Упражнения 583–588 — Глава V. §9. п.28 Формула суммы первых n членов…

a₁ = 3, d = 2. Sₙ = (2·3 + 2(n − 1))·n/2 = (n + 2)n.
Решаем неравенство n(n + 2) ≤ 120: n² + 2n − 120 ≤ 0. Корни уравнения n² + 2n − 120 = 0: n = −1 ± 11, то есть n = 10 и n = −12. Для натуральных n получаем n ≤ 10.
Проверка: S₁₀ = 10·12 = 120 ≤ 120; S₁₁ = 11·13 = 143 > 120.
Ответ: 10 членов.

a₁ = 17, d = −3. Sₙ = (2·17 − 3(n − 1))·n/2 = (37 − 3n)n/2.
Условие Sₙ > 0 при n > 0 равносильно 37 − 3n > 0, то есть n < 12 1/3. Наибольшее натуральное n равно 12.
Проверка: S₁₂ = (34 − 33)·6 = 6 > 0; S₁₃ = (34 − 36)·13/2 = −13 < 0.
Ответ: 12 членов.

a₁₁ − a₇ = 4d = 12,8 − 8 = 4,8, откуда d = 1,2.
a₁ = a₇ − 6d = 8 − 7,2 = 0,8.
Ответ: a₁ = 0,8; d = 1,2.

d = 18,3 − 20,7 = −2,4, aₙ = 20,7 − 2,4(n − 1). Число является членом прогрессии, если уравнение имеет натуральный корень n.
а) 20,7 − 2,4(n − 1) = −1,3; 2,4(n − 1) = 22; n − 1 = 22/2,4 = 55/6, n = 10 1/6 — не натуральное. Не является.
б) 20,7 − 2,4(n − 1) = −3,3; 2,4(n − 1) = 24; n − 1 = 10, n = 11. Является (a₁₁ = −3,3).
Ответ: а) нет; б) да.

а) Из второго уравнения xy = 2/3, из первого x² + y² = 13/9. Тогда (x + y)² = 13/9 + 4/3 = 25/9, (x − y)² = 13/9 − 4/3 = 1/9. Значит x + y = ±5/3, x − y = ±1/3. Сочетаем знаки: x + y = 5/3, x − y = 1/3: x = 1, y = 2/3; x + y = 5/3, x − y = −1/3: x = 2/3, y = 1; x + y = −5/3, x − y = 1/3: x = −2/3, y = −1; x + y = −5/3, x − y = −1/3: x = −1, y = −2/3. Проверка для (1; 2/3): 9 + 4 = 13, 3·1·2/3 = 2.
б) Вычтем из первого уравнения второе: x² + 4x² = 29 − 9, 5x² = 20, x² = 4, x = ±2. Тогда y² = 29 − 4 = 25, y = ±5. Подходят все четыре сочетания знаков.
в) Вычтем из второго уравнения первое: x² − x = 0, x(x − 1) = 0. При x = 0 первое уравнение даёт 0 = 6 — неверно. При x = 1: 2 + y = 6, y = 4. Проверка второго уравнения: 3 + 4 − 1 = 6.
г) Из второго уравнения x² = y² − y + 5. Подставим в первое: 3y² − 3y + 15 − 2y² = 25, y² − 3y − 10 = 0, y = 5 или y = −2. При y = 5: x² = 25, x = ±5. При y = −2: x² = 4 + 2 + 5 = 11, x = ±√11.
Ответ: а) (1; 2/3), (2/3; 1), (−2/3; −1), (−1; −2/3); б) (2; 5), (2; −5), (−2; 5), (−2; −5); в) (1; 4); г) (5; 5), (−5; 5), (√11; −2), (−√11; −2).

Первое неравенство y ≥ x² задаёт точки на параболе y = x² и выше неё (внутри «чаши»).
Второе: 2y ≤ 5 − x, то есть y ≤ (5 − x)/2 — точки на прямой 2y + x = 5 и ниже неё. Прямая проходит, например, через точки (1; 2) и (−3; 4). Проверка точкой (0; 0): 0 + 0 ≤ 5 — верно, поэтому (0; 0) лежит в полуплоскости; (0; 0) ещё и удовлетворяет y ≥ x².
Границы пересекаются там, где x² = (5 − x)/2, то есть 2x² + x − 5 = 0, x = (−1 ± √41)/4 (примерно −1,85 и 1,35).
Множество решений системы — часть плоскости между параболой (снизу) и прямой (сверху), включая границы (штриховка на рисунке).

а) Последовательность задана формулой n-го члена aₙ = 2n + 1. Подставляя n = 1, 2, 3, 4, 5, получаем 3; 5; 7; 9; 11.
б) Последовательность задана рекуррентной формулой: a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2aₙ (каждый следующий член получается из предыдущего). Получаем a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 4, a₄ = 8, a₅ = 16.
Ответ: например, а) 3; 5; 7; 9; 11; б) 1; 2; 4; 8; 16.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом: aₙ₊₁ = aₙ + d.
Число d называют разностью арифметической прогрессии; d = aₙ₊₁ − aₙ для любого натурального n.

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Это следует из того, что aₙ₋₁ = aₙ − d, aₙ₊₁ = aₙ + d, а сумма этих членов равна 2aₙ.

Формула n-го члена: aₙ = a₁ + d(n − 1).
Формулы суммы первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 и Sₙ = (2a₁ + d(n − 1))·n/2.