Упражнения для повторения курса 7–9 классов — с. 197
745. Турист отправился на автомашине из города A в город B. Первые 75 км он ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью, на 10 км/ч большей, чем рассчитывал. В город B, который удалён от города A на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой скоростью он ехал в конце пути?
Пусть турист рассчитывал ехать со скоростью v км/ч (v > 10). Расчётное время в пути 180/v ч. Фактически 75 км он ехал со скоростью v − 10 км/ч, а оставшиеся 180 − 75 = 105 км — со скоростью v + 10 км/ч. Так как он прибыл вовремя:
75/(v − 10) + 105/(v + 10) = 180/v.
Умножим обе части на v(v − 10)(v + 10):
75v(v + 10) + 105v(v − 10) = 180(v² − 100);
75v² + 750v + 105v² − 1050v = 180v² − 18 000;
−300v = −18 000, v = 60.
В конце пути скорость была v + 10 = 70 км/ч.
Проверка: 75/50 + 105/70 = 1,5 + 1,5 = 3 ч, 180/60 = 3 ч.
Ответ: 70 км/ч.
75/(v − 10) + 105/(v + 10) = 180/v.
Умножим обе части на v(v − 10)(v + 10):
75v(v + 10) + 105v(v − 10) = 180(v² − 100);
75v² + 750v + 105v² − 1050v = 180v² − 18 000;
−300v = −18 000, v = 60.
В конце пути скорость была v + 10 = 70 км/ч.
Проверка: 75/50 + 105/70 = 1,5 + 1,5 = 3 ч, 180/60 = 3 ч.
Ответ: 70 км/ч.
746. Расстояние от станицы до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист выехал из станицы на 1 1/4 ч позже велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был от неё в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.
Пусть скорость мотоциклиста v км/ч, тогда скорость велосипедиста (v − 18) км/ч. Мотоциклист проехал 60 км за 60/v ч. К этому моменту велосипедист был в 21 км от станции, то есть проехал 60 − 21 = 39 км за 39/(v − 18) ч. Велосипедист ехал на 1 1/4 = 5/4 ч дольше:
39/(v − 18) − 60/v = 5/4.
Умножим на 4v(v − 18): 156v − 240(v − 18) = 5v(v − 18);
156v − 240v + 4320 = 5v² − 90v;
5v² − 6v − 4320 = 0.
D = 36 + 86 400 = 86 436 = 294², v = (6 ± 294)/10; v = 30 или v = −28,8 (не подходит).
Скорость мотоциклиста 30 км/ч, велосипедиста 30 − 18 = 12 км/ч.
Проверка: мотоциклист ехал 2 ч, велосипедист 39/12 = 3,25 ч = 2 ч + 1 1/4 ч.
Ответ: 12 км/ч.
39/(v − 18) − 60/v = 5/4.
Умножим на 4v(v − 18): 156v − 240(v − 18) = 5v(v − 18);
156v − 240v + 4320 = 5v² − 90v;
5v² − 6v − 4320 = 0.
D = 36 + 86 400 = 86 436 = 294², v = (6 ± 294)/10; v = 30 или v = −28,8 (не подходит).
Скорость мотоциклиста 30 км/ч, велосипедиста 30 − 18 = 12 км/ч.
Проверка: мотоциклист ехал 2 ч, велосипедист 39/12 = 3,25 ч = 2 ч + 1 1/4 ч.
Ответ: 12 км/ч.
747. Из села в город, к которому ведёт дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.
Пусть скорость грузовика v км/ч, тогда скорость легковой автомашины (v + 5) км/ч. До встречи грузовик проехал 45 км за 45/v ч, а легковая автомашина — 120 − 45 = 75 км за 75/(v + 5) ч. Легковая ехала на 30 мин = 1/2 ч дольше:
75/(v + 5) − 45/v = 1/2.
Умножим на 2v(v + 5): 150v − 90(v + 5) = v(v + 5);
150v − 90v − 450 = v² + 5v;
v² − 55v + 450 = 0.
D = 3025 − 1800 = 1225 = 35², v = (55 ± 35)/2; v = 45 или v = 10.
Проверка: при v = 45 легковая едет 50 км/ч, время 75/50 = 1,5 ч, грузовик 45/45 = 1 ч — разница 0,5 ч. При v = 10 легковая 15 км/ч, время 5 ч, грузовик 4,5 ч — разница тоже 0,5 ч.
Ответ: 45 км/ч.
Оговорка: формально условию удовлетворяет и значение 10 км/ч (легковая 15 км/ч); как нереалистичное для автомобилей оно отброшено. В «Ответах» учебника для этого упражнения ответ не приведён.
75/(v + 5) − 45/v = 1/2.
Умножим на 2v(v + 5): 150v − 90(v + 5) = v(v + 5);
150v − 90v − 450 = v² + 5v;
v² − 55v + 450 = 0.
D = 3025 − 1800 = 1225 = 35², v = (55 ± 35)/2; v = 45 или v = 10.
Проверка: при v = 45 легковая едет 50 км/ч, время 75/50 = 1,5 ч, грузовик 45/45 = 1 ч — разница 0,5 ч. При v = 10 легковая 15 км/ч, время 5 ч, грузовик 4,5 ч — разница тоже 0,5 ч.
Ответ: 45 км/ч.
Оговорка: формально условию удовлетворяет и значение 10 км/ч (легковая 15 км/ч); как нереалистичное для автомобилей оно отброшено. В «Ответах» учебника для этого упражнения ответ не приведён.
748. Решите уравнение: а) 4x⁴ − 17x² + 4 = 0; б) 9x⁴ + 77x² − 36 = 0; в) 2x⁴ − 9x² − 5 = 0; г) 6x⁴ − 5x² − 1 = 0.
Это биквадратные уравнения. Положим t = x², t ≥ 0.
а) 4t² − 17t + 4 = 0, D = 289 − 64 = 225, t = (17 ± 15)/8; t = 4 или t = 1/4. Тогда x² = 4, x = ±2; x² = 1/4, x = ±1/2.
б) 9t² + 77t − 36 = 0, D = 5929 + 1296 = 7225 = 85², t = (−77 ± 85)/18; t = 4/9 или t = −9. Значение −9 не подходит (x² ≥ 0); x² = 4/9, x = ±2/3.
в) 2t² − 9t − 5 = 0, D = 81 + 40 = 121, t = (9 ± 11)/4; t = 5 или t = −1/2. Подходит t = 5, x = ±√5.
г) 6t² − 5t − 1 = 0, D = 25 + 24 = 49, t = (5 ± 7)/12; t = 1 или t = −1/6. Подходит t = 1, x = ±1.
Ответ: а) ±1/2; ±2; б) ±2/3; в) ±√5; г) ±1.
а) 4t² − 17t + 4 = 0, D = 289 − 64 = 225, t = (17 ± 15)/8; t = 4 или t = 1/4. Тогда x² = 4, x = ±2; x² = 1/4, x = ±1/2.
б) 9t² + 77t − 36 = 0, D = 5929 + 1296 = 7225 = 85², t = (−77 ± 85)/18; t = 4/9 или t = −9. Значение −9 не подходит (x² ≥ 0); x² = 4/9, x = ±2/3.
в) 2t² − 9t − 5 = 0, D = 81 + 40 = 121, t = (9 ± 11)/4; t = 5 или t = −1/2. Подходит t = 5, x = ±√5.
г) 6t² − 5t − 1 = 0, D = 25 + 24 = 49, t = (5 ± 7)/12; t = 1 или t = −1/6. Подходит t = 1, x = ±1.
Ответ: а) ±1/2; ±2; б) ±2/3; в) ±√5; г) ±1.
749. Решите уравнение, введя новую переменную: а) 2(5x − 1)² + 35x − 11 = 0; б) (x² + x − 3)² + 12x² + 12x − 9 = 0.
а) Заметим, что 35x − 11 = 7(5x − 1) − 4. Пусть t = 5x − 1, тогда уравнение имеет вид 2t² + 7t − 4 = 0. D = 49 + 32 = 81, t = (−7 ± 9)/4; t = 1/2 или t = −4.
5x − 1 = 1/2, 5x = 1,5, x = 0,3; 5x − 1 = −4, 5x = −3, x = −0,6.
б) Заметим, что 12x² + 12x − 9 = 12(x² + x − 3) + 27. Пусть t = x² + x − 3, тогда t² + 12t + 27 = 0, откуда t = −3 или t = −9.
x² + x − 3 = −3: x² + x = 0, x(x + 1) = 0, x = 0 или x = −1.
x² + x − 3 = −9: x² + x + 6 = 0, D = 1 − 24 < 0, корней нет.
Ответ: а) −0,6; 0,3; б) 0; −1.
5x − 1 = 1/2, 5x = 1,5, x = 0,3; 5x − 1 = −4, 5x = −3, x = −0,6.
б) Заметим, что 12x² + 12x − 9 = 12(x² + x − 3) + 27. Пусть t = x² + x − 3, тогда t² + 12t + 27 = 0, откуда t = −3 или t = −9.
x² + x − 3 = −3: x² + x = 0, x(x + 1) = 0, x = 0 или x = −1.
x² + x − 3 = −9: x² + x + 6 = 0, D = 1 − 24 < 0, корней нет.
Ответ: а) −0,6; 0,3; б) 0; −1.
750. Решите уравнение: а) x⁴ − 16x² = 0; б) x = x³; в) 1,2x³ + x = 0; г) 0,4x⁴ = x³; д) x³ + 6x² − 16x = 0; е) x⁴ + x³ − 6x² = 0; ж) x³ + x² = 9x + 9; з) 2x³ + 8x = x² + 4.
Разложим левую часть на множители, перенеся всё в одну сторону.
а) x²(x² − 16) = 0, x²(x − 4)(x + 4) = 0; x = 0, x = 4, x = −4.
б) x − x³ = 0, x(1 − x)(1 + x) = 0; x = 0, x = 1, x = −1.
в) x(1,2x² + 1) = 0; множитель 1,2x² + 1 > 0 при любом x, поэтому x = 0.
г) 0,4x⁴ − x³ = 0, x³(0,4x − 1) = 0; x = 0 или x = 1/0,4 = 2,5.
д) x(x² + 6x − 16) = 0; x = 0 или x² + 6x − 16 = 0, откуда x = 2 или x = −8.
е) x²(x² + x − 6) = 0; x = 0 или x² + x − 6 = 0, откуда x = 2 или x = −3.
ж) x²(x + 1) − 9(x + 1) = 0, (x + 1)(x² − 9) = 0; x = −1, x = 3, x = −3.
з) 2x(x² + 4) − (x² + 4) = 0, (x² + 4)(2x − 1) = 0; x² + 4 > 0, поэтому x = 1/2.
Ответ: а) 0; ±4; б) 0; ±1; в) 0; г) 0; 2,5; д) −8; 0; 2; е) −3; 0; 2; ж) −1; ±3; з) 1/2.
Оговорка: в пункте е) показатель первого слагаемого на скане читается неотчётливо; принято x⁴, как в ответе учебника.
а) x²(x² − 16) = 0, x²(x − 4)(x + 4) = 0; x = 0, x = 4, x = −4.
б) x − x³ = 0, x(1 − x)(1 + x) = 0; x = 0, x = 1, x = −1.
в) x(1,2x² + 1) = 0; множитель 1,2x² + 1 > 0 при любом x, поэтому x = 0.
г) 0,4x⁴ − x³ = 0, x³(0,4x − 1) = 0; x = 0 или x = 1/0,4 = 2,5.
д) x(x² + 6x − 16) = 0; x = 0 или x² + 6x − 16 = 0, откуда x = 2 или x = −8.
е) x²(x² + x − 6) = 0; x = 0 или x² + x − 6 = 0, откуда x = 2 или x = −3.
ж) x²(x + 1) − 9(x + 1) = 0, (x + 1)(x² − 9) = 0; x = −1, x = 3, x = −3.
з) 2x(x² + 4) − (x² + 4) = 0, (x² + 4)(2x − 1) = 0; x² + 4 > 0, поэтому x = 1/2.
Ответ: а) 0; ±4; б) 0; ±1; в) 0; г) 0; 2,5; д) −8; 0; 2; е) −3; 0; 2; ж) −1; ±3; з) 1/2.
Оговорка: в пункте е) показатель первого слагаемого на скане читается неотчётливо; принято x⁴, как в ответе учебника.
751. Приведите уравнение к виду xⁿ = a и решите его: а) 1/8 x³ = 1; б) 1000x³ + 1 = 0; в) 1/27 x³ = 0,001; г) 1/9 x⁴ − 16 = 0; д) 1 + x⁵ = 0; е) x⁸ − 16 = 0.
а) x³ = 8, x = 2.
б) 1000x³ = −1, x³ = −0,001, x = −0,1.
в) x³ = 27 · 0,001 = 0,027, x = 0,3.
г) x⁴ = 144; так как x⁴ = (x²)², то x² = 12, откуда x = ±√12 = ±2√3.
д) x⁵ = −1, x = −1.
е) x⁸ = 16, (x²)⁴ = 2⁴, x² = 2, x = ±√2.
Ответ: а) 2; б) −0,1; в) 0,3; г) ±2√3; д) −1; е) ±√2.
б) 1000x³ = −1, x³ = −0,001, x = −0,1.
в) x³ = 27 · 0,001 = 0,027, x = 0,3.
г) x⁴ = 144; так как x⁴ = (x²)², то x² = 12, откуда x = ±√12 = ±2√3.
д) x⁵ = −1, x = −1.
е) x⁸ = 16, (x²)⁴ = 2⁴, x² = 2, x = ±√2.
Ответ: а) 2; б) −0,1; в) 0,3; г) ±2√3; д) −1; е) ±√2.
752. Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли уравнение корни: а) 1/2 x − 2 = x³; б) −3x − 1 = √x; в) 1/x = −x² + 1; г) 3 + x² = 12/x.
Строим в одной системе координат графики левой и правой частей; корни уравнения — абсциссы точек пересечения.
а) Прямая y = x/2 − 2 (убывает слева направо вниз к −∞, проходит через (0; −2)) и кубическая парабола y = x³. При x ≥ 0 парабола сначала идёт ниже прямой (при x = 0: 0 > −2, парабола выше), точнее: x³ − x/2 + 2 > 0 при x ≥ 0, пересечений нет; при x < 0 кубическая парабола уходит вниз, прямая — тоже, но медленнее, поэтому они пересекаются ровно один раз (примерно при x ≈ −1,4). Один корень.
б) Правая часть √x определена при x ≥ 0 и неотрицательна, а левая −3x − 1 ≤ −1 < 0 при x ≥ 0. График прямой в области x ≥ 0 лежит ниже оси x, график корня — выше. Общих точек нет. Корней нет.
в) Для x > 0: 1/x > 0, а при x ≥ 1 правая часть 1 − x² ≤ 0; при 0 < x < 1 имеем 1/x > 1 > 1 − x². Значит, при x > 0 гипербола выше параболы. При x < 0 ветвь гиперболы (в третьей четверти) пересекает параболу ровно один раз (примерно при x ≈ −1,3). Один корень.
г) При x < 0 левая часть положительна, а правая 12/x отрицательна, пересечений нет. При x > 0 левая часть возрастает, а правая убывает, значит, пересечение ровно одно (примерно при x ≈ 1,9). Один корень.
Ответ: а) один корень; б) корней нет; в) один корень; г) один корень.
а) Прямая y = x/2 − 2 (убывает слева направо вниз к −∞, проходит через (0; −2)) и кубическая парабола y = x³. При x ≥ 0 парабола сначала идёт ниже прямой (при x = 0: 0 > −2, парабола выше), точнее: x³ − x/2 + 2 > 0 при x ≥ 0, пересечений нет; при x < 0 кубическая парабола уходит вниз, прямая — тоже, но медленнее, поэтому они пересекаются ровно один раз (примерно при x ≈ −1,4). Один корень.
б) Правая часть √x определена при x ≥ 0 и неотрицательна, а левая −3x − 1 ≤ −1 < 0 при x ≥ 0. График прямой в области x ≥ 0 лежит ниже оси x, график корня — выше. Общих точек нет. Корней нет.
в) Для x > 0: 1/x > 0, а при x ≥ 1 правая часть 1 − x² ≤ 0; при 0 < x < 1 имеем 1/x > 1 > 1 − x². Значит, при x > 0 гипербола выше параболы. При x < 0 ветвь гиперболы (в третьей четверти) пересекает параболу ровно один раз (примерно при x ≈ −1,3). Один корень.
г) При x < 0 левая часть положительна, а правая 12/x отрицательна, пересечений нет. При x > 0 левая часть возрастает, а правая убывает, значит, пересечение ровно одно (примерно при x ≈ 1,9). Один корень.
Ответ: а) один корень; б) корней нет; в) один корень; г) один корень.