Глава V. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 10 — с. 187
675. Докажите, что если (aₙ) — геометрическая прогрессия, то: а) a₂ · a₆ = a₃ · a₅; б) aₙ₋₃ · aₙ₊₈ = aₙ · aₙ₊₅, где n > 3.
Пусть a₁ — первый член, q — знаменатель; aₖ = a₁qᵏ⁻¹.
а) a₂ · a₆ = a₁q · a₁q⁵ = a₁²q⁶; a₃ · a₅ = a₁q² · a₁q⁴ = a₁²q⁶. Результаты равны.
б) aₙ₋₃ · aₙ₊₈ = a₁q^(n−4) · a₁q^(n+7) = a₁²q^(2n+3); aₙ · aₙ₊₅ = a₁q^(n−1) · a₁q^(n+4) = a₁²q^(2n+3). Результаты равны.
Что и требовалось доказать. (Общее свойство: в геометрической прогрессии произведение членов, сумма номеров которых одинакова, одно и то же.)
а) a₂ · a₆ = a₁q · a₁q⁵ = a₁²q⁶; a₃ · a₅ = a₁q² · a₁q⁴ = a₁²q⁶. Результаты равны.
б) aₙ₋₃ · aₙ₊₈ = a₁q^(n−4) · a₁q^(n+7) = a₁²q^(2n+3); aₙ · aₙ₊₅ = a₁q^(n−1) · a₁q^(n+4) = a₁²q^(2n+3). Результаты равны.
Что и требовалось доказать. (Общее свойство: в геометрической прогрессии произведение членов, сумма номеров которых одинакова, одно и то же.)
676. Докажите, что если bₙ и bₘ — члены геометрической прогрессии, знаменатель которой равен q, то bₙ = bₘqⁿ⁻ᵐ.
Пусть b₁ — первый член. По формуле n-го члена bₙ = b₁qⁿ⁻¹ и bₘ = b₁qᵐ⁻¹.
Тогда bₘqⁿ⁻ᵐ = b₁qᵐ⁻¹ · qⁿ⁻ᵐ = b₁q^((m−1)+(n−m)) = b₁qⁿ⁻¹ = bₙ.
Что и требовалось доказать.
Тогда bₘqⁿ⁻ᵐ = b₁qᵐ⁻¹ · qⁿ⁻ᵐ = b₁q^((m−1)+(n−m)) = b₁qⁿ⁻¹ = bₙ.
Что и требовалось доказать.
677. В геометрической прогрессии (xₙ): а) q = −1/3, n = 5, Sₙ = 20 1/3; найдите x₁ и xₙ; б) x₁ = 11, xₙ = 88, Sₙ = 165; найдите q и n; в) x₁ = 1/2, q = −1/2, Sₙ = 21/64; найдите n и xₙ; г) q = √3, xₙ = 18√3, Sₙ = 26√3 + 24; найдите x₁ и n.
Используем Sₙ = x₁(1 − qⁿ)/(1 − q) и xₙ = x₁qⁿ⁻¹; также Sₙ = (xₙq − x₁)/(q − 1).
а) S₅ = x₁(1 − (−1/3)⁵)/(1 + 1/3) = x₁ · (1 + 1/243) · 3/4 = x₁ · 244/243 · 3/4 = x₁ · 61/81. По условию S₅ = 61/3, откуда x₁ = 61/3 · 81/61 = 27. x₅ = 27 · (−1/3)⁴ = 27/81 = 1/3.
б) 165 = (88q − 11)/(q − 1), 165q − 165 = 88q − 11, 77q = 154, q = 2. Из 11 · 2ⁿ⁻¹ = 88 получаем 2ⁿ⁻¹ = 8, n − 1 = 3, n = 4. Проверка: 11 + 22 + 44 + 88 = 165.
в) Sₙ = (1/2)(1 − (−1/2)ⁿ)/(1 + 1/2) = (1/3)(1 − (−1/2)ⁿ) = 21/64. Отсюда 1 − (−1/2)ⁿ = 63/64, (−1/2)ⁿ = 1/64, значит n = 6 (чётное). x₆ = 1/2 · (−1/2)⁵ = −1/64.
г) Sₙ = (xₙq − x₁)/(q − 1) = (18√3 · √3 − x₁)/(√3 − 1) = (54 − x₁)/(√3 − 1) = 26√3 + 24. Тогда 54 − x₁ = (26√3 + 24)(√3 − 1) = 78 − 26√3 + 24√3 − 24 = 54 − 2√3, x₁ = 2√3. Из 2√3 · (√3)ⁿ⁻¹ = 18√3 получаем (√3)ⁿ⁻¹ = 9 = (√3)⁴, n = 5.
Ответ: а) x₁ = 27, x₅ = 1/3; б) q = 2, n = 4; в) n = 6, x₆ = −1/64; г) x₁ = 2√3, n = 5.
а) S₅ = x₁(1 − (−1/3)⁵)/(1 + 1/3) = x₁ · (1 + 1/243) · 3/4 = x₁ · 244/243 · 3/4 = x₁ · 61/81. По условию S₅ = 61/3, откуда x₁ = 61/3 · 81/61 = 27. x₅ = 27 · (−1/3)⁴ = 27/81 = 1/3.
б) 165 = (88q − 11)/(q − 1), 165q − 165 = 88q − 11, 77q = 154, q = 2. Из 11 · 2ⁿ⁻¹ = 88 получаем 2ⁿ⁻¹ = 8, n − 1 = 3, n = 4. Проверка: 11 + 22 + 44 + 88 = 165.
в) Sₙ = (1/2)(1 − (−1/2)ⁿ)/(1 + 1/2) = (1/3)(1 − (−1/2)ⁿ) = 21/64. Отсюда 1 − (−1/2)ⁿ = 63/64, (−1/2)ⁿ = 1/64, значит n = 6 (чётное). x₆ = 1/2 · (−1/2)⁵ = −1/64.
г) Sₙ = (xₙq − x₁)/(q − 1) = (18√3 · √3 − x₁)/(√3 − 1) = (54 − x₁)/(√3 − 1) = 26√3 + 24. Тогда 54 − x₁ = (26√3 + 24)(√3 − 1) = 78 − 26√3 + 24√3 − 24 = 54 − 2√3, x₁ = 2√3. Из 2√3 · (√3)ⁿ⁻¹ = 18√3 получаем (√3)ⁿ⁻¹ = 9 = (√3)⁴, n = 5.
Ответ: а) x₁ = 27, x₅ = 1/3; б) q = 2, n = 4; в) n = 6, x₆ = −1/64; г) x₁ = 2√3, n = 5.
678. Сумму первых n членов последовательности (xₙ) можно найти по формуле Sₙ = 3/4 (5ⁿ − 1). Докажите, что последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.
x₁ = S₁ = 3/4 · (5 − 1) = 3. При n ≥ 2: xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 3/4 (5ⁿ − 1) − 3/4 (5ⁿ⁻¹ − 1) = 3/4 (5ⁿ − 5ⁿ⁻¹) = 3/4 · 5ⁿ⁻¹ · (5 − 1) = 3 · 5ⁿ⁻¹. При n = 1 эта формула даёт 3 = x₁, значит xₙ = 3 · 5ⁿ⁻¹ при всех n. Отношение xₙ₊₁/xₙ = 5 постоянно, поэтому (xₙ) — геометрическая прогрессия.
Ответ: q = 5, x₁ = 3.
Ответ: q = 5, x₁ = 3.
679. Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна 11/64, а сумма следующих пяти членов равна −5 1/2. Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии.
Пусть S — сумма первых пяти членов, S = 11/64. Каждый член следующей пятёрки получается из соответствующего члена первой умножением на q⁵, поэтому сумма членов с 6-го по 10-й равна S · q⁵ = −11/2. Отсюда q⁵ = (−11/2) : (11/64) = −32, q = −2.
Сумма членов с 11-го по 15-й равна S · q¹⁰ = 11/64 · (q⁵)² = 11/64 · 1024 = 11 · 16 = 176.
Ответ: 176.
Сумма членов с 11-го по 15-й равна S · q¹⁰ = 11/64 · (q⁵)² = 11/64 · 1024 = 11 · 16 = 176.
Ответ: 176.
680. Упростите выражение, применив формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии: а) 1 + x + x² + x³ + x⁴, где x ≠ 1 и x ≠ 0; б) 1 − x + x² − x³ + x⁴ − x⁵ + x⁶, где x ≠ −1 и x ≠ 0.
а) Слагаемые — первые пять членов геометрической прогрессии с b₁ = 1 и q = x. Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1): 1 + x + x² + x³ + x⁴ = (x⁵ − 1)/(x − 1).
б) Слагаемые — первые семь членов геометрической прогрессии с b₁ = 1 и q = −x (q ≠ 1 при x ≠ −1). Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q): 1 − x + x² − … + x⁶ = (1 − (−x)⁷)/(1 + x) = (1 + x⁷)/(1 + x).
Ответ: а) (x⁵ − 1)/(x − 1); б) (x⁷ + 1)/(x + 1).
б) Слагаемые — первые семь членов геометрической прогрессии с b₁ = 1 и q = −x (q ≠ 1 при x ≠ −1). Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q): 1 − x + x² − … + x⁶ = (1 − (−x)⁷)/(1 + x) = (1 + x⁷)/(1 + x).
Ответ: а) (x⁵ − 1)/(x − 1); б) (x⁷ + 1)/(x + 1).