Глава V. §9. п.28 Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии — с. 164
569. Найдите сумму первых шестидесяти членов арифметической прогрессии (aₙ), если: а) a₁ = 3, a₆₀ = 57; б) a₁ = −10,5, a₆₀ = 51,5.
Используем формулу суммы Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 при n = 60.
а) S₆₀ = (3 + 57)·60/2 = 60·30 = 1800.
б) S₆₀ = (−10,5 + 51,5)·60/2 = 41·30 = 1230.
Ответ: а) 1800; б) 1230.
а) S₆₀ = (3 + 57)·60/2 = 60·30 = 1800.
б) S₆₀ = (−10,5 + 51,5)·60/2 = 41·30 = 1230.
Ответ: а) 1800; б) 1230.
570. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии: а) −23; −20; … ; б) 14,2; 9,6; … .
Находим a₁ и d, затем применяем формулу Sₙ = (2a₁ + d(n − 1))·n/2 при n = 8.
а) a₁ = −23, d = −20 − (−23) = 3. S₈ = (2·(−23) + 3·7)·8/2 = (−46 + 21)·4 = −25·4 = −100.
б) a₁ = 14,2, d = 9,6 − 14,2 = −4,6. S₈ = (2·14,2 − 4,6·7)·8/2 = (28,4 − 32,2)·4 = −3,8·4 = −15,2.
Ответ: а) −100; б) −15,2.
а) a₁ = −23, d = −20 − (−23) = 3. S₈ = (2·(−23) + 3·7)·8/2 = (−46 + 21)·4 = −25·4 = −100.
б) a₁ = 14,2, d = 9,6 − 14,2 = −4,6. S₈ = (2·14,2 − 4,6·7)·8/2 = (28,4 − 32,2)·4 = −3,8·4 = −15,2.
Ответ: а) −100; б) −15,2.
571. Вычислите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии (bₙ), если: а) b₁ = −17, d = 6; б) b₁ = 6,4, d = 0,8.
Применяем формулу Sₙ = (2b₁ + d(n − 1))·n/2 при n = 9.
а) S₉ = (2·(−17) + 6·8)·9/2 = (−34 + 48)·9/2 = 14·9/2 = 63.
б) S₉ = (2·6,4 + 0,8·8)·9/2 = (12,8 + 6,4)·9/2 = 19,2·4,5 = 86,4.
Ответ: а) 63; б) 86,4.
а) S₉ = (2·(−17) + 6·8)·9/2 = (−34 + 48)·9/2 = 14·9/2 = 63.
б) S₉ = (2·6,4 + 0,8·8)·9/2 = (12,8 + 6,4)·9/2 = 19,2·4,5 = 86,4.
Ответ: а) 63; б) 86,4.
572. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, n членов последовательности (xₙ), если: а) xₙ = 4n + 2; б) xₙ = 2n + 3; в) xₙ = n − 4; г) xₙ = 3n − 1.
Последовательность, заданная формулой вида xₙ = kn + b, является арифметической прогрессией. Сумма Sₙ = (x₁ + xₙ)·n/2.
а) x₁ = 6, x₅₀ = 202, x₁₀₀ = 402. S₅₀ = (6 + 202)·25 = 5200; S₁₀₀ = (6 + 402)·50 = 20 400; Sₙ = (6 + 4n + 2)·n/2 = (4n + 8)n/2 = 2n(n + 2).
б) x₁ = 5, x₅₀ = 103, x₁₀₀ = 203. S₅₀ = (5 + 103)·25 = 2700; S₁₀₀ = (5 + 203)·50 = 10 400; Sₙ = (5 + 2n + 3)·n/2 = n(n + 4).
в) x₁ = −3, x₅₀ = 46, x₁₀₀ = 96. S₅₀ = (−3 + 46)·25 = 1075; S₁₀₀ = (−3 + 96)·50 = 4650; Sₙ = (−3 + n − 4)·n/2 = n(n − 7)/2.
г) x₁ = 2, x₅₀ = 149, x₁₀₀ = 299. S₅₀ = (2 + 149)·25 = 3775; S₁₀₀ = (2 + 299)·50 = 15 050; Sₙ = (2 + 3n − 1)·n/2 = n(3n + 1)/2.
Ответ: а) 5200; 20 400; 2n(n + 2); б) 2700; 10 400; n(n + 4); в) 1075; 4650; n(n − 7)/2; г) 3775; 15 050; n(3n + 1)/2.
Оговорка: в условии напечатано «пятидесяти, ста, n членов»; прочитано как «первых пятидесяти, первых ста, первых n членов».
а) x₁ = 6, x₅₀ = 202, x₁₀₀ = 402. S₅₀ = (6 + 202)·25 = 5200; S₁₀₀ = (6 + 402)·50 = 20 400; Sₙ = (6 + 4n + 2)·n/2 = (4n + 8)n/2 = 2n(n + 2).
б) x₁ = 5, x₅₀ = 103, x₁₀₀ = 203. S₅₀ = (5 + 103)·25 = 2700; S₁₀₀ = (5 + 203)·50 = 10 400; Sₙ = (5 + 2n + 3)·n/2 = n(n + 4).
в) x₁ = −3, x₅₀ = 46, x₁₀₀ = 96. S₅₀ = (−3 + 46)·25 = 1075; S₁₀₀ = (−3 + 96)·50 = 4650; Sₙ = (−3 + n − 4)·n/2 = n(n − 7)/2.
г) x₁ = 2, x₅₀ = 149, x₁₀₀ = 299. S₅₀ = (2 + 149)·25 = 3775; S₁₀₀ = (2 + 299)·50 = 15 050; Sₙ = (2 + 3n − 1)·n/2 = n(3n + 1)/2.
Ответ: а) 5200; 20 400; 2n(n + 2); б) 2700; 10 400; n(n + 4); в) 1075; 4650; n(n − 7)/2; г) 3775; 15 050; n(3n + 1)/2.
Оговорка: в условии напечатано «пятидесяти, ста, n членов»; прочитано как «первых пятидесяти, первых ста, первых n членов».