Упражнения 573–582, стр. 165 — 9 класс, Алгебра Макарычев, стр… · ГДЗ
Алгебра · 9 КЛАСС

Упражнения 573–582 — Глава V. §9. п.28 Формула суммы первых n членов…

Страница 165 · Алгебра Макарычев 9 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 15-е издание, переработанное

Оглавление

Глава V. §9. п.28 Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии — с. 165

573. Арифметическая прогрессия задана формулой aₙ = 3n + 2. Найдите сумму первых: а) двадцати её членов; б) пятнадцати её членов.
Здесь a₁ = 3·1 + 2 = 5.
а) a₂₀ = 3·20 + 2 = 62. S₂₀ = (5 + 62)·20/2 = 67·10 = 670.
б) a₁₅ = 3·15 + 2 = 47. S₁₅ = (5 + 47)·15/2 = 52·7,5 = 390.
Ответ: а) 670; б) 390.
574. Найдите: а) сумму 2 + 4 + 6 + … + 2n, слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до 2n; б) сумму 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1), слагаемыми которой являются все нечётные натуральные числа от 1 до 2n − 1.
а) Слагаемые образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью 2; её n-й член равен 2n, значит, слагаемых n. Sₙ = (2 + 2n)·n/2 = (1 + n)n = n(n + 1).
б) Слагаемые образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2; её n-й член равен 1 + 2(n − 1) = 2n − 1, значит, слагаемых n. Sₙ = (1 + 2n − 1)·n/2 = n².
Ответ: а) n(n + 1); б) n².
575. Найдите сумму: а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150; б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно; в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300; г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.
Каждый раз слагаемые образуют арифметическую прогрессию; число членов находим из формулы n-го члена.
а) 1, 2, …, 150: n = 150. S = (1 + 150)·150/2 = 151·75 = 11 325.
б) 20, 21, …, 120: n = 120 − 20 + 1 = 101. S = (20 + 120)·101/2 = 70·101 = 7070.
в) aₙ = 4n ≤ 300, n ≤ 75; a₁ = 4, a₇₅ = 300. S = (4 + 300)·75/2 = 152·75 = 11 400.
г) aₙ = 7n ≤ 130, n ≤ 18 4/7, значит n = 18; a₁ = 7, a₁₈ = 126. S = (7 + 126)·18/2 = 133·9 = 1197.
Ответ: а) 11 325; б) 7070; в) 11 400; г) 1197.
576. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.
Искомая сумма — сумма 16 членов (30 − 15 + 1 = 16) от a₁₅ до a₃₀.
a₁₅ = 10 + 3·14 = 52, a₃₀ = 10 + 3·29 = 97.
S = (52 + 97)·16/2 = 149·8 = 1192.
Можно проверить через S₃₀ − S₁₄: S₃₀ = (10 + 97)·15 = 1605; a₁₄ = 10 + 39 = 49, S₁₄ = (10 + 49)·7 = 413; 1605 − 413 = 1192.
Ответ: 1192.
577. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, если первый член равен 21 и разность равна −0,5.
Число членов с шестого по двадцать пятый: 25 − 6 + 1 = 20.
a₆ = 21 + (−0,5)·5 = 18,5; a₂₅ = 21 + (−0,5)·24 = 9.
S = (18,5 + 9)·20/2 = 27,5·10 = 275.
Проверка: S₂₅ = (21 + 9)·25/2 = 375; S₅ = (21 + 19)·5/2 = 100 (a₅ = 19); 375 − 100 = 275.
Ответ: 275.
578. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (cₙ), если c₇ = 18,5 и c₁₇ = −26,5.
c₁₇ − c₇ = 10d = −26,5 − 18,5 = −45, откуда d = −4,5.
c₁ = c₇ − 6d = 18,5 + 27 = 45,5.
S₂₀ = (2c₁ + 19d)·20/2 = (91 − 85,5)·10 = 5,5·10 = 55.
Ответ: 55.
579. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (bₙ), если b₁ = 4,2 и b₁₀ = 15,9.
b₁₀ = b₁ + 9d, откуда 9d = 15,9 − 4,2 = 11,7 и d = 1,3.
S₁₅ = (2b₁ + 14d)·15/2 = (8,4 + 18,2)·7,5 = 26,6·7,5 = 199,5.
Ответ: 199,5.
580. При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло её дна через 5 с после начала падения.
Пути за секунды образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 5, d = 10. Глубина шахты — сумма путей за 5 секунд.
a₅ = 5 + 10·4 = 45.
S₅ = (5 + 45)·5/2 = 125 (м).
Ответ: 125 м.
581. (Для работы в парах.) Какое расстояние пройдёт свободно падающее тело: а) за пятую секунду после начала падения; б) за пять секунд после начала падения? 1. Обсудите, какое известное вам из курса физики свойство надо использовать для решения задачи. 2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. [рисунок 70: шары, расположенные в форме треугольника]
1) Свободное падение — равноускоренное движение с ускорением g ≈ 10 м/с²: за первую секунду тело проходит 5 м, а за каждую следующую секунду путь увеличивается на g = 10 м. Поэтому пути за последовательные секунды образуют арифметическую прогрессию a₁ = 5, d = 10.
2) а) За пятую секунду: a₅ = 5 + 10·4 = 45 (м).
б) За пять секунд: S₅ = (5 + 45)·5/2 = 125 (м).
3) Проверка по формуле пути h = gt²/2 при g = 10 м/с²: за 5 с h = 5·25 = 125 м; за 4 с h = 5·16 = 80 м; за пятую секунду 125 − 80 = 45 м. Результаты совпадают.
Ответ: а) 45 м; б) 125 м.
582. Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и т. д. (рис. 70). Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров для треугольника из 30 рядов?
Числа шаров в рядах 1, 2, 3, … — арифметическая прогрессия с a₁ = 1, d = 1. Число шаров в n рядах Sₙ = (1 + n)·n/2.
Sₙ = 120: n(n + 1) = 240, n² + n − 240 = 0, D = 1 + 960 = 961 = 31², n = (−1 + 31)/2 = 15 (отрицательный корень не подходит).
Для 30 рядов: S₃₀ = (1 + 30)·30/2 = 465.
Ответ: 15 рядов; 465 шаров.