Глава V. §10. п.29 Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии — с. 171
589. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (bₙ), если: а) b₁ = 6, q = 2; б) b₁ = −16, q = 1/2; в) b₁ = −24, q = −1,5; г) b₁ = 0,4, q = √2.
Каждый следующий член получаем умножением предыдущего на q.
а) 6; 12; 24; 48; 96.
б) −16; −8; −4; −2; −1.
в) −24; −24·(−1,5) = 36; 36·(−1,5) = −54; −54·(−1,5) = 81; 81·(−1,5) = −121,5.
г) 0,4; 0,4√2; 0,4√2·√2 = 0,8; 0,8√2; 0,8√2·√2 = 1,6.
Ответ: а) 6; 12; 24; 48; 96; б) −16; −8; −4; −2; −1; в) −24; 36; −54; 81; −121,5; г) 0,4; 0,4√2; 0,8; 0,8√2; 1,6.
а) 6; 12; 24; 48; 96.
б) −16; −8; −4; −2; −1.
в) −24; −24·(−1,5) = 36; 36·(−1,5) = −54; −54·(−1,5) = 81; 81·(−1,5) = −121,5.
г) 0,4; 0,4√2; 0,4√2·√2 = 0,8; 0,8√2; 0,8√2·√2 = 1,6.
Ответ: а) 6; 12; 24; 48; 96; б) −16; −8; −4; −2; −1; в) −24; 36; −54; 81; −121,5; г) 0,4; 0,4√2; 0,8; 0,8√2; 1,6.
590. Последовательность (cₙ) — геометрическая прогрессия, первый член которой равен c₁, а знаменатель равен q. Выразите через c₁ и q: а) c₆; б) c₂₀; в) c₁₂₅; г) cₕ; д) c_(k+3); е) c₂ₖ.
По формуле n-го члена cₙ = c₁qⁿ⁻¹.
а) c₆ = c₁q⁵.
б) c₂₀ = c₁q¹⁹.
в) c₁₂₅ = c₁q¹²⁴.
г) cₕ = c₁q^(h − 1).
д) c_(k+3) = c₁q^(k + 3 − 1) = c₁q^(k+2).
е) c₂ₖ = c₁q^(2k − 1).
Ответ: а) c₁q⁵; б) c₁q¹⁹; в) c₁q¹²⁴; г) c₁q^(h−1); д) c₁q^(k+2); е) c₁q^(2k−1).
а) c₆ = c₁q⁵.
б) c₂₀ = c₁q¹⁹.
в) c₁₂₅ = c₁q¹²⁴.
г) cₕ = c₁q^(h − 1).
д) c_(k+3) = c₁q^(k + 3 − 1) = c₁q^(k+2).
е) c₂ₖ = c₁q^(2k − 1).
Ответ: а) c₁q⁵; б) c₁q¹⁹; в) c₁q¹²⁴; г) c₁q^(h−1); д) c₁q^(k+2); е) c₁q^(2k−1).
591. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите: а) x₇, если x₁ = 16, q = 1/2; б) x₈, если x₁ = −810, q = 1/3; в) x₁₀, если x₁ = √2, q = −√2; г) x₆, если x₁ = −125, q = 0,2; д) x₅, если x₁ = 3/4, q = 2/3; е) x₄, если x₁ = 1,8, q = √3/3.
Используем xₙ = x₁qⁿ⁻¹.
а) x₇ = 16·(1/2)⁶ = 16/64 = 1/4.
б) x₈ = −810·(1/3)⁷ = −810/2187 = −10/27 (сократили на 81).
в) x₁₀ = √2·(−√2)⁹ = −√2·(√2)⁹ = −(√2)¹⁰ = −2⁵ = −32.
г) x₆ = −125·0,2⁵ = −125·(1/5)⁵ = −125/3125 = −1/25 = −0,04.
д) x₅ = 3/4·(2/3)⁴ = 3/4·16/81 = 4/27.
е) x₄ = 1,8·(√3/3)³ = 1,8·3√3/27 = 1,8·√3/9 = 0,2√3.
Ответ: а) 1/4; б) −10/27; в) −32; г) −0,04; д) 4/27; е) 0,2√3.
а) x₇ = 16·(1/2)⁶ = 16/64 = 1/4.
б) x₈ = −810·(1/3)⁷ = −810/2187 = −10/27 (сократили на 81).
в) x₁₀ = √2·(−√2)⁹ = −√2·(√2)⁹ = −(√2)¹⁰ = −2⁵ = −32.
г) x₆ = −125·0,2⁵ = −125·(1/5)⁵ = −125/3125 = −1/25 = −0,04.
д) x₅ = 3/4·(2/3)⁴ = 3/4·16/81 = 4/27.
е) x₄ = 1,8·(√3/3)³ = 1,8·3√3/27 = 1,8·√3/9 = 0,2√3.
Ответ: а) 1/4; б) −10/27; в) −32; г) −0,04; д) 4/27; е) 0,2√3.
592. Изобразите на координатной плоскости первые пять членов: а) арифметической прогрессии 1,5; 2,5; 3,5; … ; б) геометрической прогрессии 8; 4; 2; … .
Член aₙ изображаем точкой с координатами (n; aₙ).
а) d = 1, члены: 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5. Точки (1; 1,5), (2; 2,5), (3; 3,5), (4; 4,5), (5; 5,5) лежат на одной прямой y = x + 0,5 на одинаковых расстояниях друг от друга (линейный рост).
б) q = 1/2, члены: 8; 4; 2; 1; 0,5. Точки (1; 8), (2; 4), (3; 2), (4; 1), (5; 0,5) лежат на кривой y = 16·(1/2)ˣ; ординаты убывают, а расстояния между соседними точками уменьшаются (показательное убывание).
а) d = 1, члены: 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5. Точки (1; 1,5), (2; 2,5), (3; 3,5), (4; 4,5), (5; 5,5) лежат на одной прямой y = x + 0,5 на одинаковых расстояниях друг от друга (линейный рост).
б) q = 1/2, члены: 8; 4; 2; 1; 0,5. Точки (1; 8), (2; 4), (3; 2), (4; 1), (5; 0,5) лежат на кривой y = 16·(1/2)ˣ; ординаты убывают, а расстояния между соседними точками уменьшаются (показательное убывание).