Глава V. §10. п.30 Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — с. 178
623. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой b₂ = 6 и b₄ = 54, если известно, что все её члены положительны.
b₄ = b₂q², q² = 54 : 6 = 9, q = 3 или q = −3. Все члены положительны, значит, q = 3. Тогда b₁ = b₂/q = 2.
S₇ = 2(3⁷ − 1)/(3 − 1) = 3⁷ − 1 = 2187 − 1 = 2186.
Ответ: 2186.
S₇ = 2(3⁷ − 1)/(3 − 1) = 3⁷ − 1 = 2187 − 1 = 2186.
Ответ: 2186.
624. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвёртого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?
b₃ + b₄ = b₁q² + b₂q² = q²(b₁ + b₂), поэтому q² = 72 : 8 = 9. Члены положительны, значит, q = 3.
Из b₁ + b₂ = b₁(1 + 3) = 8 получаем b₁ = 2.
Sₙ = 2(3ⁿ − 1)/(3 − 1) = 3ⁿ − 1 = 242, 3ⁿ = 243 = 3⁵, n = 5.
Проверка: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
Ответ: 5 членов.
Из b₁ + b₂ = b₁(1 + 3) = 8 получаем b₁ = 2.
Sₙ = 2(3ⁿ − 1)/(3 − 1) = 3ⁿ − 1 = 242, 3ⁿ = 243 = 3⁵, n = 5.
Проверка: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
Ответ: 5 членов.
625. Найдите первый член геометрической прогрессии (bₙ), если b₇ = 0,012 и q = 0,2. Запишите формулу n-го члена этой прогрессии.
b₇ = b₁q⁶, поэтому b₁ = 0,012 : 0,2⁶ = 0,012 : 0,000064 = 12 000/64 = 187,5.
Формула n-го члена: bₙ = b₁qⁿ⁻¹ = 187,5 · 0,2ⁿ⁻¹.
Проверка: 187,5 · 0,2⁶ = 187,5 · 0,000064 = 0,012.
Ответ: b₁ = 187,5; bₙ = 187,5 · 0,2ⁿ⁻¹.
Формула n-го члена: bₙ = b₁qⁿ⁻¹ = 187,5 · 0,2ⁿ⁻¹.
Проверка: 187,5 · 0,2⁶ = 187,5 · 0,000064 = 0,012.
Ответ: b₁ = 187,5; bₙ = 187,5 · 0,2ⁿ⁻¹.
626. Сократите дробь: а) (2^(n + 2) − 2^(n − 2))/2ⁿ; б) (25ⁿ − 5^(2n − 1))/5^(2n).
а) Делим каждое слагаемое числителя на 2ⁿ: 2^(n+2)/2ⁿ = 2² = 4; 2^(n−2)/2ⁿ = 2⁻² = 1/4. Разность: 4 − 1/4 = 3 3/4 = 15/4.
Или выносим за скобки: 2^(n−2)(2⁴ − 1)/(2^(n−2) · 2²) = 15/4.
б) 25ⁿ = (5²)ⁿ = 5^(2n). Числитель: 5^(2n) − 5^(2n−1) = 5^(2n−1)(5 − 1) = 4 · 5^(2n−1). Знаменатель 5^(2n) = 5 · 5^(2n−1). Дробь равна 4/5.
Ответ: а) 15/4; б) 4/5.
Или выносим за скобки: 2^(n−2)(2⁴ − 1)/(2^(n−2) · 2²) = 15/4.
б) 25ⁿ = (5²)ⁿ = 5^(2n). Числитель: 5^(2n) − 5^(2n−1) = 5^(2n−1)(5 − 1) = 4 · 5^(2n−1). Знаменатель 5^(2n) = 5 · 5^(2n−1). Дробь равна 4/5.
Ответ: а) 15/4; б) 4/5.
627. Решите неравенство: а) 1,5x − x² ≤ 0; б) x² + x + 6 > 0.
а) 1,5x − x² = x(1,5 − x) ≤ 0 ⇔ x(x − 1,5) ≥ 0. Корни 0 и 1,5, ветви параболы y = x² − 1,5x направлены вверх, значит, выражение неотрицательно при x ≤ 0 или x ≥ 1,5.
б) Дискриминант x² + x + 6: D = 1 − 24 = −23 < 0, корней нет, ветви параболы направлены вверх, поэтому x² + x + 6 > 0 при всех x.
Ответ: а) (−∞; 0] ∪ [1,5; +∞); б) любое число.
б) Дискриминант x² + x + 6: D = 1 − 24 = −23 < 0, корней нет, ветви параболы направлены вверх, поэтому x² + x + 6 > 0 при всех x.
Ответ: а) (−∞; 0] ∪ [1,5; +∞); б) любое число.
628. Какую фигуру задаёт на координатной плоскости система неравенств {3x − y ≥ 0, y − 5 ≥ 0?
Запишем систему в виде y ≤ 3x и y ≥ 5.
Граница первого неравенства — прямая y = 3x; ей принадлежат точки (0; 0) и (1; 3). Неравенству y ≤ 3x удовлетворяют точки, лежащие на прямой и ниже неё (проверка: (1; 0): 3 − 0 ≥ 0 — верно).
Граница второго — прямая y = 5. Неравенству y ≥ 5 удовлетворяют точки на прямой и выше неё.
Прямые пересекаются при 3x = 5, x = 5/3, в точке (5/3; 5). Общая часть двух полуплоскостей (с границами) — угол с вершиной в точке (5/3; 5), одна сторона которого — луч прямой y = 5 вправо от вершины, другая — луч прямой y = 3x вверх от вершины. Угол закрашен на рисунке (показана его часть в пределах координатной сетки).
Ответ: неограниченная фигура — угол с вершиной (5/3; 5), образованный лучами y = 5 (x ≥ 5/3) и y = 3x (x ≥ 5/3), вместе с внутренней областью.
Граница первого неравенства — прямая y = 3x; ей принадлежат точки (0; 0) и (1; 3). Неравенству y ≤ 3x удовлетворяют точки, лежащие на прямой и ниже неё (проверка: (1; 0): 3 − 0 ≥ 0 — верно).
Граница второго — прямая y = 5. Неравенству y ≥ 5 удовлетворяют точки на прямой и выше неё.
Прямые пересекаются при 3x = 5, x = 5/3, в точке (5/3; 5). Общая часть двух полуплоскостей (с границами) — угол с вершиной в точке (5/3; 5), одна сторона которого — луч прямой y = 5 вправо от вершины, другая — луч прямой y = 3x вверх от вершины. Угол закрашен на рисунке (показана его часть в пределах координатной сетки).
Ответ: неограниченная фигура — угол с вершиной (5/3; 5), образованный лучами y = 5 (x ≥ 5/3) и y = 3x (x ≥ 5/3), вместе с внутренней областью.
Вопрос 1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают q: b(n+1) = bₙ · q, откуда q = b(n+1)/bₙ.
Вопрос 2. Как выражается квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов: bₙ² = b(n−1) · b(n+1). Действительно, b(n−1) · b(n+1) = (bₙ/q)(bₙq) = bₙ². Для прогрессии с положительными членами это означает, что каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних: bₙ = √(b(n−1) · b(n+1)).
Вопрос 3. Запишите формулы n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.
Сумма первых n членов при q ≠ 1: Sₙ = (bₙq − b₁)/(q − 1) или Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Если q = 1, то все члены равны b₁ и Sₙ = n · b₁.
Сумма первых n членов при q ≠ 1: Sₙ = (bₙq − b₁)/(q − 1) или Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Если q = 1, то все члены равны b₁ и Sₙ = n · b₁.