mx² + 4x − 2 = 0; в) 3x² + mx − 5 = 0; г) 2x² − mx + 2 = 0?
Квадратное уравнение имеет корень, когда D ≥ 0.
а) D = 100 − 40m ≥ 0, m ≤ 2,5.
б) При m = 0 уравнение 4x − 2 = 0 линейное, имеет корень x = 0,5. При m ≠ 0: D = 16 + 8m ≥ 0, m ≥ −2. Вместе (значение m = 0 входит в m ≥ −2): m ≥ −2.
в) D = m² + 60 > 0 при любом m, корни есть всегда.
г) D = m² − 16 ≥ 0, (m − 4)(m + 4) ≥ 0, m ≤ −4 или m ≥ 4.
Ответ: а) m ≤ 2,5; б) m ≥ −2; в) при любом m; г) m ≤ −4 или m ≥ 4.
а) D = 100 − 40m ≥ 0, m ≤ 2,5.
б) При m = 0 уравнение 4x − 2 = 0 линейное, имеет корень x = 0,5. При m ≠ 0: D = 16 + 8m ≥ 0, m ≥ −2. Вместе (значение m = 0 входит в m ≥ −2): m ≥ −2.
в) D = m² + 60 > 0 при любом m, корни есть всегда.
г) D = m² − 16 ≥ 0, (m − 4)(m + 4) ≥ 0, m ≤ −4 или m ≥ 4.
Ответ: а) m ≤ 2,5; б) m ≥ −2; в) при любом m; г) m ≤ −4 или m ≥ 4.
731. При каких значениях k уравнение не имеет корней: а) kx² + 8x − 15 = 0; б) 6x² − 3x + k = 0; в) 5x² + kx + 1 = 0; г) 7x² − kx − 1 = 0?
Квадратное уравнение не имеет корней при D < 0.
а) При k = 0 уравнение 8x − 15 = 0 имеет корень, поэтому k ≠ 0. D = 64 + 60k < 0, k < −16/15.
б) D = 9 − 24k < 0, k > 3/8.
в) D = k² − 20 < 0, −2√5 < k < 2√5.
г) D = k² + 28 > 0 при любом k, поэтому корни есть всегда.
Ответ: а) k < −16/15; б) k > 3/8; в) −2√5 < k < 2√5; г) таких значений k нет.
а) При k = 0 уравнение 8x − 15 = 0 имеет корень, поэтому k ≠ 0. D = 64 + 60k < 0, k < −16/15.
б) D = 9 − 24k < 0, k > 3/8.
в) D = k² − 20 < 0, −2√5 < k < 2√5.
г) D = k² + 28 > 0 при любом k, поэтому корни есть всегда.
Ответ: а) k < −16/15; б) k > 3/8; в) −2√5 < k < 2√5; г) таких значений k нет.
732. Решите уравнение: а) 0,3x(x + 13) − 2x(0,9 − 0,2x) = 0; б) 1,5x(x + 4) − x(7 − 0,5x) = 0,5(10 − 2x); в) (2x + 1)²/25 − (x − 1)/3 = x; г) (3x + 2)²/11 − (x + 5)/4 = x²; д) (2 − x)²/3 − 2x = (7 + 2x)²/5; е) (6 − x)²/8 + x = 7 − (2x − 1)²/3.
а) 0,3x² + 3,9x − 1,8x + 0,4x² = 0; 0,7x² + 2,1x = 0; 0,7x(x + 3) = 0; x = 0 или x = −3.
б) 1,5x² + 6x − 7x + 0,5x² = 5 − x; 2x² − x = 5 − x; 2x² = 5; x² = 5/2; x = ±√(5/2) = ±√10/2.
в) Умножим на 75: 3(4x² + 4x + 1) − 25(x − 1) = 75x; 12x² + 12x + 3 − 25x + 25 − 75x = 0; 12x² − 88x + 28 = 0; 3x² − 22x + 7 = 0. D = 484 − 84 = 400; x = (22 ± 20)/6, x = 7 или x = 1/3.
г) Умножим на 44: 4(9x² + 12x + 4) − 11(x + 5) = 44x²; 36x² + 48x + 16 − 11x − 55 − 44x² = 0; 8x² − 37x + 39 = 0. D = 1369 − 1248 = 121; x = (37 ± 11)/16, x = 3 или x = 13/8 = 1 5/8.
д) Умножим на 15: 5(4 − 4x + x²) − 30x = 3(49 + 28x + 4x²); 5x² − 50x + 20 = 12x² + 84x + 147; 7x² + 134x + 127 = 0. D = 17 956 − 3556 = 14 400 = 120²; x = (−134 ± 120)/14, x = −1 или x = −127/7 = −18 1/7.
е) Умножим на 24: 3(36 − 12x + x²) + 24x = 168 − 8(4x² − 4x + 1); 3x² − 12x + 108 = −32x² + 32x + 160; 35x² − 44x − 52 = 0. D = 1936 + 7280 = 9216 = 96²; x = (44 ± 96)/70, x = 2 или x = −26/35.
Ответ: а) 0; −3; б) ±√10/2; в) 7; 1/3; г) 3; 1 5/8; д) −1; −18 1/7; е) 2; −26/35.
б) 1,5x² + 6x − 7x + 0,5x² = 5 − x; 2x² − x = 5 − x; 2x² = 5; x² = 5/2; x = ±√(5/2) = ±√10/2.
в) Умножим на 75: 3(4x² + 4x + 1) − 25(x − 1) = 75x; 12x² + 12x + 3 − 25x + 25 − 75x = 0; 12x² − 88x + 28 = 0; 3x² − 22x + 7 = 0. D = 484 − 84 = 400; x = (22 ± 20)/6, x = 7 или x = 1/3.
г) Умножим на 44: 4(9x² + 12x + 4) − 11(x + 5) = 44x²; 36x² + 48x + 16 − 11x − 55 − 44x² = 0; 8x² − 37x + 39 = 0. D = 1369 − 1248 = 121; x = (37 ± 11)/16, x = 3 или x = 13/8 = 1 5/8.
д) Умножим на 15: 5(4 − 4x + x²) − 30x = 3(49 + 28x + 4x²); 5x² − 50x + 20 = 12x² + 84x + 147; 7x² + 134x + 127 = 0. D = 17 956 − 3556 = 14 400 = 120²; x = (−134 ± 120)/14, x = −1 или x = −127/7 = −18 1/7.
е) Умножим на 24: 3(36 − 12x + x²) + 24x = 168 − 8(4x² − 4x + 1); 3x² − 12x + 108 = −32x² + 32x + 160; 35x² − 44x − 52 = 0. D = 1936 + 7280 = 9216 = 96²; x = (44 ± 96)/70, x = 2 или x = −26/35.
Ответ: а) 0; −3; б) ±√10/2; в) 7; 1/3; г) 3; 1 5/8; д) −1; −18 1/7; е) 2; −26/35.
733. Садовый участок, имеющий форму прямоугольника, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что длина участка на 15 м больше его ширины, а площадь его равна 700 м².
Пусть ширина x м, длина x + 15 м. Площадь x(x + 15) = 700; x² + 15x − 700 = 0. D = 225 + 2800 = 3025 = 55²; x = (−15 + 55)/2 = 20 (второй корень отрицателен). Длина 35 м. Длина изгороди — периметр: 2(20 + 35) = 110 (м).
Ответ: 110 м.
Ответ: 110 м.
734. Каждый ученик класса обменялся фотографиями с каждым из других учеников этого класса. Сколько учеников в этом классе, если всего было передано 600 фотографий?
Пусть в классе n учеников. Каждый передал фотографии n − 1 одноклассникам, всего n(n − 1) передач. n(n − 1) = 600; n² − n − 600 = 0. D = 1 + 2400 = 2401 = 49²; n = (1 + 49)/2 = 25 (отрицательный корень не подходит).
Ответ: 25 учеников.
Ответ: 25 учеников.
735. Цифра десятков двузначного числа на 3 меньше цифры единиц, а произведение этого двузначного числа на сумму его цифр равно 70. Найдите это число.
Пусть цифра десятков t, тогда цифра единиц t + 3. Число 10t + t + 3 = 11t + 3, сумма цифр 2t + 3. (11t + 3)(2t + 3) = 70; 22t² + 33t + 6t + 9 = 70; 22t² + 39t − 61 = 0. D = 1521 + 5368 = 6889 = 83²; t = (−39 + 83)/44 = 1 (другой корень отрицателен). Число 14. Проверка: 14 · (1 + 4) = 70.
Ответ: 14.
Ответ: 14.
736. Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника, один из катетов которого на 20 м больше другого. Найдите длину границы данного участка, если его площадь равна 0,24 га.
0,24 га = 2400 м². Пусть катеты x м и x + 20 м. Площадь x(x + 20)/2 = 2400; x² + 20x − 4800 = 0. D = 400 + 19 200 = 19 600 = 140²; x = (−20 + 140)/2 = 60. Катеты 60 м и 80 м, гипотенуза √(3600 + 6400) = 100 м. Граница — периметр: 60 + 80 + 100 = 240 (м).
Ответ: 240 м.
Ответ: 240 м.
737. Решите уравнение: а) x/(x − 3) − 5/(x + 3) = 18/(x² − 9); б) 70/(x² − 16) − 17/(x − 4) = 3x/(x + 4); в) 3/(2 − x)² − 5/(x + 2)² = 14/(x² − 4); г) 2/(4 − x²) − 1/(2x − 4) − 7/(2x² + 4x) = 0; д) 1/(x² − 9) + 1/(3x − x²) = 3/(2x + 6); е) 2/(1 − x²) − 1/(1 − x) + 4/(x + 1)² = 0; ж) 2/(x² + 5x) + 3/(2x − 10) = 15/(x² − 25); з) 5/(2x + 6) − 1/(6x² − 18x) = 29/(27 − 3x²); и) x/(x − 5) − 4/(x + 5) + 76/(25 − x²) = 0; к) 7x/(x² − 36) + 3/(6 − x) = 7/(x + 6).
В каждом случае приводим дроби к общему знаменателю, решаем целое уравнение и отбрасываем корни, обращающие знаменатель в нуль.
а) Знаменатель x² − 9 ≠ 0. x(x + 3) − 5(x − 3) = 18; x² − 2x − 3 = 0; x = 3 или x = −1. Значение 3 не допускается. Ответ x = −1.
б) Умножим на x² − 16 (x ≠ ±4): 70 − 17(x + 4) = 3x(x − 4); 2 − 17x = 3x² − 12x; 3x² + 5x − 2 = 0; D = 49; x = (−5 ± 7)/6, x = 1/3 или x = −2. Оба допустимы.
в) Умножим на (x² − 4)² (x ≠ ±2): 3(x + 2)² − 5(x − 2)² = 14(x² − 4); −2x² + 32x − 8 = 14x² − 56; 16x² − 32x − 48 = 0; x² − 2x − 3 = 0; x = 3 или x = −1. Оба допустимы.
г) 4 − x² = −(x − 2)(x + 2), 2x − 4 = 2(x − 2), 2x² + 4x = 2x(x + 2); x ≠ 0, ±2. Общий знаменатель 2x(x − 2)(x + 2): −4x − x(x + 2) − 7(x − 2) = 0; −x² − 13x + 14 = 0; x² + 13x − 14 = 0; x = 1 или x = −14. Оба допустимы.
д) 3x − x² = −x(x − 3); x ≠ 0, ±3. Общий знаменатель 2x(x − 3)(x + 3): 2x − 2(x + 3) = 3x(x − 3); −6 = 3x² − 9x; x² − 3x + 2 = 0; x = 1 или x = 2. Оба допустимы.
е) x ≠ ±1. Общий знаменатель (1 − x)(1 + x)²: 2(1 + x) − (1 + x)² + 4(1 − x) = 0; −x² − 4x + 5 = 0; x² + 4x − 5 = 0; x = 1 или x = −5. Значение 1 не допускается. Ответ x = −5.
ж) x² + 5x = x(x + 5), 2x − 10 = 2(x − 5); x ≠ 0, ±5. Общий знаменатель 2x(x − 5)(x + 5): 4(x − 5) + 3x(x + 5) = 30x; 3x² − 11x − 20 = 0; D = 361; x = (11 ± 19)/6, x = 5 или x = −4/3. Значение 5 не допускается. Ответ x = −4/3 = −1 1/3.
з) 2x + 6 = 2(x + 3), 6x² − 18x = 6x(x − 3), 27 − 3x² = −3(x − 3)(x + 3); x ≠ 0, ±3. Общий знаменатель 6x(x − 3)(x + 3): 15x(x − 3) − (x + 3) = −58x; 15x² + 12x − 3 = 0; 5x² + 4x − 1 = 0; x = (−4 ± 6)/10, x = 1/5 или x = −1. Оба допустимы.
и) x ≠ ±5. x(x + 5) − 4(x − 5) − 76 = 0; x² + x − 56 = 0; x = 7 или x = −8. Оба допустимы.
к) x ≠ ±6. Умножим на x² − 36: 7x − 3(x + 6) = 7(x − 6); 4x − 18 = 7x − 42; 3x = 24; x = 8.
Ответ: а) −1; б) 1/3; −2; в) −1; 3; г) 1; −14; д) 1; 2; е) −5; ж) −1 1/3; з) 1/5; −1; и) 7; −8; к) 8.
а) Знаменатель x² − 9 ≠ 0. x(x + 3) − 5(x − 3) = 18; x² − 2x − 3 = 0; x = 3 или x = −1. Значение 3 не допускается. Ответ x = −1.
б) Умножим на x² − 16 (x ≠ ±4): 70 − 17(x + 4) = 3x(x − 4); 2 − 17x = 3x² − 12x; 3x² + 5x − 2 = 0; D = 49; x = (−5 ± 7)/6, x = 1/3 или x = −2. Оба допустимы.
в) Умножим на (x² − 4)² (x ≠ ±2): 3(x + 2)² − 5(x − 2)² = 14(x² − 4); −2x² + 32x − 8 = 14x² − 56; 16x² − 32x − 48 = 0; x² − 2x − 3 = 0; x = 3 или x = −1. Оба допустимы.
г) 4 − x² = −(x − 2)(x + 2), 2x − 4 = 2(x − 2), 2x² + 4x = 2x(x + 2); x ≠ 0, ±2. Общий знаменатель 2x(x − 2)(x + 2): −4x − x(x + 2) − 7(x − 2) = 0; −x² − 13x + 14 = 0; x² + 13x − 14 = 0; x = 1 или x = −14. Оба допустимы.
д) 3x − x² = −x(x − 3); x ≠ 0, ±3. Общий знаменатель 2x(x − 3)(x + 3): 2x − 2(x + 3) = 3x(x − 3); −6 = 3x² − 9x; x² − 3x + 2 = 0; x = 1 или x = 2. Оба допустимы.
е) x ≠ ±1. Общий знаменатель (1 − x)(1 + x)²: 2(1 + x) − (1 + x)² + 4(1 − x) = 0; −x² − 4x + 5 = 0; x² + 4x − 5 = 0; x = 1 или x = −5. Значение 1 не допускается. Ответ x = −5.
ж) x² + 5x = x(x + 5), 2x − 10 = 2(x − 5); x ≠ 0, ±5. Общий знаменатель 2x(x − 5)(x + 5): 4(x − 5) + 3x(x + 5) = 30x; 3x² − 11x − 20 = 0; D = 361; x = (11 ± 19)/6, x = 5 или x = −4/3. Значение 5 не допускается. Ответ x = −4/3 = −1 1/3.
з) 2x + 6 = 2(x + 3), 6x² − 18x = 6x(x − 3), 27 − 3x² = −3(x − 3)(x + 3); x ≠ 0, ±3. Общий знаменатель 6x(x − 3)(x + 3): 15x(x − 3) − (x + 3) = −58x; 15x² + 12x − 3 = 0; 5x² + 4x − 1 = 0; x = (−4 ± 6)/10, x = 1/5 или x = −1. Оба допустимы.
и) x ≠ ±5. x(x + 5) − 4(x − 5) − 76 = 0; x² + x − 56 = 0; x = 7 или x = −8. Оба допустимы.
к) x ≠ ±6. Умножим на x² − 36: 7x − 3(x + 6) = 7(x − 6); 4x − 18 = 7x − 42; 3x = 24; x = 8.
Ответ: а) −1; б) 1/3; −2; в) −1; 3; г) 1; −14; д) 1; 2; е) −5; ж) −1 1/3; з) 1/5; −1; и) 7; −8; к) 8.