Глава V. Дополнительные упражнения к главе V — с. 185
659. Найдите натуральное число, которое: а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел; б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.
Пусть искомое число n. Предшествующие ему натуральные числа 1, 2, …, n − 1; их сумма равна (1 + (n − 1))/2 · (n − 1) = n(n − 1)/2.
а) По условию n = n(n − 1)/2 : 5, то есть 5n = n(n − 1)/2. Так как n ≠ 0, делим на n: 5 = (n − 1)/2, n − 1 = 10, n = 11. Проверка: 1 + 2 + … + 10 = 55, 55 : 5 = 11.
б) n = n(n − 1)/2; делим на n: 1 = (n − 1)/2, n = 3. Проверка: 1 + 2 = 3.
Ответ: а) 11; б) 3.
а) По условию n = n(n − 1)/2 : 5, то есть 5n = n(n − 1)/2. Так как n ≠ 0, делим на n: 5 = (n − 1)/2, n − 1 = 10, n = 11. Проверка: 1 + 2 + … + 10 = 55, 55 : 5 = 11.
б) n = n(n − 1)/2; делим на n: 1 = (n − 1)/2, n = 3. Проверка: 1 + 2 = 3.
Ответ: а) 11; б) 3.
660. Члены арифметической прогрессии 2; 5; 8; … с чётными номерами заменили противоположными им числами. В результате получили последовательность (xₙ). Напишите формулу n-го члена этой последовательности и найдите сумму первых пятидесяти её членов.
У прогрессии 2; 5; 8; … a₁ = 2, d = 3, aₙ = 2 + 3(n − 1) = 3n − 1.
У членов с нечётными номерами знак сохраняется, с чётными меняется на противоположный, поэтому xₙ = (−1)^(n+1)·(3n − 1): xₙ = 3n − 1 при нечётном n и xₙ = −(3n − 1) при чётном n.
Сумму первых 50 членов разобьём на 25 пар соседних членов x₂ₖ₋₁ + x₂ₖ = (3(2k − 1) − 1) − (3·2k − 1) = (6k − 4) − (6k − 1) = −3.
S₅₀ = 25·(−3) = −75.
Ответ: xₙ = (−1)^(n+1)·(3n − 1); S₅₀ = −75.
У членов с нечётными номерами знак сохраняется, с чётными меняется на противоположный, поэтому xₙ = (−1)^(n+1)·(3n − 1): xₙ = 3n − 1 при нечётном n и xₙ = −(3n − 1) при чётном n.
Сумму первых 50 членов разобьём на 25 пар соседних членов x₂ₖ₋₁ + x₂ₖ = (3(2k − 1) − 1) − (3·2k − 1) = (6k − 4) − (6k − 1) = −3.
S₅₀ = 25·(−3) = −75.
Ответ: xₙ = (−1)^(n+1)·(3n − 1); S₅₀ = −75.
661. Упростите выражение: а) (x · x² · x³ · … · xⁿ)/(x · x³ · x⁵ · … · x^(2n−1)); б) (x² · x⁴ · x⁶ · … · x^(2n))/(x · x² · x³ · … · xⁿ).
Используем правило xᵃ · xᵇ = x^(a+b): при перемножении степеней с одним основанием показатели складываются.
а) В числителе показатель 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. В знаменателе показатели 1, 3, 5, …, 2n − 1 образуют арифметическую прогрессию из n членов, их сумма (1 + 2n − 1)/2 · n = n². Дробь равна x^(n(n+1)/2 − n²) = x^((n − n²)/2) = x^(−n(n−1)/2), то есть 1/x^(n(n−1)/2).
б) В числителе показатели 2, 4, …, 2n; их сумма (2 + 2n)/2 · n = n(n + 1). В знаменателе 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Дробь равна x^(n(n+1) − n(n+1)/2) = x^(n(n+1)/2).
Ответ: а) x^((n − n²)/2); б) x^((n² + n)/2).
а) В числителе показатель 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. В знаменателе показатели 1, 3, 5, …, 2n − 1 образуют арифметическую прогрессию из n членов, их сумма (1 + 2n − 1)/2 · n = n². Дробь равна x^(n(n+1)/2 − n²) = x^((n − n²)/2) = x^(−n(n−1)/2), то есть 1/x^(n(n−1)/2).
б) В числителе показатели 2, 4, …, 2n; их сумма (2 + 2n)/2 · n = n(n + 1). В знаменателе 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Дробь равна x^(n(n+1) − n(n+1)/2) = x^(n(n+1)/2).
Ответ: а) x^((n − n²)/2); б) x^((n² + n)/2).
662. Найдите: а) сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 8,2; 7,4; … ; б) сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии −6,5; −6; … .
а) a₁ = 8,2, d = −0,8, aₙ = 8,2 − 0,8(n − 1) = 9 − 0,8n. Положительные члены: 9 − 0,8n > 0, n < 11,25, то есть n ≤ 11. a₁₁ = 9 − 8,8 = 0,2. S₁₁ = (8,2 + 0,2)/2 · 11 = 4,2 · 11 = 46,2.
б) a₁ = −6,5, d = 0,5, aₙ = −6,5 + 0,5(n − 1) = 0,5n − 7. Отрицательные члены: 0,5n − 7 < 0, n < 14, то есть n ≤ 13 (a₁₄ = 0 не отрицателен). a₁₃ = 6,5 − 7 = −0,5. S₁₃ = (−6,5 + (−0,5))/2 · 13 = −3,5 · 13 = −45,5.
Ответ: а) 46,2; б) −45,5.
б) a₁ = −6,5, d = 0,5, aₙ = −6,5 + 0,5(n − 1) = 0,5n − 7. Отрицательные члены: 0,5n − 7 < 0, n < 14, то есть n ≤ 13 (a₁₄ = 0 не отрицателен). a₁₃ = 6,5 − 7 = −0,5. S₁₃ = (−6,5 + (−0,5))/2 · 13 = −3,5 · 13 = −45,5.
Ответ: а) 46,2; б) −45,5.
663. Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых её десяти членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.
Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n.
S₁₀ = 5(2a₁ + 9d) = 100, откуда 2a₁ + 9d = 20.
S₃₀ = 15(2a₁ + 29d) = 900, откуда 2a₁ + 29d = 60.
Вычитая, получаем 20d = 40, d = 2; тогда 2a₁ = 20 − 18 = 2, a₁ = 1.
S₄₀ = 20(2a₁ + 39d) = 20(2 + 78) = 1600.
Ответ: 1600.
S₁₀ = 5(2a₁ + 9d) = 100, откуда 2a₁ + 9d = 20.
S₃₀ = 15(2a₁ + 29d) = 900, откуда 2a₁ + 29d = 60.
Вычитая, получаем 20d = 40, d = 2; тогда 2a₁ = 20 − 18 = 2, a₁ = 1.
S₄₀ = 20(2a₁ + 39d) = 20(2 + 78) = 1600.
Ответ: 1600.
664. Найдите пятидесятый член арифметической прогрессии, если: а) S₂₀ = 1000, S₄₀ = 10 000; б) S₅ = 0,5, S₁₅ = −81.
а) S₂₀ = 10(2a₁ + 19d) = 1000, 2a₁ + 19d = 100. S₄₀ = 20(2a₁ + 39d) = 10 000, 2a₁ + 39d = 500. Вычитаем: 20d = 400, d = 20; 2a₁ = 100 − 380 = −280, a₁ = −140. a₅₀ = a₁ + 49d = −140 + 980 = 840.
б) S₅ = 5/2 · (2a₁ + 4d) = 0,5, 2a₁ + 4d = 0,2. S₁₅ = 15/2 · (2a₁ + 14d) = −81, 2a₁ + 14d = −10,8. Вычитаем: 10d = −11, d = −1,1; 2a₁ = 0,2 + 4,4 = 4,6, a₁ = 2,3. a₅₀ = 2,3 + 49·(−1,1) = 2,3 − 53,9 = −51,6.
Ответ: а) 840; б) −51,6.
б) S₅ = 5/2 · (2a₁ + 4d) = 0,5, 2a₁ + 4d = 0,2. S₁₅ = 15/2 · (2a₁ + 14d) = −81, 2a₁ + 14d = −10,8. Вычитаем: 10d = −11, d = −1,1; 2a₁ = 0,2 + 4,4 = 4,6, a₁ = 2,3. a₅₀ = 2,3 + 49·(−1,1) = 2,3 − 53,9 = −51,6.
Ответ: а) 840; б) −51,6.
665. Запишите формулу суммы первых n членов последовательности (aₙ), если: а) aₙ = 2n + 1; б) aₙ = 3 − n.
Обе последовательности заданы формулой вида aₙ = kn + m, поэтому являются арифметическими прогрессиями; применим Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n.
а) a₁ = 3, aₙ = 2n + 1: Sₙ = (3 + 2n + 1)/2 · n = (n + 2)n = n² + 2n.
б) a₁ = 2, aₙ = 3 − n: Sₙ = (2 + 3 − n)/2 · n = n(5 − n)/2.
Ответ: а) Sₙ = n² + 2n; б) Sₙ = n(5 − n)/2.
а) a₁ = 3, aₙ = 2n + 1: Sₙ = (3 + 2n + 1)/2 · n = (n + 2)n = n² + 2n.
б) a₁ = 2, aₙ = 3 − n: Sₙ = (2 + 3 − n)/2 · n = n(5 − n)/2.
Ответ: а) Sₙ = n² + 2n; б) Sₙ = n(5 − n)/2.
666. Является ли последовательность (xₙ) арифметической прогрессией, если сумму первых n её членов можно найти по формуле Sₙ = n² − 8n?
Найдите пятый член этой последовательности.
x₁ = S₁ = 1 − 8 = −7. При n ≥ 2 xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = n² − 8n − ((n − 1)² − 8(n − 1)) = n² − 8n − n² + 2n − 1 + 8n − 8 = 2n − 9. Для n = 1 эта формула даёт −7, то есть совпадает с x₁. Значит, xₙ = 2n − 9 при всех n. Разность xₙ₊₁ − xₙ = 2 постоянна, поэтому последовательность — арифметическая прогрессия.
x₅ = 2·5 − 9 = 1. Проверка: S₅ − S₄ = (25 − 40) − (16 − 32) = −15 + 16 = 1.
Ответ: да; x₅ = 1.
x₅ = 2·5 − 9 = 1. Проверка: S₅ − S₄ = (25 − 40) − (16 − 32) = −15 + 16 = 1.
Ответ: да; x₅ = 1.
667. Является ли последовательность (xₙ) арифметической прогрессией, если сумма первых n её членов может быть найдена по формуле: а) Sₙ = −n² + 3n; б) Sₙ = 2n² − 1; в) Sₙ = n² + 2n − 8; г) Sₙ = 6n + 5?
Находим x₁ = S₁ и xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ при n ≥ 2, затем проверяем, подходит ли формула для n = 1 и постоянна ли разность.
а) x₁ = −1 + 3 = 2. При n ≥ 2: xₙ = −n² + 3n + (n − 1)² − 3(n − 1) = −2n + 4. При n = 1 получаем 2 = x₁. Формула общая, xₙ = −2n + 4, d = −2. Да.
б) x₁ = 1. При n ≥ 2: xₙ = 2n² − 2(n − 1)² = 4n − 2. При n = 1 это дало бы 2 ≠ 1. Тогда x₁ = 1, x₂ = 6, x₃ = 10: x₂ − x₁ = 5, x₃ − x₂ = 4. Нет.
в) x₁ = 1 + 2 − 8 = −5. При n ≥ 2: xₙ = n² + 2n − (n − 1)² − 2(n − 1) = 2n + 1. При n = 1 было бы 3 ≠ −5. x₁ = −5, x₂ = 5, x₃ = 7: x₂ − x₁ = 10, x₃ − x₂ = 2. Нет.
г) x₁ = 11. При n ≥ 2: xₙ = 6n − 6(n − 1) = 6. x₂ − x₁ = −5, x₃ − x₂ = 0. Нет.
Замечание: сумма Sₙ арифметической прогрессии имеет вид An² + Bn без свободного члена; в б), в), г) он отличен от нуля (или формула нарушается при n = 1).
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет.
а) x₁ = −1 + 3 = 2. При n ≥ 2: xₙ = −n² + 3n + (n − 1)² − 3(n − 1) = −2n + 4. При n = 1 получаем 2 = x₁. Формула общая, xₙ = −2n + 4, d = −2. Да.
б) x₁ = 1. При n ≥ 2: xₙ = 2n² − 2(n − 1)² = 4n − 2. При n = 1 это дало бы 2 ≠ 1. Тогда x₁ = 1, x₂ = 6, x₃ = 10: x₂ − x₁ = 5, x₃ − x₂ = 4. Нет.
в) x₁ = 1 + 2 − 8 = −5. При n ≥ 2: xₙ = n² + 2n − (n − 1)² − 2(n − 1) = 2n + 1. При n = 1 было бы 3 ≠ −5. x₁ = −5, x₂ = 5, x₃ = 7: x₂ − x₁ = 10, x₃ − x₂ = 2. Нет.
г) x₁ = 11. При n ≥ 2: xₙ = 6n − 6(n − 1) = 6. x₂ − x₁ = −5, x₃ − x₂ = 0. Нет.
Замечание: сумма Sₙ арифметической прогрессии имеет вид An² + Bn без свободного члена; в б), в), г) он отличен от нуля (или формула нарушается при n = 1).
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет.