Глава V. §9. п.27 Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии — с. 158
550. Найдите первый член арифметической прогрессии (xₙ), если известно, что: а) x₃₀ = 128, d = 4; б) x₄₅ = −208, d = −7; в) x₁₁ = 36, d = −8; г) x₁₇ = 1, d = −3.
Из xₙ = x₁ + d(n − 1) получаем x₁ = xₙ − d(n − 1).
а) x₁ = 128 − 4·29 = 128 − 116 = 12.
б) x₁ = −208 − (−7)·44 = −208 + 308 = 100.
в) x₁ = 36 − (−8)·10 = 36 + 80 = 116.
г) x₁ = 1 − (−3)·16 = 1 + 48 = 49.
Ответ: а) 12; б) 100; в) 116; г) 49.
а) x₁ = 128 − 4·29 = 128 − 116 = 12.
б) x₁ = −208 − (−7)·44 = −208 + 308 = 100.
в) x₁ = 36 − (−8)·10 = 36 + 80 = 116.
г) x₁ = 1 − (−3)·16 = 1 + 48 = 49.
Ответ: а) 12; б) 100; в) 116; г) 49.
551. Найдите разность арифметической прогрессии (yₙ), в которой: а) y₁ = 10, y₅ = 22; б) y₁ = 28, y₁₅ = −21; в) y₁ = 16, y₈ = −1; г) y₁ = −22, y₁₆ = −4.
Из yₙ = y₁ + d(n − 1) получаем d = (yₙ − y₁)/(n − 1).
а) d = (22 − 10)/4 = 3.
б) d = (−21 − 28)/14 = −49/14 = −3,5.
в) d = (−1 − 16)/7 = −17/7 = −2 3/7.
г) d = (−4 − (−22))/15 = 18/15 = 1,2.
Ответ: а) 3; б) −3,5; в) −2 3/7; г) 1,2.
а) d = (22 − 10)/4 = 3.
б) d = (−21 − 28)/14 = −49/14 = −3,5.
в) d = (−1 − 16)/7 = −17/7 = −2 3/7.
г) d = (−4 − (−22))/15 = 18/15 = 1,2.
Ответ: а) 3; б) −3,5; в) −2 3/7; г) 1,2.
552. Последовательность (cₙ) — арифметическая прогрессия. Найдите: а) c₁, если c₃₆ = 26 и d = 0,7; б) d, если c₁ = −10 и c₁₅ = 1,2.
а) c₁ = c₃₆ − 35d = 26 − 35·0,7 = 26 − 24,5 = 1,5.
б) c₁₅ = c₁ + 14d, откуда 1,2 = −10 + 14d, 14d = 11,2, d = 0,8.
Ответ: а) 1,5; б) 0,8.
б) c₁₅ = c₁ + 14d, откуда 1,2 = −10 + 14d, 14d = 11,2, d = 0,8.
Ответ: а) 1,5; б) 0,8.
553. Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.
Всего в прогрессии 9 членов: a₁ = 5, a₉ = 1. Из a₉ = a₁ + 8d получаем 1 = 5 + 8d, d = −4/8 = −0,5. Вставляемые числа: a₂ = 4,5; a₃ = 4; a₄ = 3,5; a₅ = 3; a₆ = 2,5; a₇ = 2; a₈ = 1,5. Проверка: a₈ + d = 1,5 − 0,5 = 1 = a₉.
Ответ: 5; 4,5; 4; 3,5; 3; 2,5; 2; 1,5; 1 (вставлены числа 4,5; 4; 3,5; 3; 2,5; 2; 1,5).
Ответ: 5; 4,5; 4; 3,5; 3; 2,5; 2; 1,5; 1 (вставлены числа 4,5; 4; 3,5; 3; 2,5; 2; 1,5).
554. (Задача-исследование.) Могут ли числа 20 и 35 быть членами арифметической прогрессии, первый член которой равен 12 и разность не равна 1?
1. Предположив, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии, выразите каждое из них через d, n или m, где d — разность прогрессии, n — номер члена, равного 20, m — номер члена, равного 35. Докажите, что (n − 1)/(m − 1) = 8/23.
2. Полагая, что n − 1 = 8k и m − 1 = 23k, где k ∈ N, выразите m и n через k. Обсудите, как, выбрав значение k, большее 1, можно получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Выполните необходимые вычисления.
3. Объясните, почему значение k = 1 приводит к противоречию с условием задачи.
1) По формуле n-го члена aₙ = 12 + d(n − 1). Если aₙ = 20, то 20 = 12 + d(n − 1), откуда d(n − 1) = 8. Если aₘ = 35, то 35 = 12 + d(m − 1), откуда d(m − 1) = 23. Разделим первое равенство на второе (d ≠ 0, так как 20 ≠ 12): (n − 1)/(m − 1) = 8/23, что и требовалось доказать.
2) Числа 8 и 23 взаимно просты, поэтому n − 1 = 8k, m − 1 = 23k, где k — натуральное число. Отсюда n = 8k + 1, m = 23k + 1. Из d(n − 1) = 8 получаем d·8k = 8, d = 1/k. Любое натуральное k > 1 даёт нужную прогрессию с разностью d = 1/k ≠ 1. Например, k = 2: d = 1/2, n = 17, m = 47. Проверка: a₁₇ = 12 + 0,5·16 = 20, a₄₇ = 12 + 0,5·46 = 35. Прогрессия 12; 12,5; 13; … подходит. Для k = 3: d = 1/3, n = 25, m = 70 — тоже подходит.
3) При k = 1 получаем d = 1/1 = 1, что противоречит условию «разность не равна 1».
Ответ: да, могут (например, d = 1/2: 20 — семнадцатый член, 35 — сорок седьмой); подходит любая разность d = 1/k, где k — натуральное число, большее 1.
2) Числа 8 и 23 взаимно просты, поэтому n − 1 = 8k, m − 1 = 23k, где k — натуральное число. Отсюда n = 8k + 1, m = 23k + 1. Из d(n − 1) = 8 получаем d·8k = 8, d = 1/k. Любое натуральное k > 1 даёт нужную прогрессию с разностью d = 1/k ≠ 1. Например, k = 2: d = 1/2, n = 17, m = 47. Проверка: a₁₇ = 12 + 0,5·16 = 20, a₄₇ = 12 + 0,5·46 = 35. Прогрессия 12; 12,5; 13; … подходит. Для k = 3: d = 1/3, n = 25, m = 70 — тоже подходит.
3) При k = 1 получаем d = 1/1 = 1, что противоречит условию «разность не равна 1».
Ответ: да, могут (например, d = 1/2: 20 — семнадцатый член, 35 — сорок седьмой); подходит любая разность d = 1/k, где k — натуральное число, большее 1.
555. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (cₙ), если: а) c₅ = 27, c₂₇ = 60; б) c₂₀ = 0, c₆₆ = −92.
а) c₂₇ − c₅ = 22d, поэтому 22d = 60 − 27 = 33, d = 1,5. c₁ = c₅ − 4d = 27 − 6 = 21.
б) c₆₆ − c₂₀ = 46d, поэтому 46d = −92 − 0 = −92, d = −2. c₁ = c₂₀ − 19d = 0 + 38 = 38.
Ответ: а) c₁ = 21, d = 1,5; б) c₁ = 38, d = −2.
б) c₆₆ − c₂₀ = 46d, поэтому 46d = −92 − 0 = −92, d = −2. c₁ = c₂₀ − 19d = 0 + 38 = 38.
Ответ: а) c₁ = 21, d = 1,5; б) c₁ = 38, d = −2.
556. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (xₙ), если x₁₆ = −7 и x₂₆ = 55.
x₂₆ − x₁₆ = 10d, поэтому 10d = 55 − (−7) = 62, d = 6,2. x₁ = x₁₆ − 15d = −7 − 93 = −100.
Проверка: x₂₆ = −100 + 6,2·25 = −100 + 155 = 55.
Ответ: x₁ = −100, d = 6,2.
Проверка: x₂₆ = −100 + 6,2·25 = −100 + 155 = 55.
Ответ: x₁ = −100, d = 6,2.
557. Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9; … число: а) 156; б) 295?
a₁ = 2, d = 9 − 2 = 7, aₙ = 2 + 7(n − 1) = 7n − 5. Число является членом прогрессии, если уравнение aₙ = число имеет натуральный корень n.
а) 7n − 5 = 156, 7n = 161, n = 23 — натуральное число, значит, 156 — двадцать третий член.
б) 7n − 5 = 295, 7n = 300, n = 300/7 — не целое число, значит, 295 не является членом прогрессии.
Ответ: а) да (a₂₃ = 156); б) нет.
а) 7n − 5 = 156, 7n = 161, n = 23 — натуральное число, значит, 156 — двадцать третий член.
б) 7n − 5 = 295, 7n = 300, n = 300/7 — не целое число, значит, 295 не является членом прогрессии.
Ответ: а) да (a₂₃ = 156); б) нет.