Упражнения 615–622, стр. 177 — 9 класс, Алгебра Макарычев, стр… · ГДЗ
Алгебра · 9 КЛАСС

Упражнения 615–622 — Глава V. §10. п.30 Формула суммы первых n…

Страница 177 · Алгебра Макарычев 9 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 15-е издание, переработанное

Оглавление

Глава V. §10. п.30 Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — с. 177

615. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой: а) b₁ = 8, q = 1/2; б) b₁ = 500, q = 1/5.
Используем формулу S_n = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
а) S₅ = 8((1/2)⁵ − 1)/(1/2 − 1) = 8 · (−31/32)/(−1/2) = 8 · 31/16 = 15,5.
б) S₅ = 500((1/5)⁵ − 1)/(1/5 − 1) = 500 · (−3124/3125)/(−4/5) = 500 · 3124/3125 · 5/4 = 625 · 3124/3125 = 3124/5 = 624,8.
Ответ: а) 15,5; б) 624,8.
616. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии: а) 3; −6; … ; б) 54; 36; … ; в) −32; −16; … ; г) 1; −1/2; … .
Знаменатель q = b₂ : b₁, затем S₆ = b₁(q⁶ − 1)/(q − 1).
а) q = −6/3 = −2; S₆ = 3((−2)⁶ − 1)/(−2 − 1) = 3 · 63/(−3) = −63.
б) q = 36/54 = 2/3; S₆ = 54((2/3)⁶ − 1)/(2/3 − 1) = 54 · (−665/729)/(−1/3) = 162 · 665/729 = 2 · 665/9 = 1330/9 = 147 7/9.
в) q = −16/(−32) = 1/2; S₆ = −32((1/2)⁶ − 1)/(1/2 − 1) = −32 · (−63/64)/(−1/2) = −32 · 63/32 = −63.
г) q = −1/2; S₆ = 1((−1/2)⁶ − 1)/(−1/2 − 1) = (−63/64)/(−3/2) = 63/64 · 2/3 = 21/32.
Ответ: а) −63; б) 147 7/9; в) −63; г) 21/32.
617. Вычислите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, если: а) c₁ = −4, q = 3; б) c₁ = 1, q = −2; в) c₁ = −2, q = 2; г) c₁ = 32, q = −0,5.
S₉ = c₁(q⁹ − 1)/(q − 1).
а) 3⁹ = 19 683; S₉ = −4(19 683 − 1)/(3 − 1) = −2 · 19 682 = −39 364.
б) (−2)⁹ = −512; S₉ = (−512 − 1)/(−2 − 1) = −513/(−3) = 171.
в) 2⁹ = 512; S₉ = −2(512 − 1)/(2 − 1) = −1 022.
г) (−0,5)⁹ = −1/512; S₉ = 32(−1/512 − 1)/(−0,5 − 1) = 32 · (−513/512)/(−1,5) = (513/16)/1,5 = 513/24 = 21,375.
Ответ: а) −39 364; б) 171; в) −1 022; г) 21,375.
618. (Для работы в парах.) Докажите, что последовательность (bₙ) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых n её членов, если: а) bₙ = 0,2 · 5ⁿ; б) bₙ = 3 · 2^(n − 1); в) bₙ = 3^(1 + n); г) bₙ = 2^(n + 2). 1. Обсудите ход доказательства. 2. Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их. 3. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
1) Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение b(n+1)/bₙ не зависит от n и все члены отличны от нуля; это отношение и есть q. Затем применяем S_n = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
2) а) b₁ = 0,2 · 5 = 1; b(n+1)/bₙ = (0,2 · 5^(n+1))/(0,2 · 5ⁿ) = 5 — постоянно, значит, прогрессия с q = 5. Sₙ = 1 · (5ⁿ − 1)/(5 − 1) = (5ⁿ − 1)/4.
б) b₁ = 3; b(n+1)/bₙ = 3 · 2ⁿ/(3 · 2^(n−1)) = 2, q = 2. Sₙ = 3(2ⁿ − 1)/(2 − 1) = 3(2ⁿ − 1).
в) b₁ = 3² = 9; b(n+1)/bₙ = 3^(2+n)/3^(1+n) = 3, q = 3. Sₙ = 9(3ⁿ − 1)/(3 − 1) = 9(3ⁿ − 1)/2.
г) b₁ = 2³ = 8; b(n+1)/bₙ = 2^(n+3)/2^(n+2) = 2, q = 2. Sₙ = 8(2ⁿ − 1)/(2 − 1) = 8(2ⁿ − 1).
3) Проверка при n = 1: Sₙ = b₁ во всех случаях: а) (5 − 1)/4 = 1; б) 3(2 − 1) = 3; в) 9 · 2/2 = 9; г) 8 · 1 = 8 — верно.
Ответ: а) (5ⁿ − 1)/4; б) 3(2ⁿ − 1); в) 9(3ⁿ − 1)/2; г) 8(2ⁿ − 1).
619. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии: а) 1; 3; 3²; … ; б) 2; 2²; 2³; … ; в) 1/2; −1/4; 1/8; … ; г) 1; −x; x²; …, где x ≠ −1; д) 1; x²; x⁴; …, где x ≠ ±1; е) 1; −x³; x⁶; …, где x ≠ −1.
Находим b₁ и q, затем Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
а) b₁ = 1, q = 3: Sₙ = (3ⁿ − 1)/2.
б) b₁ = 2, q = 2: Sₙ = 2(2ⁿ − 1)/(2 − 1) = 2ⁿ⁺¹ − 2.
в) b₁ = 1/2, q = −1/2: Sₙ = (1/2)((−1/2)ⁿ − 1)/(−3/2) = (1 − (−1/2)ⁿ)/3.
г) b₁ = 1, q = −x (x ≠ −1, значит, q ≠ 1): Sₙ = ((−x)ⁿ − 1)/(−x − 1) = (1 − (−x)ⁿ)/(1 + x).
д) b₁ = 1, q = x² (x² ≠ 1): Sₙ = (x²ⁿ − 1)/(x² − 1).
е) b₁ = 1, q = −x³ (x ≠ −1, значит, q ≠ 1): Sₙ = ((−x³)ⁿ − 1)/(−x³ − 1) = (1 − (−x³)ⁿ)/(1 + x³).
Ответ: а) (3ⁿ − 1)/2; б) 2ⁿ⁺¹ − 2; в) (1 − (−1/2)ⁿ)/3; г) (1 − (−x)ⁿ)/(1 + x); д) (x²ⁿ − 1)/(x² − 1); е) (1 − (−x³)ⁿ)/(1 + x³).
620. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), если: а) b₇ = 72,9, q = 1,5; б) b₅ = 16/9, q = 2/3; в) b₃ = 64, q = 1/2; г) b₄ = 81, q = −1/3.
Сначала по формуле bₙ = b₁qⁿ⁻¹ находим b₁, затем S₇ = b₁(q⁷ − 1)/(q − 1).
а) b₁ = 72,9 : 1,5⁶ = 72,9 : 11,390625 = 6,4. 1,5⁷ = 17,0859375. S₇ = 6,4 · 16,0859375/0,5 = 12,8 · 16,0859375 = 205,9.
б) b₁ = (16/9) : (2/3)⁴ = (16/9) · (81/16) = 9. S₇ = 9(1 − (2/3)⁷)/(1 − 2/3) = 27(1 − 128/2187) = 27 · 2059/2187 = 2059/81 = 25 34/81.
в) b₁ = 64 : (1/2)² = 256. S₇ = 256(1 − 1/128)/(1/2) = 512 · 127/128 = 508.
г) b₁ = 81 : (−1/3)³ = −2187. S₇ = −2187(1 − (−1/3)⁷)/(1 + 1/3) = −2187 · (1 + 1/2187) · 3/4 = −2188 · 3/4 = −1641.
Ответ: а) 205,9; б) 25 34/81; в) 508; г) −1641.
621. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (xₙ), если: а) x₅ = 1 1/9, q = 1/3; б) x₄ = 121,5, q = −3.
а) x₅ = 10/9, x₁ = x₅ : q⁴ = (10/9) · 81 = 90. S₅ = 90(1 − 1/243)/(1 − 1/3) = 90 · (242/243) · (3/2) = 135 · 242/243 = 5 · 242/9 = 1210/9 = 134 4/9.
б) x₁ = 121,5 : (−3)³ = 121,5 : (−27) = −4,5. S₅ = −4,5((−3)⁵ − 1)/(−3 − 1) = −4,5 · (−244)/(−4) = −4,5 · 61 = −274,5.
Ответ: а) 134 4/9; б) −274,5.
622. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а пятый равен 162. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии, если известно, что её члены с чётными номерами отрицательны, а с нечётной — положительны.
b₅ = b₁q⁴, поэтому q⁴ = 162 : 2 = 81, q = 3 или q = −3. Члены с чётными номерами отрицательны, с нечётными — положительны, значит, знаки чередуются: q < 0, q = −3.
S₆ = 2((−3)⁶ − 1)/(−3 − 1) = 2 · 728/(−4) = −364.
Проверка: 2 − 6 + 18 − 54 + 162 − 486 = −364.
Ответ: −364.