Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Тождественные преобразования — с. 193
712. а) Найдите значение выражения a² + b², если a + b = 6, ab = 3. б) Найдите значение выражения c² + 1/c², если c + 1/c = 2,5.
а) Возведём a + b = 6 в квадрат: a² + 2ab + b² = 36. Отсюда a² + b² = 36 − 2ab = 36 − 6 = 30.
б) Возведём c + 1/c = 2,5 в квадрат: c² + 2 + 1/c² = 6,25. Отсюда c² + 1/c² = 6,25 − 2 = 4,25.
Ответ: а) 30; б) 4,25.
б) Возведём c + 1/c = 2,5 в квадрат: c² + 2 + 1/c² = 6,25. Отсюда c² + 1/c² = 6,25 − 2 = 4,25.
Ответ: а) 30; б) 4,25.
713. Докажите, что: а) значение выражения a² + 2a + 2 ни при каком значении переменной a не может быть отрицательным; б) выражение 2x² − 2xy + y² при любых значениях x и y принимает неотрицательные значения.
а) a² + 2a + 2 = (a² + 2a + 1) + 1 = (a + 1)² + 1. Так как (a + 1)² ≥ 0, то выражение не меньше 1, значит, оно не может быть отрицательным.
б) 2x² − 2xy + y² = x² + (x² − 2xy + y²) = x² + (x − y)². Сумма двух квадратов неотрицательна при любых x и y.
Что и требовалось доказать.
б) 2x² − 2xy + y² = x² + (x² − 2xy + y²) = x² + (x − y)². Сумма двух квадратов неотрицательна при любых x и y.
Что и требовалось доказать.
714. Упростите выражение: а) (4x^(−2)y³)² · (0,5x²y^(−1))³; б) (c⁴/(6x²y^(−5)))^(−2) · (1/3 c²x³y^(−2))⁴; в) (0,25a^(−3)b⁴)^(−2) · (2a⁵b^(−6))^(−1); г) (0,1a^(−2)/(b^(−1)c³))⁵ · (b⁵/(10a⁴c⁶))^(−3).
Применяем свойства степеней: (xy)ⁿ = xⁿyⁿ, (xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ, xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ.
а) (4x^(−2)y³)² = 16x^(−4)y⁶; (0,5x²y^(−1))³ = 0,125x⁶y^(−3). Произведение 16 · 0,125 · x² · y³ = 2x²y³.
б) c⁴/(6x²y^(−5)) = c⁴y⁵/(6x²); в степени −2 это 36x⁴/(c⁸y¹⁰). (1/3 c²x³y^(−2))⁴ = c⁸x¹²y^(−8)/81. Произведение: 36x⁴ · c⁸x¹²/(81 · c⁸y¹⁰ · y⁸) = 4x¹⁶/(9y¹⁸).
в) (0,25a^(−3)b⁴)^(−2) = 16a⁶b^(−8); (2a⁵b^(−6))^(−1) = a^(−5)b⁶/2. Произведение 8ab^(−2) = 8a/b².
г) 0,1a^(−2)/(b^(−1)c³) = b/(10a²c³); в пятой степени: b⁵/(10⁵a¹⁰c¹⁵). (b⁵/(10a⁴c⁶))^(−3) = 1000a¹²c¹⁸/b¹⁵. Произведение: 1000 a¹²c¹⁸ b⁵/(10⁵ a¹⁰c¹⁵ b¹⁵) = a²c³/(100b¹⁰).
Ответ: а) 2x²y³; б) 4x¹⁶/(9y¹⁸); в) 8a/b²; г) a²c³/(100b¹⁰).
Оговорка: знаки «−» у внешних показателей в пунктах б) (−2) и г) (−3) на скане не видны; приняты отрицательные показатели, так как только при них результат совпадает с ответами учебника.
а) (4x^(−2)y³)² = 16x^(−4)y⁶; (0,5x²y^(−1))³ = 0,125x⁶y^(−3). Произведение 16 · 0,125 · x² · y³ = 2x²y³.
б) c⁴/(6x²y^(−5)) = c⁴y⁵/(6x²); в степени −2 это 36x⁴/(c⁸y¹⁰). (1/3 c²x³y^(−2))⁴ = c⁸x¹²y^(−8)/81. Произведение: 36x⁴ · c⁸x¹²/(81 · c⁸y¹⁰ · y⁸) = 4x¹⁶/(9y¹⁸).
в) (0,25a^(−3)b⁴)^(−2) = 16a⁶b^(−8); (2a⁵b^(−6))^(−1) = a^(−5)b⁶/2. Произведение 8ab^(−2) = 8a/b².
г) 0,1a^(−2)/(b^(−1)c³) = b/(10a²c³); в пятой степени: b⁵/(10⁵a¹⁰c¹⁵). (b⁵/(10a⁴c⁶))^(−3) = 1000a¹²c¹⁸/b¹⁵. Произведение: 1000 a¹²c¹⁸ b⁵/(10⁵ a¹⁰c¹⁵ b¹⁵) = a²c³/(100b¹⁰).
Ответ: а) 2x²y³; б) 4x¹⁶/(9y¹⁸); в) 8a/b²; г) a²c³/(100b¹⁰).
Оговорка: знаки «−» у внешних показателей в пунктах б) (−2) и г) (−3) на скане не видны; приняты отрицательные показатели, так как только при них результат совпадает с ответами учебника.
715. Упростите выражение: а) (2 · 3^(n+2) − 5 · 3^(n+1))/3^(n−1); б) 25 · 4ⁿ/(4ⁿ − 4^(n−1)); в) 10 · 6ⁿ/(2^(n+1) · 3^(n−1)); г) (2^(2n−1) · 5^(2n+1))/100ⁿ.
а) 2 · 3^(n+2) = 6 · 3^(n+1). Числитель 6 · 3^(n+1) − 5 · 3^(n+1) = 3^(n+1). Дробь 3^(n+1)/3^(n−1) = 3² = 9.
б) 4ⁿ − 4^(n−1) = 4^(n−1)(4 − 1) = 3 · 4^(n−1). Дробь 25 · 4ⁿ/(3 · 4^(n−1)) = 25 · 4/3 = 100/3 = 33 1/3.
в) 6ⁿ = 2ⁿ3ⁿ. 2^(n+1) = 2 · 2ⁿ, 3^(n−1) = 3ⁿ/3. Знаменатель 2 · 2ⁿ · 3ⁿ/3. Дробь 10 · 3/2 = 15.
г) 100ⁿ = 2^(2n) · 5^(2n). Дробь 2^(2n−1−2n) · 5^(2n+1−2n) = 2^(−1) · 5 = 2,5.
Ответ: а) 9; б) 33 1/3; в) 15; г) 2,5.
б) 4ⁿ − 4^(n−1) = 4^(n−1)(4 − 1) = 3 · 4^(n−1). Дробь 25 · 4ⁿ/(3 · 4^(n−1)) = 25 · 4/3 = 100/3 = 33 1/3.
в) 6ⁿ = 2ⁿ3ⁿ. 2^(n+1) = 2 · 2ⁿ, 3^(n−1) = 3ⁿ/3. Знаменатель 2 · 2ⁿ · 3ⁿ/3. Дробь 10 · 3/2 = 15.
г) 100ⁿ = 2^(2n) · 5^(2n). Дробь 2^(2n−1−2n) · 5^(2n+1−2n) = 2^(−1) · 5 = 2,5.
Ответ: а) 9; б) 33 1/3; в) 15; г) 2,5.
716. Вынесите множитель из-под знака корня: а) √98; б) √24; в) −√242; г) −√75; д) 0,1√128; е) 0,4√40; ж) √(12x²), где x ≥ 0; з) √(18y²), где y < 0; и) √(5a⁴).
а) √98 = √(49 · 2) = 7√2.
б) √24 = √(4 · 6) = 2√6.
в) −√242 = −√(121 · 2) = −11√2.
г) −√75 = −√(25 · 3) = −5√3.
д) 0,1√128 = 0,1√(64 · 2) = 0,1 · 8√2 = 0,8√2.
е) 0,4√40 = 0,4√(4 · 10) = 0,4 · 2√10 = 0,8√10.
ж) √(12x²) = √12 · |x| = 2√3 · x при x ≥ 0.
з) √(18y²) = 3√2 · |y| = −3y√2 при y < 0.
и) √(5a⁴) = √5 · a² (так как a⁴ = (a²)², a² ≥ 0).
Ответ: а) 7√2; б) 2√6; в) −11√2; г) −5√3; д) 0,8√2; е) 0,8√10; ж) 2x√3; з) −3y√2; и) a²√5.
б) √24 = √(4 · 6) = 2√6.
в) −√242 = −√(121 · 2) = −11√2.
г) −√75 = −√(25 · 3) = −5√3.
д) 0,1√128 = 0,1√(64 · 2) = 0,1 · 8√2 = 0,8√2.
е) 0,4√40 = 0,4√(4 · 10) = 0,4 · 2√10 = 0,8√10.
ж) √(12x²) = √12 · |x| = 2√3 · x при x ≥ 0.
з) √(18y²) = 3√2 · |y| = −3y√2 при y < 0.
и) √(5a⁴) = √5 · a² (так как a⁴ = (a²)², a² ≥ 0).
Ответ: а) 7√2; б) 2√6; в) −11√2; г) −5√3; д) 0,8√2; е) 0,8√10; ж) 2x√3; з) −3y√2; и) a²√5.
717. Внесите множитель под знак корня: а) 10√3; б) 0,1√2; в) −3√5; г) −0,2√40; д) x√3, где x ≥ 0; е) y√5, где y < 0.
Положительный множитель вносим как квадрат; при отрицательном множителе знак «−» остаётся перед корнем.
а) 10√3 = √(100 · 3) = √300.
б) 0,1√2 = √(0,01 · 2) = √0,02.
в) −3√5 = −√(9 · 5) = −√45.
г) −0,2√40 = −√(0,04 · 40) = −√1,6.
д) При x ≥ 0: x√3 = √(3x²).
е) При y < 0: y√5 = −|y|√5 = −√(5y²).
Ответ: а) √300; б) √0,02; в) −√45; г) −√1,6; д) √(3x²); е) −√(5y²).
а) 10√3 = √(100 · 3) = √300.
б) 0,1√2 = √(0,01 · 2) = √0,02.
в) −3√5 = −√(9 · 5) = −√45.
г) −0,2√40 = −√(0,04 · 40) = −√1,6.
д) При x ≥ 0: x√3 = √(3x²).
е) При y < 0: y√5 = −|y|√5 = −√(5y²).
Ответ: а) √300; б) √0,02; в) −√45; г) −√1,6; д) √(3x²); е) −√(5y²).
718. Упростите выражение: а) √(50x) + √(32x) − √(98x); б) (√a + √2)(√a − √2) − (√a − √2) · √a; в) (√x + √y)² − (√x − √y)²; г) (√x − √y)(x + √(xy) + y).
а) √(50x) = 5√(2x), √(32x) = 4√(2x), √(98x) = 7√(2x). Сумма (5 + 4 − 7)√(2x) = 2√(2x).
б) (√a + √2)(√a − √2) = a − 2; (√a − √2)√a = a − √(2a). Разность a − 2 − a + √(2a) = √(2a) − 2.
в) По формулам квадрата суммы и разности: (x + 2√(xy) + y) − (x − 2√(xy) + y) = 4√(xy).
г) Так как x = (√x)³/√x... проще: x + √(xy) + y = (√x)² + √x√y + (√y)², и по формуле разности кубов (√x − √y)((√x)² + √x√y + (√y)²) = (√x)³ − (√y)³ = x√x − y√y.
Ответ: а) 2√(2x); б) √(2a) − 2; в) 4√(xy); г) x√x − y√y.
б) (√a + √2)(√a − √2) = a − 2; (√a − √2)√a = a − √(2a). Разность a − 2 − a + √(2a) = √(2a) − 2.
в) По формулам квадрата суммы и разности: (x + 2√(xy) + y) − (x − 2√(xy) + y) = 4√(xy).
г) Так как x = (√x)³/√x... проще: x + √(xy) + y = (√x)² + √x√y + (√y)², и по формуле разности кубов (√x − √y)((√x)² + √x√y + (√y)²) = (√x)³ − (√y)³ = x√x − y√y.
Ответ: а) 2√(2x); б) √(2a) − 2; в) 4√(xy); г) x√x − y√y.
719. Сократите дробь: а) (5 + √y)/(5√y + y); б) (3x − 6)/(√x + √2); в) (a√a − 1)/(a + √a + 1); г) (b − √b + 1)/(b√b + 1); д) (x√x + y√y)/(√(xy) + y); е) (c − √(cd))/(c√c − d√d).
Переменные под знаком корня неотрицательны, знаменатели не равны нулю.
а) 5√y + y = √y(5 + √y); дробь равна 1/√y.
б) 3x − 6 = 3(x − 2) = 3(√x − √2)(√x + √2); дробь равна 3(√x − √2).
в) a√a − 1 = (√a)³ − 1 = (√a − 1)(a + √a + 1); дробь равна √a − 1.
г) b√b + 1 = (√b + 1)(b − √b + 1); дробь равна 1/(√b + 1).
д) x√x + y√y = (√x + √y)(x − √(xy) + y); √(xy) + y = √y(√x + √y). Дробь равна (x − √(xy) + y)/√y.
е) c − √(cd) = √c(√c − √d); c√c − d√d = (√c − √d)(c + √(cd) + d). Дробь равна √c/(c + √(cd) + d).
Ответ: а) 1/√y; б) 3(√x − √2); в) √a − 1; г) 1/(√b + 1); д) (x − √(xy) + y)/√y; е) √c/(c + √(cd) + d).
а) 5√y + y = √y(5 + √y); дробь равна 1/√y.
б) 3x − 6 = 3(x − 2) = 3(√x − √2)(√x + √2); дробь равна 3(√x − √2).
в) a√a − 1 = (√a)³ − 1 = (√a − 1)(a + √a + 1); дробь равна √a − 1.
г) b√b + 1 = (√b + 1)(b − √b + 1); дробь равна 1/(√b + 1).
д) x√x + y√y = (√x + √y)(x − √(xy) + y); √(xy) + y = √y(√x + √y). Дробь равна (x − √(xy) + y)/√y.
е) c − √(cd) = √c(√c − √d); c√c − d√d = (√c − √d)(c + √(cd) + d). Дробь равна √c/(c + √(cd) + d).
Ответ: а) 1/√y; б) 3(√x − √2); в) √a − 1; г) 1/(√b + 1); д) (x − √(xy) + y)/√y; е) √c/(c + √(cd) + d).