Упражнения 685–694, стр. 189 — 9 класс, Алгебра Макарычев, стр… · ГДЗ
Алгебра · 9 КЛАСС

Упражнения 685–694 — Упражнения для повторения курса 7–9 классов…

Страница 189 · Алгебра Макарычев 9 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 15-е издание, переработанное

Оглавление

Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Вычисления — с. 189

685. Имеется два сорта сливок — жирностью 10% и 20%. Их смешали в отношении 3 : 1. Какова жирность получившихся сливок?
Пусть взято 3m сливок жирностью 10% и m сливок жирностью 20%. Жира: 0,1 · 3m + 0,2 · m = 0,5m. Масса смеси 4m. Жирность 0,5m/(4m) = 0,125 = 12,5%.
Ответ: 12,5%.
686. а) Клиент банка внёс 80 000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Какая сумма окажется у него на счету через 2 года, если он никаких сумм со счёта не снимал и дополнительных вложений не делал? б) Клиент банка внёс 80 000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Через год он положил на этот же вклад ещё 20 000 р. Какая сумма будет у него на счету через 2 года после открытия счёта в банке?
Каждый год сумма на счёте умножается на 1,05.
а) 80 000 · 1,05² = 80 000 · 1,1025 = 88 200 (р.).
б) Через год: 80 000 · 1,05 = 84 000 р.; после довложения 84 000 + 20 000 = 104 000 р. Ещё через год: 104 000 · 1,05 = 109 200 (р.).
Ответ: а) 88 200 р.; б) 109 200 р.
687. Упростите выражение: а) (√15 + √10) · 2√5 − 5√12; б) (2√70 − 2√28)/(3√35 − 3√14); в) (2√12 − 3√3)²; г) (10 − 5√3)/(10 + 5√3) + (10 + 5√3)/(10 − 5√3).
а) (√15 + √10) · 2√5 = 2√75 + 2√50 = 2 · 5√3 + 2 · 5√2 = 10√3 + 10√2. 5√12 = 10√3. Разность 10√3 + 10√2 − 10√3 = 10√2.
б) Числитель 2√14(√5 − √2), так как √70 = √14 · √5 и √28 = √14 · √2. Знаменатель 3√7(√5 − √2), так как √35 = √7 · √5, √14 = √7 · √2. Сокращаем на √5 − √2: 2√14/(3√7) = 2√2/3.
в) 2√12 = 4√3, поэтому 2√12 − 3√3 = √3, и (√3)² = 3.
г) Общий знаменатель (10 + 5√3)(10 − 5√3) = 100 − 75 = 25. Числитель (10 − 5√3)² + (10 + 5√3)² = 2(100 + 75) = 350. Значение 350/25 = 14.
Ответ: а) 10√2; б) 2√2/3; в) 3; г) 14.
688. Упростите выражение (5 − 2√6)² − (3√2 − 2√3)(4√2 + 8√3).
(5 − 2√6)² = 25 − 20√6 + 24 = 49 − 20√6.
(3√2 − 2√3)(4√2 + 8√3) = 24 + 24√6 − 8√6 − 48 = −24 + 16√6.
Разность: 49 − 20√6 + 24 − 16√6 = 73 − 36√6.
Ответ: 73 − 36√6.
689. Докажите, что: а) √(√18 − 3) · √(√18 + 3)/√6 = √1,5; б) √10/(√(7 + √24) · √(7 − √24)) = √0,4.
а) Произведение корней равно корню из произведения: √((√18 − 3)(√18 + 3)) = √(18 − 9) = √9 = 3. Левая часть равна 3/√6 = √(9/6) = √1,5, что совпадает с правой.
б) √(7 + √24) · √(7 − √24) = √(49 − 24) = √25 = 5. Левая часть равна √10/5 = √(10/25) = √0,4. Равенство доказано.
690. Докажите равенство: а) √(19 − 6√10) = √10 − 3; б) √(23 − 8√7) = 4 − √7.
а) Так как √10 > 3, число √10 − 3 положительно. Его квадрат (√10 − 3)² = 10 − 6√10 + 9 = 19 − 6√10. Значит, √(19 − 6√10) = √10 − 3.
б) Так как √7 < 4, число 4 − √7 положительно. (4 − √7)² = 16 − 8√7 + 7 = 23 − 8√7. Значит, √(23 − 8√7) = 4 − √7.
Равенства доказаны.
691. Найдите значение выражения: а) 3x² − 6x − 5 при x = 1 + √2; б) (x² − x − 5)/(x − 1) при x = √5 + 1.
а) 3x² − 6x − 5 = 3(x − 1)² − 8. При x = 1 + √2: x − 1 = √2, 3 · 2 − 8 = −2.
б) При x = √5 + 1: x − 1 = √5, x² = 5 + 2√5 + 1 = 6 + 2√5. Числитель 6 + 2√5 − (√5 + 1) − 5 = √5. Значение √5/√5 = 1.
Ответ: а) −2; б) 1.
692. Найдите значение выражения: а) 0,3^(−3) + (3/7)^(−1) + (−0,5)^(−2) · 3/4 + (−1)⁸ · 6; б) (2/3)^(−2) − (1/9)^(−1) + (6/17)⁰ · 1/8 − 0,25^(−2) · 16.
Используем a^(−n) = (1/a)ⁿ и a⁰ = 1.
а) 0,3^(−3) = (10/3)³ = 1000/27. (3/7)^(−1) = 7/3. (−0,5)^(−2) = (−2)² = 4, 4 · 3/4 = 3. (−1)⁸ · 6 = 6. Сумма 1000/27 + 7/3 + 3 + 6 = 1000/27 + 63/27 + 243/27 = 1306/27 = 48 10/27.
б) (2/3)^(−2) = 9/4. (1/9)^(−1) = 9. (6/17)⁰ · 1/8 = 1/8. 0,25^(−2) = 4² = 16, 16 · 16 = 256. Сумма 9/4 − 9 + 1/8 − 256 = 18/8 + 1/8 − 265 = 19/8 − 265 = 2 3/8 − 265 = −262 5/8.
Ответ: а) 48 10/27; б) −262 5/8.
Оговорка: знаки «−» у показателей степеней 0,3, (−0,5), 0,25 на скане плохо видны; приняты отрицательные показатели, что согласуется с ответами учебника.
693. Верно ли высказывание: а) простое число не может быть чётным; б) простое число не имеет делителей; в) квадрат чётного числа — число чётное?
а) Неверно: число 2 простое и чётное.
б) Неверно: у простого числа есть два делителя — единица и само число.
в) Верно: чётное число имеет вид 2k, его квадрат 4k² = 2 · 2k² делится на 2.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
694. а) Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии (aₙ), если a₂ = −6, a₃ = −2. б) Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (xₙ), если x₂ = −2,4 и d = 1,2.
а) d = a₃ − a₂ = −2 − (−6) = 4; a₁ = a₂ − d = −10. a₁₅ = a₁ + 14d = −10 + 56 = 46.
б) x₁ = x₂ − d = −2,4 − 1,2 = −3,6. S₁₀ = (2x₁ + 9d)/2 · 10 = (−7,2 + 10,8) · 5 = 3,6 · 5 = 18.
Ответ: а) 46; б) 18.