Глава V. §10. п.29 Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии — с. 174
612. (Задача-исследование.) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?
1. Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.
2. Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?
3. Составьте уравнение и решите его.
4. Сформулируйте вывод и выполните проверку.
1) Пусть катеты треугольника a и b, гипотенуза c. Если длины сторон образуют геометрическую прогрессию, то в порядке возрастания это a; aq; aq², где a > 0, q > 1 (длины различны: иначе при q = 1 треугольник был бы равносторонним). Наибольшая сторона aq² — гипотенуза, катеты a и aq.
2) Теорема Пифагора: a² + (aq)² = (aq²)².
3) a²(1 + q²) = a²q⁴; так как a ≠ 0: q⁴ − q² − 1 = 0. Пусть t = q², t² − t − 1 = 0, t = (1 + √5)/2 (корень (1 − √5)/2 < 0 не подходит). Тогда q² = (1 + √5)/2 ≈ 1,618, q ≈ 1,272 > 1.
4) Вывод: да, могут. Стороны относятся как 1 : q : q², где q² = (1 + √5)/2. Проверка при a = 1: катеты 1 и q, гипотенуза q² ≈ 1,618; 1 + q² = 1 + 1,618 = 2,618, а (q²)² = q⁴ = 1,618² ≈ 2,618 — равенство верно.
Ответ: да; знаменатель прогрессии q = √((1 + √5)/2).
2) Теорема Пифагора: a² + (aq)² = (aq²)².
3) a²(1 + q²) = a²q⁴; так как a ≠ 0: q⁴ − q² − 1 = 0. Пусть t = q², t² − t − 1 = 0, t = (1 + √5)/2 (корень (1 − √5)/2 < 0 не подходит). Тогда q² = (1 + √5)/2 ≈ 1,618, q ≈ 1,272 > 1.
4) Вывод: да, могут. Стороны относятся как 1 : q : q², где q² = (1 + √5)/2. Проверка при a = 1: катеты 1 и q, гипотенуза q² ≈ 1,618; 1 + q² = 1 + 1,618 = 2,618, а (q²)² = q⁴ = 1,618² ≈ 2,618 — равенство верно.
Ответ: да; знаменатель прогрессии q = √((1 + √5)/2).
613. Найдите координаты точки, принадлежащей графику уравнения x² − y² = 30, если известно, что их сумма равна 5.
Условие: x + y = 5 и x² − y² = 30. Так как x² − y² = (x − y)(x + y), то 5(x − y) = 30, x − y = 6.
Складываем x + y = 5 и x − y = 6: 2x = 11, x = 5,5. Тогда y = 5 − 5,5 = −0,5.
Проверка: 5,5² − 0,5² = 30,25 − 0,25 = 30; 5,5 + (−0,5) = 5.
Ответ: (5,5; −0,5).
Складываем x + y = 5 и x − y = 6: 2x = 11, x = 5,5. Тогда y = 5 − 5,5 = −0,5.
Проверка: 5,5² − 0,5² = 30,25 − 0,25 = 30; 5,5 + (−0,5) = 5.
Ответ: (5,5; −0,5).
614. Решите неравенство: а) 2x² − 13x − 34 ≥ 0; б) 10x − 4x² < 0; в) (x − 4)/(2x + 5) ≤ 0.
а) Корни трёхчлена: D = 169 + 272 = 441, x = (13 ± 21)/4, x₁ = −2, x₂ = 8,5. Ветви параболы направлены вверх, значит, выражение неотрицательно вне интервала между корнями: x ≤ −2 или x ≥ 8,5.
б) 10x − 4x² = 2x(5 − 2x) < 0 ⇔ x(2x − 5) > 0 (делим на −2 и меняем знак). Корни 0 и 2,5, ветви вверх: x < 0 или x > 2,5.
в) Нули числителя и знаменателя: 4 и −2,5. Методом интервалов: дробь ≤ 0 при −2,5 < x ≤ 4 (x = 4 — нуль числителя, включаем; x = −2,5 обращает знаменатель в нуль, исключаем).
Ответ: а) (−∞; −2] ∪ [8,5; +∞); б) (−∞; 0) ∪ (2,5; +∞); в) (−2,5; 4].
б) 10x − 4x² = 2x(5 − 2x) < 0 ⇔ x(2x − 5) > 0 (делим на −2 и меняем знак). Корни 0 и 2,5, ветви вверх: x < 0 или x > 2,5.
в) Нули числителя и знаменателя: 4 и −2,5. Методом интервалов: дробь ≤ 0 при −2,5 < x ≤ 4 (x = 4 — нуль числителя, включаем; x = −2,5 обращает знаменатель в нуль, исключаем).
Ответ: а) (−∞; −2] ∪ [8,5; +∞); б) (−∞; 0) ∪ (2,5; +∞); в) (−2,5; 4].