Глава V. §10. п.31 Метод математической индукции — с. 181
629. Проверьте, что при n = 1, 2, 3 верна формула 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = n²(n + 1)²/4. Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n.
Проверка. n = 1: левая часть 1³ = 1, правая 1² · 2²/4 = 1. n = 2: 1 + 8 = 9, правая 4 · 9/4 = 9. n = 3: 1 + 8 + 27 = 36, правая 9 · 16/4 = 36. Равенства верны.
Доказательство методом математической индукции. База: при n = 1 формула верна.
Шаг: допустим, что формула верна при n = k: 1³ + 2³ + … + k³ = k²(k + 1)²/4. Докажем, что тогда 1³ + 2³ + … + k³ + (k + 1)³ = (k + 1)²(k + 2)²/4.
Имеем k²(k + 1)²/4 + (k + 1)³ = (k + 1)²(k² + 4(k + 1))/4 = (k + 1)²(k² + 4k + 4)/4 = (k + 1)²(k + 2)²/4, что и требовалось.
По принципу математической индукции формула верна при любом натуральном n.
Доказательство методом математической индукции. База: при n = 1 формула верна.
Шаг: допустим, что формула верна при n = k: 1³ + 2³ + … + k³ = k²(k + 1)²/4. Докажем, что тогда 1³ + 2³ + … + k³ + (k + 1)³ = (k + 1)²(k + 2)²/4.
Имеем k²(k + 1)²/4 + (k + 1)³ = (k + 1)²(k² + 4(k + 1))/4 = (k + 1)²(k² + 4k + 4)/4 = (k + 1)²(k + 2)²/4, что и требовалось.
По принципу математической индукции формула верна при любом натуральном n.
630. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + … + n(n + 1) = 1/3 n(n + 1)(n + 2).
Метод математической индукции. При n = 1: левая часть 1 · 2 = 2, правая 1/3 · 1 · 2 · 3 = 2 — верно.
Допустим, что при n = k верно 1 · 2 + … + k(k + 1) = 1/3 k(k + 1)(k + 2). Докажем равенство при n = k + 1: 1 · 2 + … + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = 1/3 (k + 1)(k + 2)(k + 3).
Имеем 1/3 k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k/3 + 1) = 1/3 (k + 1)(k + 2)(k + 3).
Следовательно, по принципу математической индукции равенство верно при любом натуральном n.
Допустим, что при n = k верно 1 · 2 + … + k(k + 1) = 1/3 k(k + 1)(k + 2). Докажем равенство при n = k + 1: 1 · 2 + … + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = 1/3 (k + 1)(k + 2)(k + 3).
Имеем 1/3 k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k/3 + 1) = 1/3 (k + 1)(k + 2)(k + 3).
Следовательно, по принципу математической индукции равенство верно при любом натуральном n.
631. Докажите, что при любом натуральном n сумма 1/(1 · 2) + 1/(2 · 3) + 1/(3 · 4) + … + 1/(n(n + 1)) может быть вычислена по формуле Sₙ = n/(n + 1).
Индукция. При n = 1: S₁ = 1/(1 · 2) = 1/2, а по формуле 1/(1 + 1) = 1/2 — верно.
Допустим, что при n = k верно Sₖ = k/(k + 1). Докажем, что S(k+1) = (k + 1)/(k + 2). Имеем
S(k+1) = Sₖ + 1/((k + 1)(k + 2)) = k/(k + 1) + 1/((k + 1)(k + 2)) = (k(k + 2) + 1)/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)²/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)/(k + 2).
По принципу математической индукции формула верна при любом натуральном n.
Допустим, что при n = k верно Sₖ = k/(k + 1). Докажем, что S(k+1) = (k + 1)/(k + 2). Имеем
S(k+1) = Sₖ + 1/((k + 1)(k + 2)) = k/(k + 1) + 1/((k + 1)(k + 2)) = (k(k + 2) + 1)/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)²/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)/(k + 2).
По принципу математической индукции формула верна при любом натуральном n.