Глава V. Дополнительные упражнения к главе V — с. 183
641. Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон?
Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?
Пусть стороны a − d, a, a + d (a — средний член, d ≥ 0). Периметр: (a − d) + a + (a + d) = 3a = 24, a = 8. Значит, одну сторону определить можно: средняя по длине сторона равна 8 см.
Стороны 8 − d, 8, 8 + d. Должно выполняться неравенство треугольника: (8 − d) + 8 > 8 + d, то есть d < 4 (и 8 − d > 0).
Целые длины: разность d целая, так как 8 + d — целое. d = 0: 8; 8; 8. d = 1: 7; 8; 9. d = 2: 6; 8; 10. d = 3: 5; 8; 11. При d = 4 получаем 4; 8; 12, 4 + 8 = 12 — треугольник не существует.
Ответ: да, одна из сторон равна 8 см; длины сторон в сантиметрах — целые числа от 5 до 11: тройки (8; 8; 8), (7; 8; 9), (6; 8; 10), (5; 8; 11).
Стороны 8 − d, 8, 8 + d. Должно выполняться неравенство треугольника: (8 − d) + 8 > 8 + d, то есть d < 4 (и 8 − d > 0).
Целые длины: разность d целая, так как 8 + d — целое. d = 0: 8; 8; 8. d = 1: 7; 8; 9. d = 2: 6; 8; 10. d = 3: 5; 8; 11. При d = 4 получаем 4; 8; 12, 4 + 8 = 12 — треугольник не существует.
Ответ: да, одна из сторон равна 8 см; длины сторон в сантиметрах — целые числа от 5 до 11: тройки (8; 8; 8), (7; 8; 9), (6; 8; 10), (5; 8; 11).
642. Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что один из них равен 60°.
Пусть углы (в градусах) α − d, α, α + d. Сумма углов треугольника 180°: (α − d) + α + (α + d) = 3α = 180°, α = 60°. Средний член прогрессии равен 60°, что и требовалось доказать.
643. Верно ли утверждение, что если (aₙ) — арифметическая прогрессия, то: а) последовательность a₂; a₄; … ; a(2n); … является арифметической прогрессией; б) последовательность a₁ − 1; a₂ − 1; … ; aₙ − 1; … является арифметической прогрессией; в) последовательность 2a₁; 2a₂; … ; 2aₙ; … является арифметической прогрессией; г) последовательность a₁²; a₂²; … ; aₙ²; … является арифметической прогрессией?
Пусть d — разность прогрессии (aₙ), aₙ = a₁ + (n − 1)d.
а) a(2(n+1)) − a(2n) = a(2n+2) − a(2n) = 2d — постоянно. Верно (разность 2d).
б) (a(n+1) − 1) − (aₙ − 1) = d — постоянно. Верно (разность d).
в) 2a(n+1) − 2aₙ = 2d — постоянно. Верно (разность 2d).
г) a(n+1)² − aₙ² = (a(n+1) − aₙ)(a(n+1) + aₙ) = d(2a₁ + (2n − 1)d) = 2a₁d + (2n − 1)d², зависит от n, если d ≠ 0. Например, для 1; 2; 3; … квадраты 1; 4; 9; … имеют разности 3; 5; …, не равные. Утверждение в общем случае неверно (верно только при d = 0).
Ответ: а), б), в) верно; г) неверно.
Оговорка: в скане условия а) начало последовательности читается как «a₂; a₄; …».
а) a(2(n+1)) − a(2n) = a(2n+2) − a(2n) = 2d — постоянно. Верно (разность 2d).
б) (a(n+1) − 1) − (aₙ − 1) = d — постоянно. Верно (разность d).
в) 2a(n+1) − 2aₙ = 2d — постоянно. Верно (разность 2d).
г) a(n+1)² − aₙ² = (a(n+1) − aₙ)(a(n+1) + aₙ) = d(2a₁ + (2n − 1)d) = 2a₁d + (2n − 1)d², зависит от n, если d ≠ 0. Например, для 1; 2; 3; … квадраты 1; 4; 9; … имеют разности 3; 5; …, не равные. Утверждение в общем случае неверно (верно только при d = 0).
Ответ: а), б), в) верно; г) неверно.
Оговорка: в скане условия а) начало последовательности читается как «a₂; a₄; …».
644. Последовательность (aₙ) — арифметическая прогрессия. Найдите: а) a₁₂, если a₁ = 9√3 − 2 и d = 2 − √3; б) a₈, если a₁ = (5√3 − 7)/3 и d = (√3 − 2)/3.
Используем aₙ = a₁ + (n − 1)d.
а) a₁₂ = 9√3 − 2 + 11(2 − √3) = 9√3 − 2 + 22 − 11√3 = 20 − 2√3.
б) a₈ = (5√3 − 7)/3 + 7(√3 − 2)/3 = (5√3 − 7 + 7√3 − 14)/3 = (12√3 − 21)/3 = 4√3 − 7.
Ответ: а) 20 − 2√3; б) 4√3 − 7.
а) a₁₂ = 9√3 − 2 + 11(2 − √3) = 9√3 − 2 + 22 − 11√3 = 20 − 2√3.
б) a₈ = (5√3 − 7)/3 + 7(√3 − 2)/3 = (5√3 − 7 + 7√3 − 14)/3 = (12√3 − 21)/3 = 4√3 − 7.
Ответ: а) 20 − 2√3; б) 4√3 − 7.
645. Найдите номер члена арифметической прогрессии (aₙ): а) равного −2,94, если a₁ = 1,26 и d = −0,3; б) равного −9,7, если a₅ = −3,7 и d = −0,6.
а) aₙ = 1,26 + (n − 1)(−0,3) = −2,94; (n − 1)(−0,3) = −4,2; n − 1 = 14; n = 15.
б) aₙ = a₅ + (n − 5)d: −3,7 − 0,6(n − 5) = −9,7; −0,6(n − 5) = −6; n − 5 = 10; n = 15.
Ответ: а) 15; б) 15.
б) aₙ = a₅ + (n − 5)d: −3,7 − 0,6(n − 5) = −9,7; −0,6(n − 5) = −6; n − 5 = 10; n = 15.
Ответ: а) 15; б) 15.
646. Дана арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2 3/4, а разность равна 2/5. Является ли членом этой прогрессии число: а) 14 3/4; б) 8,35?
Здесь a₁ = 2,75, d = 0,4. Число является членом прогрессии, если из aₙ = a₁ + (n − 1)d получается натуральное n.
а) 14,75 = 2,75 + (n − 1) · 0,4; (n − 1) · 0,4 = 12; n − 1 = 30; n = 31 — натуральное. Да, это 31-й член.
б) 8,35 = 2,75 + (n − 1) · 0,4; (n − 1) · 0,4 = 5,6; n − 1 = 14; n = 15 — натуральное. Да, это 15-й член.
Ответ: а) да; б) да.
а) 14,75 = 2,75 + (n − 1) · 0,4; (n − 1) · 0,4 = 12; n − 1 = 30; n = 31 — натуральное. Да, это 31-й член.
б) 8,35 = 2,75 + (n − 1) · 0,4; (n − 1) · 0,4 = 5,6; n − 1 = 14; n = 15 — натуральное. Да, это 15-й член.
Ответ: а) да; б) да.
647. Найдите: а) первый положительный член арифметической прогрессии −10 1/2; −10 1/4; −10; … ; б) первый отрицательный член арифметической прогрессии 8 1/2; 8 1/3; 8 1/6; … .
а) a₁ = −10,5, d = 0,25. aₙ = −10,5 + 0,25(n − 1) > 0 ⇔ n − 1 > 42 ⇔ n > 43. Наименьшее натуральное n = 44; a₄₄ = −10,5 + 0,25 · 43 = 0,25 = 1/4. (a₄₃ = 0 — не положителен.)
б) a₁ = 17/2, d = −1/6. aₙ = 17/2 − (n − 1)/6 < 0 ⇔ n − 1 > 51 ⇔ n > 52. Наименьшее n = 53; a₅₃ = 17/2 − 52/6 = 51/6 − 52/6 = −1/6. (a₅₂ = 0.)
Ответ: а) 1/4 (44-й член); б) −1/6 (53-й член).
б) a₁ = 17/2, d = −1/6. aₙ = 17/2 − (n − 1)/6 < 0 ⇔ n − 1 > 51 ⇔ n > 52. Наименьшее n = 53; a₅₃ = 17/2 − 52/6 = 51/6 − 52/6 = −1/6. (a₅₂ = 0.)
Ответ: а) 1/4 (44-й член); б) −1/6 (53-й член).
648. Докажите, что если (yₙ) — арифметическая прогрессия, то: а) y₂ + y₇ = y₄ + y₅; б) y(n−5) + y(n+10) = yₙ + y(n+5), где n > 5.
Пусть d — разность прогрессии.
а) y₂ + y₇ = (y₁ + d) + (y₁ + 6d) = 2y₁ + 7d; y₄ + y₅ = (y₁ + 3d) + (y₁ + 4d) = 2y₁ + 7d. Суммы равны.
б) Выразим через yₙ: y(n−5) = yₙ − 5d; y(n+10) = yₙ + 10d; y(n+5) = yₙ + 5d. Тогда y(n−5) + y(n+10) = 2yₙ + 5d, yₙ + y(n+5) = 2yₙ + 5d. Равенство доказано.
а) y₂ + y₇ = (y₁ + d) + (y₁ + 6d) = 2y₁ + 7d; y₄ + y₅ = (y₁ + 3d) + (y₁ + 4d) = 2y₁ + 7d. Суммы равны.
б) Выразим через yₙ: y(n−5) = yₙ − 5d; y(n+10) = yₙ + 10d; y(n+5) = yₙ + 5d. Тогда y(n−5) + y(n+10) = 2yₙ + 5d, yₙ + y(n+5) = 2yₙ + 5d. Равенство доказано.