Глава V. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 10 — с. 186
668. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (bₙ): а) b₁; b₂; 225; −135; 81; b₆; … ; б) b₁; b₂; b₃; 36; 54; … .
а) Известны b₃ = 225, b₄ = −135, b₅ = 81. q = b₄/b₃ = −135/225 = −3/5 (проверка: 81/(−135) = −3/5). b₂ = b₃/q = 225 : (−3/5) = −375; b₁ = b₂/q = −375 : (−3/5) = 625; b₆ = b₅ · q = 81 · (−3/5) = −48,6.
б) Известны b₄ = 36, b₅ = 54. q = 54/36 = 1,5. b₃ = 36 : 1,5 = 24; b₂ = 24 : 1,5 = 16; b₁ = 16 : 1,5 = 32/3 = 10 2/3.
Ответ: а) b₁ = 625, b₂ = −375, b₆ = −48,6; б) b₁ = 10 2/3, b₂ = 16, b₃ = 24.
б) Известны b₄ = 36, b₅ = 54. q = 54/36 = 1,5. b₃ = 36 : 1,5 = 24; b₂ = 24 : 1,5 = 16; b₁ = 16 : 1,5 = 32/3 = 10 2/3.
Ответ: а) b₁ = 625, b₂ = −375, b₆ = −48,6; б) b₁ = 10 2/3, b₂ = 16, b₃ = 24.
669. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность: а) x₁ + 1; x₂ + 1; … ; xₙ + 1; … ; б) 3x₁; 3x₂; … ; 3xₙ; … ; в) x₁²; x₂²; … ; xₙ²; … ; г) 1/x₁; 1/x₂; … ; 1/xₙ; … ?
Пусть xₙ₊₁ = xₙq, где xₙ ≠ 0, q ≠ 0.
а) Отношение (xₙ₊₁ + 1)/(xₙ + 1) в общем случае не постоянно. Пример: x = 1; 2; 4; 8; … (q = 2), тогда x + 1 = 2; 3; 5; 9; … , отношения 3/2, 5/3, 9/5 различны. Нет (кроме случая q = 1, когда все члены равны).
б) 3xₙ₊₁/(3xₙ) = q. Да, знаменатель q.
в) xₙ₊₁²/xₙ² = q². Да, знаменатель q².
г) (1/xₙ₊₁)/(1/xₙ) = xₙ/xₙ₊₁ = 1/q. Да, знаменатель 1/q.
Ответ: а) нет (в общем случае); б), в), г) да.
а) Отношение (xₙ₊₁ + 1)/(xₙ + 1) в общем случае не постоянно. Пример: x = 1; 2; 4; 8; … (q = 2), тогда x + 1 = 2; 3; 5; 9; … , отношения 3/2, 5/3, 9/5 различны. Нет (кроме случая q = 1, когда все члены равны).
б) 3xₙ₊₁/(3xₙ) = q. Да, знаменатель q.
в) xₙ₊₁²/xₙ² = q². Да, знаменатель q².
г) (1/xₙ₊₁)/(1/xₙ) = xₙ/xₙ₊₁ = 1/q. Да, знаменатель 1/q.
Ответ: а) нет (в общем случае); б), в), г) да.
670. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию?
Пусть a; b; c — три числа, составляющие и арифметическую, и геометрическую прогрессию (члены геометрической прогрессии не равны нулю). Тогда 2b = a + c и b² = ac. Подставим b = (a + c)/2: (a + c)²/4 = ac, (a + c)² = 4ac, a² − 2ac + c² = 0, (a − c)² = 0, a = c. Тогда b = a. Значит, все три числа равны.
Обратно, три одинаковых ненулевых числа, например 5; 5; 5, составляют арифметическую прогрессию с d = 0 и геометрическую с q = 1.
Ответ: да, существуют: это три равных ненулевых числа.
Обратно, три одинаковых ненулевых числа, например 5; 5; 5, составляют арифметическую прогрессию с d = 0 и геометрическую с q = 1.
Ответ: да, существуют: это три равных ненулевых числа.
671. Является ли геометрической прогрессией последовательность (xₙ), если: а) xₙ = 2ⁿ; б) xₙ = 3^(−n); в) xₙ = n²; г) xₙ = abⁿ, где a ≠ 0, b ≠ 0?
Проверяем, постоянно ли отношение xₙ₊₁/xₙ и все ли члены отличны от нуля.
а) 2ⁿ⁺¹/2ⁿ = 2. Да, q = 2.
б) 3^(−n−1)/3^(−n) = 3^(−1) = 1/3. Да, q = 1/3.
в) x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 9: x₂/x₁ = 4, x₃/x₂ = 9/4. Нет. (Вообще (n + 1)²/n² зависит от n.)
г) abⁿ⁺¹/(abⁿ) = b. Да, q = b, первый член ab.
Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да.
Оговорка: в пункте б) показатель прочитан как −n (знак минус на скане плохо различим).
а) 2ⁿ⁺¹/2ⁿ = 2. Да, q = 2.
б) 3^(−n−1)/3^(−n) = 3^(−1) = 1/3. Да, q = 1/3.
в) x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 9: x₂/x₁ = 4, x₃/x₂ = 9/4. Нет. (Вообще (n + 1)²/n² зависит от n.)
г) abⁿ⁺¹/(abⁿ) = b. Да, q = b, первый член ab.
Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да.
Оговорка: в пункте б) показатель прочитан как −n (знак минус на скане плохо различим).
672. Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии (bₙ). Найдите bₙ, если: а) b₁ = 243/256, q = 2/3, n = 8; б) b₁ = √(2/3), q = −√6, n = 5.
Используем bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
а) b₈ = 243/256 · (2/3)⁷ = 243/256 · 128/2187 = (243/2187) · (128/256) = 1/9 · 1/2 = 1/18.
б) b₅ = √(2/3) · (−√6)⁴ = √(2/3) · 36. Так как √(2/3) = √6/3, получаем b₅ = 36 · √6/3 = 12√6.
Ответ: а) 1/18; б) 12√6.
а) b₈ = 243/256 · (2/3)⁷ = 243/256 · 128/2187 = (243/2187) · (128/256) = 1/9 · 1/2 = 1/18.
б) b₅ = √(2/3) · (−√6)⁴ = √(2/3) · 36. Так как √(2/3) = √6/3, получаем b₅ = 36 · √6/3 = 12√6.
Ответ: а) 1/18; б) 12√6.
673. Первый и девятый члены геометрической прогрессии равны соответственно 135 и 5/3. Найдите заключённые между ними члены этой прогрессии.
b₁ = 135, b₉ = b₁q⁸ = 5/3. Тогда q⁸ = (5/3)/135 = 5/405 = 1/81 = (1/3)⁴. Поскольку q⁸ = (q²)⁴ и q² > 0, получаем q² = 1/3, q = 1/√3 = √3/3 или q = −√3/3.
Нужны b₂, …, b₈. Нечётные члены не зависят от знака q: b₃ = 135 · 1/3 = 45, b₅ = 135 · 1/9 = 15, b₇ = 135 · 1/27 = 5. Чётные: b₂ = 135q = 135 · √3/3 · (±1) = ±45√3, b₄ = b₂ · q² = ±15√3, b₆ = ±5√3, b₈ = ±5√3/3.
Ответ: при q = √3/3: 45√3; 45; 15√3; 15; 5√3; 5; 5√3/3. При q = −√3/3: −45√3; 45; −15√3; 15; −5√3; 5; −5√3/3.
Нужны b₂, …, b₈. Нечётные члены не зависят от знака q: b₃ = 135 · 1/3 = 45, b₅ = 135 · 1/9 = 15, b₇ = 135 · 1/27 = 5. Чётные: b₂ = 135q = 135 · √3/3 · (±1) = ±45√3, b₄ = b₂ · q² = ±15√3, b₆ = ±5√3, b₈ = ±5√3/3.
Ответ: при q = √3/3: 45√3; 45; 15√3; 15; 5√3; 5; 5√3/3. При q = −√3/3: −45√3; 45; −15√3; 15; −5√3; 5; −5√3/3.
674. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия. Докажите, что: а) если b₁ > 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего; б) если b₁ > 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего; в) если b₁ < 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего; г) если b₁ < 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего. Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.
Так как bₙ = b₁qⁿ⁻¹ и q > 0, знак любого члена совпадает со знаком b₁. Рассмотрим разность bₙ₊₁ − bₙ = bₙq − bₙ = bₙ(q − 1).
а) bₙ > 0 и q − 1 > 0, поэтому разность положительна: bₙ₊₁ > bₙ. Пример: 2; 4; 8; … (q = 2).
б) bₙ > 0 и q − 1 < 0, разность отрицательна: bₙ₊₁ < bₙ. Пример: 16; 8; 4; … (q = 1/2).
в) bₙ < 0 и q − 1 > 0, разность отрицательна: bₙ₊₁ < bₙ. Пример: −1; −2; −4; … (q = 2).
г) bₙ < 0 и q − 1 < 0, разность положительна: bₙ₊₁ > bₙ. Пример: −16; −8; −4; … (q = 1/2).
Что и требовалось доказать.
а) bₙ > 0 и q − 1 > 0, поэтому разность положительна: bₙ₊₁ > bₙ. Пример: 2; 4; 8; … (q = 2).
б) bₙ > 0 и q − 1 < 0, разность отрицательна: bₙ₊₁ < bₙ. Пример: 16; 8; 4; … (q = 1/2).
в) bₙ < 0 и q − 1 > 0, разность отрицательна: bₙ₊₁ < bₙ. Пример: −1; −2; −4; … (q = 2).
г) bₙ < 0 и q − 1 < 0, разность положительна: bₙ₊₁ > bₙ. Пример: −16; −8; −4; … (q = 1/2).
Что и требовалось доказать.