Глава V. §9. п.27 Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии — с. 159
558. Дана арифметическая прогрессия (aₙ), у которой a₁ = 32 и d = −1,5. Является ли членом этой прогрессии число: а) 0; б) −28?
aₙ = 32 − 1,5(n − 1) = 33,5 − 1,5n.
а) 33,5 − 1,5n = 0, 1,5n = 33,5, n = 67/3 — не натуральное число, поэтому 0 не является членом прогрессии.
б) 33,5 − 1,5n = −28, 1,5n = 61,5, n = 41 — натуральное число, поэтому −28 является сорок первым членом.
Ответ: а) нет; б) да (a₄₁ = −28).
а) 33,5 − 1,5n = 0, 1,5n = 33,5, n = 67/3 — не натуральное число, поэтому 0 не является членом прогрессии.
б) 33,5 − 1,5n = −28, 1,5n = 61,5, n = 41 — натуральное число, поэтому −28 является сорок первым членом.
Ответ: а) нет; б) да (a₄₁ = −28).
559. В арифметической прогрессии (xₙ) первый член равен 8,7, а разность равна −0,3. Для каких членов прогрессии выполняется условие: а) xₙ ≥ 0; б) xₙ < 0?
xₙ = 8,7 − 0,3(n − 1) = 9 − 0,3n.
а) 9 − 0,3n ≥ 0, 0,3n ≤ 9, n ≤ 30. Условие выполняется для первых тридцати членов (x₃₀ = 0).
б) 9 − 0,3n < 0, n > 30. Условие выполняется для всех членов, начиная с тридцать первого.
Ответ: а) для членов с номерами от 1 до 30; б) для членов с номерами n ≥ 31.
а) 9 − 0,3n ≥ 0, 0,3n ≤ 9, n ≤ 30. Условие выполняется для первых тридцати членов (x₃₀ = 0).
б) 9 − 0,3n < 0, n > 30. Условие выполняется для всех членов, начиная с тридцать первого.
Ответ: а) для членов с номерами от 1 до 30; б) для членов с номерами n ≥ 31.
560. Найдите номера отрицательных членов арифметической прогрессии −20,3; −18,7; … . Чему равен первый положительный член этой прогрессии?
a₁ = −20,3, d = −18,7 − (−20,3) = 1,6. aₙ = −20,3 + 1,6(n − 1) = 1,6n − 21,9.
Отрицательные члены: 1,6n − 21,9 < 0, n < 21,9/1,6 = 13,6875. Значит, n = 1, 2, …, 13.
Первый положительный член — a₁₄ = 1,6·14 − 21,9 = 22,4 − 21,9 = 0,5. Проверка: a₁₃ = 20,8 − 21,9 = −1,1 < 0.
Ответ: отрицательны члены с номерами 1–13; первый положительный член a₁₄ = 0,5.
Отрицательные члены: 1,6n − 21,9 < 0, n < 21,9/1,6 = 13,6875. Значит, n = 1, 2, …, 13.
Первый положительный член — a₁₄ = 1,6·14 − 21,9 = 22,4 − 21,9 = 0,5. Проверка: a₁₃ = 20,8 − 21,9 = −1,1 < 0.
Ответ: отрицательны члены с номерами 1–13; первый положительный член a₁₄ = 0,5.
561. Докажите, что если числа a, b, c являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа a² + ab + b², a² + ac + c² и b² + bc + c² также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.
Пусть d — разность прогрессии: b − a = c − b = d. Найдём разности соседних данных чисел.
(a² + ac + c²) − (a² + ab + b²) = ac + c² − ab − b² = a(c − b) + (c − b)(c + b) = (c − b)(a + b + c) = d(a + b + c).
(b² + bc + c²) − (a² + ac + c²) = b² − a² + bc − ac = (b − a)(b + a) + c(b − a) = (b − a)(a + b + c) = d(a + b + c).
Разности равны, значит, каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d(a + b + c). По определению числа a² + ab + b², a² + ac + c², b² + bc + c² — последовательные члены арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.
(a² + ac + c²) − (a² + ab + b²) = ac + c² − ab − b² = a(c − b) + (c − b)(c + b) = (c − b)(a + b + c) = d(a + b + c).
(b² + bc + c²) − (a² + ac + c²) = b² − a² + bc − ac = (b − a)(b + a) + c(b − a) = (b − a)(a + b + c) = d(a + b + c).
Разности равны, значит, каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d(a + b + c). По определению числа a² + ab + b², a² + ac + c², b² + bc + c² — последовательные члены арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.
562. Известно, что числа a², b², c² — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа 1/(b + c), 1/(a + c), 1/(a + b) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.
Считаем, что знаменатели a + b, b + c, a + c не равны нулю (иначе числа не определены). По условию b² − a² = c² − b², т. е. (b − a)(b + a) = (c − b)(c + b). (*)
Найдём разности соседних чисел:
1/(a + c) − 1/(b + c) = ((b + c) − (a + c))/((a + c)(b + c)) = (b − a)/((a + c)(b + c)),
1/(a + b) − 1/(a + c) = ((a + c) − (a + b))/((a + b)(a + c)) = (c − b)/((a + b)(a + c)).
Приведём обе дроби к общему знаменателю (a + b)(a + c)(b + c): первая разность равна (b − a)(a + b)/((a + b)(a + c)(b + c)), вторая равна (c − b)(b + c)/((a + b)(a + c)(b + c)). Числители равны по равенству (*), значит, разности равны. Следовательно, числа 1/(b + c), 1/(a + c), 1/(a + b) — последовательные члены арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.
Найдём разности соседних чисел:
1/(a + c) − 1/(b + c) = ((b + c) − (a + c))/((a + c)(b + c)) = (b − a)/((a + c)(b + c)),
1/(a + b) − 1/(a + c) = ((a + c) − (a + b))/((a + b)(a + c)) = (c − b)/((a + b)(a + c)).
Приведём обе дроби к общему знаменателю (a + b)(a + c)(b + c): первая разность равна (b − a)(a + b)/((a + b)(a + c)(b + c)), вторая равна (c − b)(b + c)/((a + b)(a + c)(b + c)). Числители равны по равенству (*), значит, разности равны. Следовательно, числа 1/(b + c), 1/(a + c), 1/(a + b) — последовательные члены арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.
563. Является ли арифметической прогрессией последовательность (aₙ), заданная формулой: а) aₙ = 3n + 1; б) aₙ = n² − 5; в) aₙ = n + 4; г) aₙ = 1/(n + 4); д) aₙ = −0,5n + 1; е) aₙ = 6n?
Последовательность является арифметической прогрессией, если разность aₙ₊₁ − aₙ не зависит от n (формула вида aₙ = kn + b).
а) aₙ₊₁ − aₙ = 3(n + 1) + 1 − 3n − 1 = 3 — да, d = 3.
б) a₁ = −4, a₂ = −1, a₃ = 4: a₂ − a₁ = 3, a₃ − a₂ = 5 — разности разные, нет.
в) aₙ₊₁ − aₙ = 1 — да, d = 1.
г) a₁ = 1/5, a₂ = 1/6, a₃ = 1/7: a₂ − a₁ = −1/30, a₃ − a₂ = −1/42 — разности разные, нет.
д) aₙ₊₁ − aₙ = −0,5 — да, d = −0,5.
е) aₙ₊₁ − aₙ = 6 — да, d = 6.
Ответ: а), в), д), е) — да; б), г) — нет.
а) aₙ₊₁ − aₙ = 3(n + 1) + 1 − 3n − 1 = 3 — да, d = 3.
б) a₁ = −4, a₂ = −1, a₃ = 4: a₂ − a₁ = 3, a₃ − a₂ = 5 — разности разные, нет.
в) aₙ₊₁ − aₙ = 1 — да, d = 1.
г) a₁ = 1/5, a₂ = 1/6, a₃ = 1/7: a₂ − a₁ = −1/30, a₃ − a₂ = −1/42 — разности разные, нет.
д) aₙ₊₁ − aₙ = −0,5 — да, d = −0,5.
е) aₙ₊₁ − aₙ = 6 — да, d = 6.
Ответ: а), в), д), е) — да; б), г) — нет.
564. Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией. Чему равна её разность?
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°·(n − 2). Для n = 3, 4, 5, … получаем последовательность 180°; 360°; 540°; … . Обозначим её член с номером k (k-й по порядку многоугольник — (k + 2)-угольник): sₖ = 180°·k. Тогда sₖ₊₁ − sₖ = 180°(k + 1) − 180°k = 180° при любом k. Разность соседних членов постоянна, значит, последовательность — арифметическая прогрессия с первым членом 180° и разностью d = 180°.
Ответ: да, является; разность равна 180°.
Ответ: да, является; разность равна 180°.
565. Решите систему уравнений 3x + y = 2, x² − y² = −12.
Из первого уравнения y = 2 − 3x. Подставим во второе: x² − (2 − 3x)² = −12; x² − 4 + 12x − 9x² = −12; −8x² + 12x + 8 = 0; 2x² − 3x − 2 = 0. D = 9 + 16 = 25, x = (3 ± 5)/4: x₁ = 2, x₂ = −0,5.
x = 2: y = 2 − 6 = −4. x = −0,5: y = 2 + 1,5 = 3,5.
Проверка: 2² − (−4)² = 4 − 16 = −12; (−0,5)² − 3,5² = 0,25 − 12,25 = −12.
Ответ: (2; −4), (−0,5; 3,5).
x = 2: y = 2 − 6 = −4. x = −0,5: y = 2 + 1,5 = 3,5.
Проверка: 2² − (−4)² = 4 − 16 = −12; (−0,5)² − 3,5² = 0,25 − 12,25 = −12.
Ответ: (2; −4), (−0,5; 3,5).
566. Решите уравнение: а) x³ + 4x² − 32x = 0; б) x³ − 10x² + 4x − 40 = 0.
а) Вынесем x: x(x² + 4x − 32) = 0. Либо x = 0, либо x² + 4x − 32 = 0: D = 16 + 128 = 144, x = (−4 ± 12)/2, то есть x = 4 или x = −8.
б) Группировка: x²(x − 10) + 4(x − 10) = (x − 10)(x² + 4) = 0. Так как x² + 4 > 0, остаётся x − 10 = 0, x = 10.
Ответ: а) 0; 4; −8; б) 10.
б) Группировка: x²(x − 10) + 4(x − 10) = (x − 10)(x² + 4) = 0. Так как x² + 4 > 0, остаётся x − 10 = 0, x = 10.
Ответ: а) 0; 4; −8; б) 10.
567. Решите неравенство: а) (2x − 1)(x + 8) > 0; б) (33 − x)(16 + 2x) ≤ 0.
а) Нули множителей: 0,5 и −8. Ветви параболы y = (2x − 1)(x + 8) направлены вверх, поэтому значения положительны вне промежутка между корнями: x < −8 или x > 0,5.
б) (33 − x)(16 + 2x) = −2(x − 33)(x + 8). Неравенство −2(x − 33)(x + 8) ≤ 0 равносильно (x − 33)(x + 8) ≥ 0. Нули: −8 и 33; значения неотрицательны вне интервала между корнями (корни включаются): x ≤ −8 или x ≥ 33.
Ответ: а) (−∞; −8) ∪ (0,5; +∞); б) (−∞; −8] ∪ [33; +∞).
б) (33 − x)(16 + 2x) = −2(x − 33)(x + 8). Неравенство −2(x − 33)(x + 8) ≤ 0 равносильно (x − 33)(x + 8) ≥ 0. Нули: −8 и 33; значения неотрицательны вне интервала между корнями (корни включаются): x ≤ −8 или x ≥ 33.
Ответ: а) (−∞; −8) ∪ (0,5; +∞); б) (−∞; −8] ∪ [33; +∞).
568. Найдите значение выражения: а) 125⁻¹ · 25²; б) 0,0001 · (10³)² · (0,1)⁻²; в) (16⁻³ · 4⁵)/8; г) 9⁴ · (1/27)⁻³ · 81⁻⁴.
а) 125⁻¹ · 25² = 5⁻³ · 5⁴ = 5.
б) 0,0001 = 10⁻⁴; (10³)² = 10⁶; (0,1)⁻² = (10⁻¹)⁻² = 10². Произведение 10⁻⁴⁺⁶⁺² = 10⁴ = 10 000.
в) 16⁻³ = 2⁻¹², 4⁵ = 2¹⁰, 8 = 2³. Получаем 2⁻¹²⁺¹⁰⁻³ = 2⁻⁵ = 1/32.
г) 9⁴ = 3⁸; (1/27)⁻³ = 27³ = 3⁹; 81⁻⁴ = 3⁻¹⁶. Произведение 3⁸⁺⁹⁻¹⁶ = 3.
Ответ: а) 5; б) 10 000; в) 1/32; г) 3.
б) 0,0001 = 10⁻⁴; (10³)² = 10⁶; (0,1)⁻² = (10⁻¹)⁻² = 10². Произведение 10⁻⁴⁺⁶⁺² = 10⁴ = 10 000.
в) 16⁻³ = 2⁻¹², 4⁵ = 2¹⁰, 8 = 2³. Получаем 2⁻¹²⁺¹⁰⁻³ = 2⁻⁵ = 1/32.
г) 9⁴ = 3⁸; (1/27)⁻³ = 27³ = 3⁹; 81⁻⁴ = 3⁻¹⁶. Произведение 3⁸⁺⁹⁻¹⁶ = 3.
Ответ: а) 5; б) 10 000; в) 1/32; г) 3.