Глава V. §10. п.29 Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии — с. 173
604. (Для работы в парах.) Ежегодный доход по вкладу «Юбилейный» составляет 6%. Первоначальный вклад был равен 80 000 р. Какая сумма будет на счету у вкладчика: а) через 4 года; б) через 6 лет?
1. Обсудите, с какой последовательностью мы имеем дело в этой задаче.
2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните расчёты, используя калькулятор.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
1) Каждый год сумма на счету увеличивается на 6%, то есть умножается на 1,06. Суммы на счету в конце 1-го, 2-го, 3-го, … года образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1,06; первоначальный вклад 80 000 р. — b₀ (или b₁ = 80 000 · 1,06 — сумма через год). Через n лет на счету 80 000 · 1,06^n.
2) а) Через 4 года: 80 000 · 1,06⁴ = 80 000 · 1,26247696 ≈ 100 998,16 р.
б) Через 6 лет: 80 000 · 1,06⁶ = 80 000 · 1,418519112 ≈ 113 481,53 р.
3) Проверка: сумма через 6 лет равна сумме через 4 года, умноженной на 1,06²: 100 998,16 · 1,1236 ≈ 113 481,5 — результаты согласуются.
Ответ: а) примерно 100 998 р. 16 к.; б) примерно 113 481 р. 53 к.
2) а) Через 4 года: 80 000 · 1,06⁴ = 80 000 · 1,26247696 ≈ 100 998,16 р.
б) Через 6 лет: 80 000 · 1,06⁶ = 80 000 · 1,418519112 ≈ 113 481,53 р.
3) Проверка: сумма через 6 лет равна сумме через 4 года, умноженной на 1,06²: 100 998,16 · 1,1236 ≈ 113 481,5 — результаты согласуются.
Ответ: а) примерно 100 998 р. 16 к.; б) примерно 113 481 р. 53 к.
605. Екатерина Михайловна открыла два вклада в разных банках. В первый банк она положила 100 000 р. под 6% годовых на 3 года, а во второй банк — 80 000 р. под 10% годовых на 2 года. В каком банке её доход по вкладу в итоге окажется больше и на сколько?
Сумма на вкладе за n лет при ставке p% годовых: b·(1 + p/100)^n.
Первый банк: 100 000 · 1,06³ = 100 000 · 1,191016 = 119 101,6 р. Доход: 119 101,6 − 100 000 = 19 101,6 р.
Второй банк: 80 000 · 1,1² = 80 000 · 1,21 = 96 800 р. Доход: 96 800 − 80 000 = 16 800 р.
Сравниваем: 19 101,6 − 16 800 = 2 301,6 р.
Ответ: доход больше в первом банке, на 2 301 р. 60 к.
Первый банк: 100 000 · 1,06³ = 100 000 · 1,191016 = 119 101,6 р. Доход: 119 101,6 − 100 000 = 19 101,6 р.
Второй банк: 80 000 · 1,1² = 80 000 · 1,21 = 96 800 р. Доход: 96 800 − 80 000 = 16 800 р.
Сравниваем: 19 101,6 − 16 800 = 2 301,6 р.
Ответ: доход больше в первом банке, на 2 301 р. 60 к.
606. На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины равно 2,0 · 10¹ м³?
Каждый год количество древесины умножается на 1,1, поэтому через 6 лет оно равно 20 · 1,1⁶.
1,1² = 1,21; 1,1³ = 1,331; 1,1⁶ = 1,331² = 1,771561.
20 · 1,771561 ≈ 35,43 м³.
Поскольку исходное данное задано с двумя значащими цифрами, результат можно округлить до 35 м³ (3,5 · 10¹ м³).
Ответ: примерно 35 м³.
1,1² = 1,21; 1,1³ = 1,331; 1,1⁶ = 1,331² = 1,771561.
20 · 1,771561 ≈ 35,43 м³.
Поскольку исходное данное задано с двумя значащими цифрами, результат можно округлить до 35 м³ (3,5 · 10¹ м³).
Ответ: примерно 35 м³.
607. После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было равно 760 мм рт. ст.
После каждого движения поршня остаётся 80% воздуха, и давление умножается на 0,8. Давления после 1-го, 2-го, … движения образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 0,8 и первым членом 760 · 0,8.
После шести движений: 760 · 0,8⁶ = 760 · 0,262144 ≈ 199,2 мм рт. ст.
Ответ: примерно 199 мм рт. ст.
После шести движений: 760 · 0,8⁶ = 760 · 0,262144 ≈ 199,2 мм рт. ст.
Ответ: примерно 199 мм рт. ст.
608. Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.
Высота равностороннего треугольника со стороной a равна a√3/2. Значит, второй треугольник — равносторонний (все три высоты равны) со стороной a√3/2. Следовательно, сторона каждого следующего треугольника получается из стороны предыдущего умножением на √3/2, и тот же множитель у периметров: P(n+1) = 3 · (a_n · √3/2) = P_n · √3/2.
Отношение любого периметра к предыдущему постоянно и равно √3/2, поэтому периметры образуют геометрическую прогрессию, у которой P₁ = 3 · 8 = 24 см и q = √3/2.
P₆ = P₁ · q⁵ = 24 · (√3/2)⁵ = 24 · (9√3)/32 = 27√3/4 (см), так как (√3)⁵ = 9√3.
Ответ: 27√3/4 см (≈ 11,7 см).
Отношение любого периметра к предыдущему постоянно и равно √3/2, поэтому периметры образуют геометрическую прогрессию, у которой P₁ = 3 · 8 = 24 см и q = √3/2.
P₆ = P₁ · q⁵ = 24 · (√3/2)⁵ = 24 · (9√3)/32 = 27√3/4 (см), так как (√3)⁵ = 9√3.
Ответ: 27√3/4 см (≈ 11,7 см).
609. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.
Стороны треугольника с вершинами в серединах сторон данного — средние линии, каждая равна половине параллельной стороны. Значит, периметр нового треугольника вдвое меньше периметра предыдущего (и он снова равносторонний, поэтому процесс повторяется).
Таким образом, P(n+1) = P_n/2: отношение соседних периметров постоянно, и периметры образуют геометрическую прогрессию с P₁ = 3 · 16 = 48 см и q = 1/2.
P₈ = P₁ · q⁷ = 48 · (1/2)⁷ = 48/128 = 3/8 (см).
Ответ: 3/8 см = 0,375 см.
Таким образом, P(n+1) = P_n/2: отношение соседних периметров постоянно, и периметры образуют геометрическую прогрессию с P₁ = 3 · 16 = 48 см и q = 1/2.
P₈ = P₁ · q⁷ = 48 · (1/2)⁷ = 48/128 = 3/8 (см).
Ответ: 3/8 см = 0,375 см.
610. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.
Пусть числа 7 − d, 7, 7 + d (среднее равно 21 : 3 = 7, d — разность прогрессии). После изменений получим 7 − d; 6; 8 + d. По свойству геометрической прогрессии b₂² = b₁b₃:
36 = (7 − d)(8 + d) = 56 − d − d²,
d² + d − 20 = 0, d = 4 или d = −5.
При d = 4: числа 3; 7; 11, после изменений 3; 6; 12 — геометрическая прогрессия (q = 2).
При d = −5: числа 12; 7; 2, после изменений 12; 6; 3 — геометрическая прогрессия (q = 1/2).
Ответ: 3; 7; 11 или 12; 7; 2.
36 = (7 − d)(8 + d) = 56 − d − d²,
d² + d − 20 = 0, d = 4 или d = −5.
При d = 4: числа 3; 7; 11, после изменений 3; 6; 12 — геометрическая прогрессия (q = 2).
При d = −5: числа 12; 7; 2, после изменений 12; 6; 3 — геометрическая прогрессия (q = 1/2).
Ответ: 3; 7; 11 или 12; 7; 2.
611. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию.
Пусть числа 5 − d, 5, 5 + d (среднее равно 15 : 3 = 5). После изменений: 6 − d; 6; 9 + d. Условие геометрической прогрессии:
36 = (6 − d)(9 + d) = 54 − 3d − d²,
d² + 3d − 18 = 0, d = 3 или d = −6.
При d = 3: числа 2; 5; 8 — положительные; после изменений 3; 6; 12 — геометрическая прогрессия.
При d = −6: числа 11; 5; −1 — третье число отрицательно, не подходит.
Ответ: 2; 5; 8.
36 = (6 − d)(9 + d) = 54 − 3d − d²,
d² + 3d − 18 = 0, d = 3 или d = −6.
При d = 3: числа 2; 5; 8 — положительные; после изменений 3; 6; 12 — геометрическая прогрессия.
При d = −6: числа 11; 5; −1 — третье число отрицательно, не подходит.
Ответ: 2; 5; 8.