Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Вычисления — с. 190
695. Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии (bₙ), если b₂ = −1/32, b₃ = 1/16.
q = b₃/b₂ = (1/16) : (−1/32) = −2. b₁ = b₂/q = (−1/32)/(−2) = 1/64. b₁₂ = b₁q¹¹ = 1/64 · (−2)¹¹ = −2¹¹/2⁶ = −2⁵ = −32.
Ответ: −32.
Ответ: −32.
696. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (xₙ), если x₂ = −32 и q = −1/2.
x₁ = x₂/q = −32 : (−1/2) = 64. S₁₀ = x₁(1 − q¹⁰)/(1 − q) = 64 · (1 − 1/1024)/(3/2) = 64 · 1023/1024 · 2/3 = 1023/16 · 2/3 = 1023/24 = 341/8 = 42 5/8.
Ответ: 42 5/8 (= 42,625).
Ответ: 42 5/8 (= 42,625).
697. Каждую из десятичных дробей 0,45; 2,53; 31,98 округлите до десятых, вычислите абсолютную и относительную погрешности приближённых значений.
Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений; относительная — частное абсолютной погрешности и модуля приближённого значения.
0,45 ≈ 0,5: абсолютная погрешность |0,45 − 0,5| = 0,05; относительная 0,05/0,5 = 0,1 = 10%.
2,53 ≈ 2,5: абсолютная |2,53 − 2,5| = 0,03; относительная 0,03/2,5 = 0,012 = 1,2%.
31,98 ≈ 32,0: абсолютная |31,98 − 32,0| = 0,02; относительная 0,02/32 = 0,000625 = 0,0625% (примерно 0,06%).
Ответ: 0,5 (0,05; 10%); 2,5 (0,03; 1,2%); 32,0 (0,02; ≈ 0,06%).
0,45 ≈ 0,5: абсолютная погрешность |0,45 − 0,5| = 0,05; относительная 0,05/0,5 = 0,1 = 10%.
2,53 ≈ 2,5: абсолютная |2,53 − 2,5| = 0,03; относительная 0,03/2,5 = 0,012 = 1,2%.
31,98 ≈ 32,0: абсолютная |31,98 − 32,0| = 0,02; относительная 0,02/32 = 0,000625 = 0,0625% (примерно 0,06%).
Ответ: 0,5 (0,05; 10%); 2,5 (0,03; 1,2%); 32,0 (0,02; ≈ 0,06%).
698. Площадь Белого моря приближённо равна 91 тыс. км² (с точностью до 500 км²). Оцените относительную погрешность приближённого значения.
Приближённое значение 91 000 км², абсолютная погрешность не превосходит 500 км². Относительная погрешность не превосходит 500/91 000 = 1/182 ≈ 0,0055, то есть примерно 0,55% (меньше 0,6%).
Ответ: не более примерно 0,55%.
Ответ: не более примерно 0,55%.
699. Преобразуйте в многочлен: а) (x − 2y)(x + 2y) + 4y²; б) (2a − 3b)(2a + 3b) − 3a²; в) (5x − 1)² + 10x; г) (3y + 4z)² − 8z(3y − 2z); д) (m − 2n)(m² + 2mn + 4n²) + 6n³; е) (c² + 4d)(c⁴ − 4c²d + 16d²) − c²(c⁴ − 1); ж) (3x − 4y)² − (2x − 7y)(4x + 2y); з) 2x(2x + 3)² − (2x − 3)(4x² + 6x + 9).
а) x² − 4y² + 4y² = x².
б) 4a² − 9b² − 3a² = a² − 9b².
в) 25x² − 10x + 1 + 10x = 25x² + 1.
г) 9y² + 24yz + 16z² − 24yz + 16z² = 9y² + 32z².
д) По формуле разности кубов (m − 2n)(m² + 2mn + 4n²) = m³ − 8n³; m³ − 8n³ + 6n³ = m³ − 2n³.
е) По формуле суммы кубов (c² + 4d)(c⁴ − 4c²d + 16d²) = c⁶ + 64d³; c⁶ + 64d³ − c⁶ + c² = c² + 64d³.
ж) (3x − 4y)² = 9x² − 24xy + 16y²; (2x − 7y)(4x + 2y) = 8x² + 4xy − 28xy − 14y² = 8x² − 24xy − 14y². Разность: 9x² − 24xy + 16y² − 8x² + 24xy + 14y² = x² + 30y².
з) 2x(2x + 3)² = 2x(4x² + 12x + 9) = 8x³ + 24x² + 18x; (2x − 3)(4x² + 6x + 9) = 8x³ − 27. Разность: 24x² + 18x + 27.
Ответ: а) x²; б) a² − 9b²; в) 25x² + 1; г) 9y² + 32z²; д) m³ − 2n³; е) c² + 64d³; ж) x² + 30y²; з) 24x² + 18x + 27.
б) 4a² − 9b² − 3a² = a² − 9b².
в) 25x² − 10x + 1 + 10x = 25x² + 1.
г) 9y² + 24yz + 16z² − 24yz + 16z² = 9y² + 32z².
д) По формуле разности кубов (m − 2n)(m² + 2mn + 4n²) = m³ − 8n³; m³ − 8n³ + 6n³ = m³ − 2n³.
е) По формуле суммы кубов (c² + 4d)(c⁴ − 4c²d + 16d²) = c⁶ + 64d³; c⁶ + 64d³ − c⁶ + c² = c² + 64d³.
ж) (3x − 4y)² = 9x² − 24xy + 16y²; (2x − 7y)(4x + 2y) = 8x² + 4xy − 28xy − 14y² = 8x² − 24xy − 14y². Разность: 9x² − 24xy + 16y² − 8x² + 24xy + 14y² = x² + 30y².
з) 2x(2x + 3)² = 2x(4x² + 12x + 9) = 8x³ + 24x² + 18x; (2x − 3)(4x² + 6x + 9) = 8x³ − 27. Разность: 24x² + 18x + 27.
Ответ: а) x²; б) a² − 9b²; в) 25x² + 1; г) 9y² + 32z²; д) m³ − 2n³; е) c² + 64d³; ж) x² + 30y²; з) 24x² + 18x + 27.
700. Найдите значение выражения: а) 8x²(x − 4) − (2x − 3)(4x² + 6x + 9) − 17 при x = 0,5; б) 4a²(3a − 2) − 3a(2a − 1)² − (2a − 5)(2a + 5) при a = 3,3; в) (9x² − 3xb + b²)(3x + b) − 9x(3x² − b) − b³ при x = −1/3, b = 2/3; г) x(3x − 2y)(3x + 2y) − x(3x + 2y)² + 2xy(5x + 2y) при x = 0,5, y = −1.
Сначала упрощаем выражение.
а) 8x³ − 32x² − (8x³ − 27) − 17 = −32x² + 10. При x = 0,5: −32 · 0,25 + 10 = −8 + 10 = 2.
б) 12a³ − 8a² − 3a(4a² − 4a + 1) − (4a² − 25) = 12a³ − 8a² − 12a³ + 12a² − 3a − 4a² + 25 = 25 − 3a. При a = 3,3: 25 − 9,9 = 15,1.
в) (9x² − 3xb + b²)(3x + b) = 27x³ + b³; затем 27x³ + b³ − 27x³ + 9xb − b³ = 9xb. При x = −1/3, b = 2/3: 9 · (−1/3) · (2/3) = −2.
г) x(9x² − 4y²) − x(9x² + 12xy + 4y²) + 10x²y + 4xy² = 9x³ − 4xy² − 9x³ − 12x²y − 4xy² + 10x²y + 4xy² = −2x²y − 4xy². При x = 0,5, y = −1: −2 · 0,25 · (−1) − 4 · 0,5 · 1 = 0,5 − 2 = −1,5.
Ответ: а) 2; б) 15,1; в) −2; г) −1,5.
а) 8x³ − 32x² − (8x³ − 27) − 17 = −32x² + 10. При x = 0,5: −32 · 0,25 + 10 = −8 + 10 = 2.
б) 12a³ − 8a² − 3a(4a² − 4a + 1) − (4a² − 25) = 12a³ − 8a² − 12a³ + 12a² − 3a − 4a² + 25 = 25 − 3a. При a = 3,3: 25 − 9,9 = 15,1.
в) (9x² − 3xb + b²)(3x + b) = 27x³ + b³; затем 27x³ + b³ − 27x³ + 9xb − b³ = 9xb. При x = −1/3, b = 2/3: 9 · (−1/3) · (2/3) = −2.
г) x(9x² − 4y²) − x(9x² + 12xy + 4y²) + 10x²y + 4xy² = 9x³ − 4xy² − 9x³ − 12x²y − 4xy² + 10x²y + 4xy² = −2x²y − 4xy². При x = 0,5, y = −1: −2 · 0,25 · (−1) − 4 · 0,5 · 1 = 0,5 − 2 = −1,5.
Ответ: а) 2; б) 15,1; в) −2; г) −1,5.
701. Докажите тождество: а) (a + 2b)(a − 2b)(a² + 4b²) = a⁴ − 16b⁴; б) (x − 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1) = x⁸ − 1; в) (a − 2)(a + 2)(a² − 2a + 4)(a² + 2a + 4) = a⁶ − 64; г) (c² − c − 2)(c² + c − 2) = c⁴ − 5c² + 4.
а) (a + 2b)(a − 2b) = a² − 4b²; (a² − 4b²)(a² + 4b²) = a⁴ − 16b⁴.
б) (x − 1)(x + 1) = x² − 1; (x² − 1)(x² + 1) = x⁴ − 1; (x⁴ − 1)(x⁴ + 1) = x⁸ − 1.
в) (a − 2)(a² + 2a + 4) = a³ − 8 и (a + 2)(a² − 2a + 4) = a³ + 8; (a³ − 8)(a³ + 8) = a⁶ − 64.
г) Запишем множители как (c² − 2 − c)(c² − 2 + c) = (c² − 2)² − c² = c⁴ − 4c² + 4 − c² = c⁴ − 5c² + 4.
Тождества доказаны.
Оговорка: в пункте г) на скане знаки в скобках частично нечётки; принят вариант, при котором тождество верно.
б) (x − 1)(x + 1) = x² − 1; (x² − 1)(x² + 1) = x⁴ − 1; (x⁴ − 1)(x⁴ + 1) = x⁸ − 1.
в) (a − 2)(a² + 2a + 4) = a³ − 8 и (a + 2)(a² − 2a + 4) = a³ + 8; (a³ − 8)(a³ + 8) = a⁶ − 64.
г) Запишем множители как (c² − 2 − c)(c² − 2 + c) = (c² − 2)² − c² = c⁴ − 4c² + 4 − c² = c⁴ − 5c² + 4.
Тождества доказаны.
Оговорка: в пункте г) на скане знаки в скобках частично нечётки; принят вариант, при котором тождество верно.
702. Разложите на множители: а) 12x³ − 3x²y − 18xy²; б) 42a⁵ − 6a⁴ + 30a³; в) 8ab − 14a − 12b + 21; г) x² − 5x − 9xy + 45y.
а) Выносим 3x: 3x(4x² − xy − 6y²).
б) Выносим 6a³: 6a³(7a² − a + 5).
в) Группируем: 2a(4b − 7) − 3(4b − 7) = (4b − 7)(2a − 3).
г) Группируем: x(x − 5) − 9y(x − 5) = (x − 5)(x − 9y).
Ответ: а) 3x(4x² − xy − 6y²); б) 6a³(7a² − a + 5); в) (4b − 7)(2a − 3); г) (x − 5)(x − 9y).
б) Выносим 6a³: 6a³(7a² − a + 5).
в) Группируем: 2a(4b − 7) − 3(4b − 7) = (4b − 7)(2a − 3).
г) Группируем: x(x − 5) − 9y(x − 5) = (x − 5)(x − 9y).
Ответ: а) 3x(4x² − xy − 6y²); б) 6a³(7a² − a + 5); в) (4b − 7)(2a − 3); г) (x − 5)(x − 9y).