Глава V. §10. п.29 Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии — с. 172
593. Найдите седьмой и n-й члены геометрической прогрессии: а) 2; −6; … ; б) −40; −20; … ; в) −0,125; 0,25; … ; г) −10; 10; … .
Находим q = b₂/b₁, затем b₇ = b₁q⁶ и bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
а) q = −6/2 = −3. b₇ = 2·(−3)⁶ = 2·729 = 1458; bₙ = 2·(−3)ⁿ⁻¹.
б) q = −20/(−40) = 1/2. b₇ = −40·(1/2)⁶ = −40/64 = −5/8; bₙ = −40·(1/2)ⁿ⁻¹.
в) q = 0,25/(−0,125) = −2. b₇ = −0,125·(−2)⁶ = −0,125·64 = −8; bₙ = −0,125·(−2)ⁿ⁻¹.
г) q = 10/(−10) = −1. b₇ = −10·(−1)⁶ = −10; bₙ = −10·(−1)ⁿ⁻¹ = 10·(−1)ⁿ.
Ответ: а) 1458; 2·(−3)ⁿ⁻¹; б) −5/8; −40·(1/2)ⁿ⁻¹; в) −8; −0,125·(−2)ⁿ⁻¹; г) −10; −10·(−1)ⁿ⁻¹.
а) q = −6/2 = −3. b₇ = 2·(−3)⁶ = 2·729 = 1458; bₙ = 2·(−3)ⁿ⁻¹.
б) q = −20/(−40) = 1/2. b₇ = −40·(1/2)⁶ = −40/64 = −5/8; bₙ = −40·(1/2)ⁿ⁻¹.
в) q = 0,25/(−0,125) = −2. b₇ = −0,125·(−2)⁶ = −0,125·64 = −8; bₙ = −0,125·(−2)ⁿ⁻¹.
г) q = 10/(−10) = −1. b₇ = −10·(−1)⁶ = −10; bₙ = −10·(−1)ⁿ⁻¹ = 10·(−1)ⁿ.
Ответ: а) 1458; 2·(−3)ⁿ⁻¹; б) −5/8; −40·(1/2)ⁿ⁻¹; в) −8; −0,125·(−2)ⁿ⁻¹; г) −10; −10·(−1)ⁿ⁻¹.
594. Найдите шестой и n-й члены геометрической прогрессии: а) 48; 12; … ; б) 64/9; −32/3; … ; в) −0,001; −0,01; … ; г) −100; 10; … .
Находим q = b₂/b₁, затем b₆ = b₁q⁵ и bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
а) q = 12/48 = 1/4. b₆ = 48·(1/4)⁵ = 48/1024 = 3/64; bₙ = 48·(1/4)ⁿ⁻¹.
б) q = (−32/3)/(64/9) = −32/3·9/64 = −3/2. b₆ = 64/9·(−3/2)⁵ = 64/9·(−243/32) = −54; bₙ = 64/9·(−3/2)ⁿ⁻¹.
в) q = −0,01/(−0,001) = 10. b₆ = −0,001·10⁵ = −100; bₙ = −0,001·10ⁿ⁻¹ = −10ⁿ⁻⁴.
г) q = 10/(−100) = −0,1. b₆ = −100·(−0,1)⁵ = −100·(−0,00001) = 0,001; bₙ = −100·(−0,1)ⁿ⁻¹.
Ответ: а) 3/64; 48·(1/4)ⁿ⁻¹; б) −54; 64/9·(−3/2)ⁿ⁻¹; в) −100; −0,001·10ⁿ⁻¹; г) 0,001; −100·(−0,1)ⁿ⁻¹.
а) q = 12/48 = 1/4. b₆ = 48·(1/4)⁵ = 48/1024 = 3/64; bₙ = 48·(1/4)ⁿ⁻¹.
б) q = (−32/3)/(64/9) = −32/3·9/64 = −3/2. b₆ = 64/9·(−3/2)⁵ = 64/9·(−243/32) = −54; bₙ = 64/9·(−3/2)ⁿ⁻¹.
в) q = −0,01/(−0,001) = 10. b₆ = −0,001·10⁵ = −100; bₙ = −0,001·10ⁿ⁻¹ = −10ⁿ⁻⁴.
г) q = 10/(−100) = −0,1. b₆ = −100·(−0,1)⁵ = −100·(−0,00001) = 0,001; bₙ = −100·(−0,1)ⁿ⁻¹.
Ответ: а) 3/64; 48·(1/4)ⁿ⁻¹; б) −54; 64/9·(−3/2)ⁿ⁻¹; в) −100; −0,001·10ⁿ⁻¹; г) 0,001; −100·(−0,1)ⁿ⁻¹.
595. В треугольнике ABC (рис. 72) провели среднюю линию A₁C₁, в треугольнике A₁BC₁ также провели среднюю линию A₂C₂, во вновь образовавшемся треугольнике A₂BC₂ снова провели среднюю линию A₃C₃ и т. д. Найдите площадь треугольника A₉BC₉, если известно, что площадь треугольника ABC равна 768 см².
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2, поэтому площадь каждого следующего треугольника в 4 раза меньше площади предыдущего. Площади S₀ = 768, S₁, S₂, … образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1/4; площадь треугольника A₉BC₉ — десятый член, равный S₀·q⁹.
S₉ = 768·(1/4)⁹ = 768/262 144 = 3/1024 (см²), так как 768 = 3·256, а 4⁹ = 256·1024.
Ответ: 3/1024 см².
S₉ = 768·(1/4)⁹ = 768/262 144 = 3/1024 (см²), так как 768 = 3·256, а 4⁹ = 256·1024.
Ответ: 3/1024 см².
596. Найдите первый член геометрической прогрессии (bₙ), если: а) b₆ = 3, q = 3; б) b₅ = 17 1/2, q = −2 1/2.
Из bₙ = b₁qⁿ⁻¹ получаем b₁ = bₙ/qⁿ⁻¹.
а) b₆ = b₁q⁵, 3 = b₁·243, b₁ = 3/243 = 1/81.
б) b₅ = b₁q⁴, q⁴ = (5/2)⁴ = 625/16, b₅ = 35/2. b₁ = (35/2)·(16/625) = 560/1250 = 56/125 = 0,448.
Ответ: а) 1/81; б) 56/125 (0,448).
а) b₆ = b₁q⁵, 3 = b₁·243, b₁ = 3/243 = 1/81.
б) b₅ = b₁q⁴, q⁴ = (5/2)⁴ = 625/16, b₅ = 35/2. b₁ = (35/2)·(16/625) = 560/1250 = 56/125 = 0,448.
Ответ: а) 1/81; б) 56/125 (0,448).
597. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (cₙ), если: а) c₅ = −6, c₇ = −54; б) c₆ = 25, c₈ = 4.
c₇ = c₅q², c₈ = c₆q², поэтому q² = c₇/c₅ и q² = c₈/c₆.
а) q² = −54/(−6) = 9, q = 3 или q = −3.
б) q² = 4/25, q = 2/5 или q = −2/5 (то есть ±0,4).
Ответ: а) q = ±3; б) q = ±0,4.
а) q² = −54/(−6) = 9, q = 3 или q = −3.
б) q² = 4/25, q = 2/5 или q = −2/5 (то есть ±0,4).
Ответ: а) q = ±3; б) q = ±0,4.
598. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите: а) x₁, если x₆ = 0,32, q = 0,2; б) q, если x₃ = −162, x₅ = −18.
а) x₆ = x₁q⁵, 0,32 = x₁·0,2⁵ = x₁·0,00032, x₁ = 0,32/0,00032 = 1000.
б) x₅ = x₃q², q² = −18/(−162) = 1/9, q = 1/3 или q = −1/3.
Ответ: а) 1000; б) q = ±1/3.
б) x₅ = x₃q², q² = −18/(−162) = 1/9, q = 1/3 или q = −1/3.
Ответ: а) 1000; б) q = ±1/3.
599. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите: а) b₆, если b₁ = 125, b₃ = 5; б) b₇, если b₁ = −2/9, b₃ = −2; в) b₁, если b₄ = −1, b₆ = −100.
а) b₃ = b₁q², q² = 5/125 = 1/25, q = ±1/5. b₆ = b₁q⁵ = 125·(±1/3125) = ±1/25, то есть b₆ = 0,04 при q = 1/5 и b₆ = −0,04 при q = −1/5.
б) q² = −2/(−2/9) = 9, q = ±3. b₇ = b₁q⁶ = −2/9·729 = −162 (шестая степень не зависит от знака q).
в) b₆ = b₄q², q² = −100/(−1) = 100, q = ±10. b₁ = b₄/q³: при q = 10 имеем b₁ = −1/1000 = −0,001; при q = −10 имеем b₁ = −1/(−1000) = 0,001.
Ответ: а) ±0,04; б) −162; в) −0,001 или 0,001.
б) q² = −2/(−2/9) = 9, q = ±3. b₇ = b₁q⁶ = −2/9·729 = −162 (шестая степень не зависит от знака q).
в) b₆ = b₄q², q² = −100/(−1) = 100, q = ±10. b₁ = b₄/q³: при q = 10 имеем b₁ = −1/1000 = −0,001; при q = −10 имеем b₁ = −1/(−1000) = 0,001.
Ответ: а) ±0,04; б) −162; в) −0,001 или 0,001.
600. Между числами 2 и 162 вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
Получается прогрессия из пяти членов: b₁ = 2, b₅ = 162. По формуле b₅ = b₁q⁴: 162 = 2q⁴, q⁴ = 81, q = 3 или q = −3.
При q = 3: 2; 6; 18; 54; 162. При q = −3: 2; −6; 18; −54; 162.
Ответ: 6, 18, 54 или −6, 18, −54.
При q = 3: 2; 6; 18; 54; 162. При q = −3: 2; −6; 18; −54; 162.
Ответ: 6, 18, 54 или −6, 18, −54.
601. Геометрическая прогрессия (xₙ) состоит из четырёх членов: 2, a, b, 1/4. Найдите a и b.
x₁ = 2, x₄ = 1/4. x₄ = x₁q³, q³ = (1/4)/2 = 1/8, q = 1/2.
a = x₂ = 2·(1/2) = 1, b = x₃ = 1·(1/2) = 1/2. Проверка: 1/2·1/2 = 1/4.
Ответ: a = 1, b = 1/2.
a = x₂ = 2·(1/2) = 1, b = x₃ = 1·(1/2) = 1/2. Проверка: 1/2·1/2 = 1/4.
Ответ: a = 1, b = 1/2.
602. Найдите шестой член геометрической прогрессии (bₙ), если известно, что b₂ = 6, b₄ = 24.
b₄ = b₂q², q² = 24/6 = 4. Тогда b₆ = b₄q² = 24·4 = 96. Значение не зависит от знака q (q = 2 или q = −2: при q = 2 прогрессия 3; 6; 12; 24; 48; 96; при q = −2: −3; 6; −12; 24; −48; 96).
Ответ: 96.
Ответ: 96.
603. Население города составляет 60 тысяч человек. За последние годы наблюдается ежегодный прирост населения на 2%. Каким будет население города через 5 лет, если эта тенденция сохранится?
Каждый год население умножается на 1,02, поэтому оно образует геометрическую прогрессию с b₁ = 60 000 и q = 1,02. Через 5 лет население — шестой член (b₁ — население сейчас).
b₆ = 60 000·1,02⁵. Считаем: 1,02² = 1,0404; 1,02³ = 1,061208; 1,02⁴ ≈ 1,082432; 1,02⁵ ≈ 1,104081.
b₆ ≈ 60 000·1,104081 ≈ 66 245.
Ответ: примерно 66 245 человек (около 66,2 тыс.).
b₆ = 60 000·1,02⁵. Считаем: 1,02² = 1,0404; 1,02³ = 1,061208; 1,02⁴ ≈ 1,082432; 1,02⁵ ≈ 1,104081.
b₆ ≈ 60 000·1,104081 ≈ 66 245.
Ответ: примерно 66 245 человек (около 66,2 тыс.).