Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Тождественные преобразования — с. 191
703. Разложите на множители: а) x⁴ − 25y²; б) 4b² − 0,01c⁶; в) 8a³ + c³; г) x⁹ − 27; д) 9ab² − 16ac²; е) −20xy³ + 45x³y.
а) Разность квадратов (x²)² − (5y)² = (x² − 5y)(x² + 5y).
б) (2b)² − (0,1c³)² = (2b − 0,1c³)(2b + 0,1c³).
в) Сумма кубов (2a)³ + c³ = (2a + c)(4a² − 2ac + c²).
г) Разность кубов (x³)³ − 3³ = (x³ − 3)(x⁶ + 3x³ + 9).
д) 9ab² − 16ac² = a(9b² − 16c²) = a(3b − 4c)(3b + 4c).
е) −20xy³ + 45x³y = 5xy(9x² − 4y²) = 5xy(3x − 2y)(3x + 2y).
Ответ: а) (x² − 5y)(x² + 5y); б) (2b − 0,1c³)(2b + 0,1c³); в) (2a + c)(4a² − 2ac + c²); г) (x³ − 3)(x⁶ + 3x³ + 9); д) a(3b − 4c)(3b + 4c); е) 5xy(3x − 2y)(3x + 2y).
Оговорка: показатель в пункте а) на скане плохо различим, прочитан как 4.
б) (2b)² − (0,1c³)² = (2b − 0,1c³)(2b + 0,1c³).
в) Сумма кубов (2a)³ + c³ = (2a + c)(4a² − 2ac + c²).
г) Разность кубов (x³)³ − 3³ = (x³ − 3)(x⁶ + 3x³ + 9).
д) 9ab² − 16ac² = a(9b² − 16c²) = a(3b − 4c)(3b + 4c).
е) −20xy³ + 45x³y = 5xy(9x² − 4y²) = 5xy(3x − 2y)(3x + 2y).
Ответ: а) (x² − 5y)(x² + 5y); б) (2b − 0,1c³)(2b + 0,1c³); в) (2a + c)(4a² − 2ac + c²); г) (x³ − 3)(x⁶ + 3x³ + 9); д) a(3b − 4c)(3b + 4c); е) 5xy(3x − 2y)(3x + 2y).
Оговорка: показатель в пункте а) на скане плохо различим, прочитан как 4.
704. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) x² − x − 42; б) y² + 9y + 18; в) 81x² + 18x + 1; г) 16b² − 24b + 9; д) 6x² − x − 1; е) 3a² − 13a − 10.
Используем ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), где x₁, x₂ — корни трёхчлена.
а) x² − x − 42 = 0: по теореме Виета x₁ + x₂ = 1, x₁x₂ = −42, корни 7 и −6. Разложение (x − 7)(x + 6).
б) y² + 9y + 18 = 0: сумма −9, произведение 18, корни −3 и −6. Разложение (y + 3)(y + 6).
в) 81x² + 18x + 1 = (9x)² + 2 · 9x + 1 = (9x + 1)².
г) 16b² − 24b + 9 = (4b)² − 2 · 4b · 3 + 3² = (4b − 3)².
д) 6x² − x − 1 = 0: D = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5)/12, x₁ = 1/2, x₂ = −1/3. 6(x − 1/2)(x + 1/3) = (2x − 1)(3x + 1).
е) 3a² − 13a − 10 = 0: D = 169 + 120 = 289, a = (13 ± 17)/6, a₁ = 5, a₂ = −2/3. 3(a − 5)(a + 2/3) = (a − 5)(3a + 2).
Ответ: а) (x − 7)(x + 6); б) (y + 3)(y + 6); в) (9x + 1)²; г) (4b − 3)²; д) (2x − 1)(3x + 1); е) (a − 5)(3a + 2).
а) x² − x − 42 = 0: по теореме Виета x₁ + x₂ = 1, x₁x₂ = −42, корни 7 и −6. Разложение (x − 7)(x + 6).
б) y² + 9y + 18 = 0: сумма −9, произведение 18, корни −3 и −6. Разложение (y + 3)(y + 6).
в) 81x² + 18x + 1 = (9x)² + 2 · 9x + 1 = (9x + 1)².
г) 16b² − 24b + 9 = (4b)² − 2 · 4b · 3 + 3² = (4b − 3)².
д) 6x² − x − 1 = 0: D = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5)/12, x₁ = 1/2, x₂ = −1/3. 6(x − 1/2)(x + 1/3) = (2x − 1)(3x + 1).
е) 3a² − 13a − 10 = 0: D = 169 + 120 = 289, a = (13 ± 17)/6, a₁ = 5, a₂ = −2/3. 3(a − 5)(a + 2/3) = (a − 5)(3a + 2).
Ответ: а) (x − 7)(x + 6); б) (y + 3)(y + 6); в) (9x + 1)²; г) (4b − 3)²; д) (2x − 1)(3x + 1); е) (a − 5)(3a + 2).
705. Сократите дробь: а) (21a³ − 6a²b)/(12ab − 42a²); б) (6m³ + 3mn²)/(2m³n + mn³); в) (x² − 2mx + 3x − 6m)/(x² + 2mx + 3x + 6m); г) (8ab + 2a − 20b − 5)/(4ab − 8b² + a − 2b); д) (16a² − 8ab + b²)/(16a² − b²); е) (9x² − 25y²)/(9x² + 30xy + 25y²); ж) (a² − 3a)/(a² + 3a − 18); з) (4x² − 8x + 3)/(4x² − 1); и) (m² + 4m − 5)/(m² + 7m + 10).
а) Числитель 3a²(7a − 2b), знаменатель 6a(2b − 7a) = −6a(7a − 2b). Дробь равна 3a²/(−6a) = −a/2.
б) Числитель 3m(2m² + n²), знаменатель mn(2m² + n²). Дробь равна 3/n.
в) Числитель x(x − 2m) + 3(x − 2m) = (x − 2m)(x + 3); знаменатель x(x + 2m) + 3(x + 2m) = (x + 2m)(x + 3). Дробь равна (x − 2m)/(x + 2m).
г) Числитель 2a(4b + 1) − 5(4b + 1) = (4b + 1)(2a − 5); знаменатель 4b(a − 2b) + (a − 2b) = (a − 2b)(4b + 1). Дробь равна (2a − 5)/(a − 2b).
д) Числитель (4a − b)², знаменатель (4a − b)(4a + b). Дробь равна (4a − b)/(4a + b).
е) Числитель (3x − 5y)(3x + 5y), знаменатель (3x + 5y)². Дробь равна (3x − 5y)/(3x + 5y).
ж) Числитель a(a − 3); знаменатель a² + 3a − 18 = (a − 3)(a + 6) (корни 3 и −6). Дробь равна a/(a + 6).
з) 4x² − 8x + 3 = 0: D = 64 − 48 = 16, x = (8 ± 4)/8, корни 3/2 и 1/2, поэтому 4x² − 8x + 3 = (2x − 3)(2x − 1). Знаменатель (2x − 1)(2x + 1). Дробь равна (2x − 3)/(2x + 1).
и) m² + 4m − 5 = (m + 5)(m − 1) (корни −5 и 1); m² + 7m + 10 = (m + 5)(m + 2) (корни −5 и −2). Дробь равна (m − 1)/(m + 2).
Ответ: а) −a/2; б) 3/n; в) (x − 2m)/(x + 2m); г) (2a − 5)/(a − 2b); д) (4a − b)/(4a + b); е) (3x − 5y)/(3x + 5y); ж) a/(a + 6); з) (2x − 3)/(2x + 1); и) (m − 1)/(m + 2).
Оговорка: в пункте б) числитель прочитан как 6m³ + 3mn², знаменатель как 2m³n + mn³.
б) Числитель 3m(2m² + n²), знаменатель mn(2m² + n²). Дробь равна 3/n.
в) Числитель x(x − 2m) + 3(x − 2m) = (x − 2m)(x + 3); знаменатель x(x + 2m) + 3(x + 2m) = (x + 2m)(x + 3). Дробь равна (x − 2m)/(x + 2m).
г) Числитель 2a(4b + 1) − 5(4b + 1) = (4b + 1)(2a − 5); знаменатель 4b(a − 2b) + (a − 2b) = (a − 2b)(4b + 1). Дробь равна (2a − 5)/(a − 2b).
д) Числитель (4a − b)², знаменатель (4a − b)(4a + b). Дробь равна (4a − b)/(4a + b).
е) Числитель (3x − 5y)(3x + 5y), знаменатель (3x + 5y)². Дробь равна (3x − 5y)/(3x + 5y).
ж) Числитель a(a − 3); знаменатель a² + 3a − 18 = (a − 3)(a + 6) (корни 3 и −6). Дробь равна a/(a + 6).
з) 4x² − 8x + 3 = 0: D = 64 − 48 = 16, x = (8 ± 4)/8, корни 3/2 и 1/2, поэтому 4x² − 8x + 3 = (2x − 3)(2x − 1). Знаменатель (2x − 1)(2x + 1). Дробь равна (2x − 3)/(2x + 1).
и) m² + 4m − 5 = (m + 5)(m − 1) (корни −5 и 1); m² + 7m + 10 = (m + 5)(m + 2) (корни −5 и −2). Дробь равна (m − 1)/(m + 2).
Ответ: а) −a/2; б) 3/n; в) (x − 2m)/(x + 2m); г) (2a − 5)/(a − 2b); д) (4a − b)/(4a + b); е) (3x − 5y)/(3x + 5y); ж) a/(a + 6); з) (2x − 3)/(2x + 1); и) (m − 1)/(m + 2).
Оговорка: в пункте б) числитель прочитан как 6m³ + 3mn², знаменатель как 2m³n + mn³.
706. а) Найдите значение выражения (3x + 2y)/x, если известно, что (2x + 3y)/y = 7. б) Найдите значение выражения b/(a + b), если известно, что (4a − 5b)/b = 3.
а) Из (2x + 3y)/y = 7 следует 2x/y + 3 = 7, 2x/y = 4, x/y = 2, то есть x = 2y (y ≠ 0). Тогда (3x + 2y)/x = (6y + 2y)/(2y) = 8y/(2y) = 4.
б) Из (4a − 5b)/b = 3 следует 4a/b − 5 = 3, a/b = 2, a = 2b (b ≠ 0). Тогда b/(a + b) = b/(3b) = 1/3.
Ответ: а) 4; б) 1/3.
б) Из (4a − 5b)/b = 3 следует 4a/b − 5 = 3, a/b = 2, a = 2b (b ≠ 0). Тогда b/(a + b) = b/(3b) = 1/3.
Ответ: а) 4; б) 1/3.
707. Упростите: а) 2/(x² − 3x) − 1/(x² + 3x) − (x + 1)/(x² − 9); б) (2y + 1)/(y² + 3y) + (y + 2)/(3y − y²) − 1/y; в) (a² + 16a + 12)/(a³ − 8) − (2 − 3a)/(a² + 2a + 4) − 3/(a − 2); г) 2/(4b² − 6b + 9) + (4b² + 18)/(8b³ + 27) − 1/(2b + 3).
а) Знаменатели: x(x − 3), x(x + 3), (x − 3)(x + 3). Общий знаменатель x(x − 3)(x + 3). Числитель 2(x + 3) − (x − 3) − x(x + 1) = 2x + 6 − x + 3 − x² − x = 9 − x². Дробь (9 − x²)/(x(x² − 9)) = −1/x.
б) Знаменатели: y(y + 3), y(3 − y), y. Общий знаменатель y(3 + y)(3 − y) = y(9 − y²). Числитель (2y + 1)(3 − y) + (y + 2)(y + 3) − (9 − y²) = (−2y² + 5y + 3) + (y² + 5y + 6) − 9 + y² = 10y. Дробь 10y/(y(9 − y²)) = 10/(9 − y²).
в) a³ − 8 = (a − 2)(a² + 2a + 4). Числитель a² + 16a + 12 − (2 − 3a)(a − 2) − 3(a² + 2a + 4) = a² + 16a + 12 + 3a² − 8a + 4 − 3a² − 6a − 12 = a² + 2a + 4. Дробь равна 1/(a − 2).
г) 8b³ + 27 = (2b + 3)(4b² − 6b + 9). Числитель 2(2b + 3) + 4b² + 18 − (4b² − 6b + 9) = 4b + 6 + 18 + 6b − 9 = 10b + 15 = 5(2b + 3). Дробь равна 5/(4b² − 6b + 9).
Ответ: а) −1/x; б) 10/(9 − y²); в) 1/(a − 2); г) 5/(4b² − 6b + 9).
б) Знаменатели: y(y + 3), y(3 − y), y. Общий знаменатель y(3 + y)(3 − y) = y(9 − y²). Числитель (2y + 1)(3 − y) + (y + 2)(y + 3) − (9 − y²) = (−2y² + 5y + 3) + (y² + 5y + 6) − 9 + y² = 10y. Дробь 10y/(y(9 − y²)) = 10/(9 − y²).
в) a³ − 8 = (a − 2)(a² + 2a + 4). Числитель a² + 16a + 12 − (2 − 3a)(a − 2) − 3(a² + 2a + 4) = a² + 16a + 12 + 3a² − 8a + 4 − 3a² − 6a − 12 = a² + 2a + 4. Дробь равна 1/(a − 2).
г) 8b³ + 27 = (2b + 3)(4b² − 6b + 9). Числитель 2(2b + 3) + 4b² + 18 − (4b² − 6b + 9) = 4b + 6 + 18 + 6b − 9 = 10b + 15 = 5(2b + 3). Дробь равна 5/(4b² − 6b + 9).
Ответ: а) −1/x; б) 10/(9 − y²); в) 1/(a − 2); г) 5/(4b² − 6b + 9).