Глава V. §10. п.31 Метод математической индукции — с. 182
632. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + … + n(3n + 1) = n(n + 1)².
Индукция. При n = 1: левая часть 1 · 4 = 4, правая 1 · 2² = 4 — верно.
Допустим, что при n = k верно 1 · 4 + … + k(3k + 1) = k(k + 1)². Докажем, что при n = k + 1 левая часть равна (k + 1)(k + 2)². Следующее слагаемое равно (k + 1)(3(k + 1) + 1) = (k + 1)(3k + 4). Тогда
k(k + 1)² + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k(k + 1) + 3k + 4) = (k + 1)(k² + 4k + 4) = (k + 1)(k + 2)².
Равенство верно при любом натуральном n.
Допустим, что при n = k верно 1 · 4 + … + k(3k + 1) = k(k + 1)². Докажем, что при n = k + 1 левая часть равна (k + 1)(k + 2)². Следующее слагаемое равно (k + 1)(3(k + 1) + 1) = (k + 1)(3k + 4). Тогда
k(k + 1)² + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k(k + 1) + 3k + 4) = (k + 1)(k² + 4k + 4) = (k + 1)(k + 2)².
Равенство верно при любом натуральном n.
633. Пусть (bₙ) — последовательность, в которой b₁ = −3, b(k+1) = bₖ + 6k + 3. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой bₙ = 3n² − 6.
Индукция. При n = 1: 3 · 1² − 6 = −3 = b₁ — верно.
Допустим, что bₖ = 3k² − 6. Докажем, что b(k+1) = 3(k + 1)² − 6. По условию b(k+1) = bₖ + 6k + 3 = 3k² − 6 + 6k + 3 = 3k² + 6k + 3 − 6 = 3(k + 1)² − 6, что и требовалось.
Значит, формула bₙ = 3n² − 6 верна при любом натуральном n.
Допустим, что bₖ = 3k² − 6. Докажем, что b(k+1) = 3(k + 1)² − 6. По условию b(k+1) = bₖ + 6k + 3 = 3k² − 6 + 6k + 3 = 3k² + 6k + 3 − 6 = 3(k + 1)² − 6, что и требовалось.
Значит, формула bₙ = 3n² − 6 верна при любом натуральном n.
634. Докажите, что последовательность (aₙ), в которой a₁ = −5, a(k+1) = aₖ + 10k + 5, можно задать формулой aₙ = 5n² − 10.
Индукция. При n = 1: 5 · 1 − 10 = −5 = a₁ — верно.
Допустим, что aₖ = 5k² − 10. Тогда a(k+1) = aₖ + 10k + 5 = 5k² − 10 + 10k + 5 = 5k² + 10k + 5 − 10 = 5(k + 1)² − 10, то есть формула верна и при n = k + 1.
По принципу математической индукции aₙ = 5n² − 10 при любом натуральном n.
Допустим, что aₖ = 5k² − 10. Тогда a(k+1) = aₖ + 10k + 5 = 5k² − 10 + 10k + 5 = 5k² + 10k + 5 − 10 = 5(k + 1)² − 10, то есть формула верна и при n = k + 1.
По принципу математической индукции aₙ = 5n² − 10 при любом натуральном n.
635. Докажите, что разность 49ⁿ − 1 кратна 48 при любом натуральном n.
Индукция. При n = 1: 49 − 1 = 48 делится на 48.
Допустим, что 49ᵏ − 1 кратно 48. Тогда 49^(k+1) − 1 = 49 · 49ᵏ − 1 = 49(49ᵏ − 1) + 49 − 1 = 49(49ᵏ − 1) + 48. Первое слагаемое кратно 48 по предположению, второе равно 48. Значит, сумма кратна 48.
По принципу математической индукции утверждение верно при любом натуральном n.
Допустим, что 49ᵏ − 1 кратно 48. Тогда 49^(k+1) − 1 = 49 · 49ᵏ − 1 = 49(49ᵏ − 1) + 49 − 1 = 49(49ᵏ − 1) + 48. Первое слагаемое кратно 48 по предположению, второе равно 48. Значит, сумма кратна 48.
По принципу математической индукции утверждение верно при любом натуральном n.
636. Пусть (uₙ) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. u₁ = 1, u₂ = 1, u(n+2) = uₙ + u(n+1) при n > 2. Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством: а) u₁ + u₃ + u₅ + … + u(2n−1) = u(2n); б) u₁² + u₂² + u₃² + … + uₙ² = uₙ · u(n+1).
Рекуррентное правило u(n+2) = uₙ + u(n+1) используем для всех натуральных n (u₃ = u₁ + u₂ = 2, u₄ = 3, u₅ = 5, …).
а) Индукция. При n = 1: u₁ = 1 = u₂ — верно. Допустим, что u₁ + u₃ + … + u(2k−1) = u(2k). Тогда u₁ + u₃ + … + u(2k−1) + u(2k+1) = u(2k) + u(2k+1) = u(2k+2), то есть равенство верно при n = k + 1.
б) Индукция. При n = 1: u₁² = 1, u₁u₂ = 1 — верно. Допустим, что u₁² + … + uₖ² = uₖu(k+1). Тогда u₁² + … + uₖ² + u(k+1)² = uₖu(k+1) + u(k+1)² = u(k+1)(uₖ + u(k+1)) = u(k+1)u(k+2).
По принципу математической индукции оба равенства верны при любом натуральном n.
Оговорка: в условии книги указано «при n > 2»; правило u(n+2) = uₙ + u(n+1) принято для всех n ≥ 1 (так определены числа Фибоначчи).
а) Индукция. При n = 1: u₁ = 1 = u₂ — верно. Допустим, что u₁ + u₃ + … + u(2k−1) = u(2k). Тогда u₁ + u₃ + … + u(2k−1) + u(2k+1) = u(2k) + u(2k+1) = u(2k+2), то есть равенство верно при n = k + 1.
б) Индукция. При n = 1: u₁² = 1, u₁u₂ = 1 — верно. Допустим, что u₁² + … + uₖ² = uₖu(k+1). Тогда u₁² + … + uₖ² + u(k+1)² = uₖu(k+1) + u(k+1)² = u(k+1)(uₖ + u(k+1)) = u(k+1)u(k+2).
По принципу математической индукции оба равенства верны при любом натуральном n.
Оговорка: в условии книги указано «при n > 2»; правило u(n+2) = uₙ + u(n+1) принято для всех n ≥ 1 (так определены числа Фибоначчи).
637. Вычислите первые пять членов последовательности (cₙ), заданной формулой: а) cₙ = −2n² + 7; б) cₙ = 100/(n² − 5); в) cₙ = −2,5 · 2ⁿ; г) cₙ = 3,2 · 2^(−n); д) cₙ = (−1)^(n−1)/(4n); е) cₙ = (1 − (−1)ⁿ)/(2n + 1).
Подставляем n = 1, 2, 3, 4, 5.
а) c₁ = 5; c₂ = −8 + 7 = −1; c₃ = −18 + 7 = −11; c₄ = −32 + 7 = −25; c₅ = −50 + 7 = −43.
б) c₁ = 100/(−4) = −25; c₂ = 100/(−1) = −100; c₃ = 100/4 = 25; c₄ = 100/11; c₅ = 100/20 = 5.
в) c₁ = −5; c₂ = −10; c₃ = −20; c₄ = −40; c₅ = −80.
г) c₁ = 3,2/2 = 1,6; c₂ = 0,8; c₃ = 0,4; c₄ = 0,2; c₅ = 0,1.
д) c₁ = 1/4; c₂ = −1/8; c₃ = 1/12; c₄ = −1/16; c₅ = 1/20.
е) при нечётном n числитель 1 − (−1) = 2, при чётном 1 − 1 = 0: c₁ = 2/3; c₂ = 0; c₃ = 2/7; c₄ = 0; c₅ = 2/11.
Оговорка: показатель степени в д) в скане читается неотчётливо; принят вид (−1)^(n−1) (при (−1)^(n+1) результат тот же).
а) c₁ = 5; c₂ = −8 + 7 = −1; c₃ = −18 + 7 = −11; c₄ = −32 + 7 = −25; c₅ = −50 + 7 = −43.
б) c₁ = 100/(−4) = −25; c₂ = 100/(−1) = −100; c₃ = 100/4 = 25; c₄ = 100/11; c₅ = 100/20 = 5.
в) c₁ = −5; c₂ = −10; c₃ = −20; c₄ = −40; c₅ = −80.
г) c₁ = 3,2/2 = 1,6; c₂ = 0,8; c₃ = 0,4; c₄ = 0,2; c₅ = 0,1.
д) c₁ = 1/4; c₂ = −1/8; c₃ = 1/12; c₄ = −1/16; c₅ = 1/20.
е) при нечётном n числитель 1 − (−1) = 2, при чётном 1 − 1 = 0: c₁ = 2/3; c₂ = 0; c₃ = 2/7; c₄ = 0; c₅ = 2/11.
Оговорка: показатель степени в д) в скане читается неотчётливо; принят вид (−1)^(n−1) (при (−1)^(n+1) результат тот же).
638. Задайте формулой n-го члена последовательность (aₙ), если: а) (aₙ) — последовательность натуральных чисел, кратных 5; б) (aₙ) — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.
а) Числа 5, 10, 15, 20, … — каждое получается умножением номера на 5: aₙ = 5n.
б) Числа 1, 6, 11, 16, … имеют вид 5k + 1, где k = 0, 1, 2, …; при k = n − 1 получаем aₙ = 5(n − 1) + 1 = 5n − 4.
Ответ: а) aₙ = 5n; б) aₙ = 5n − 4.
б) Числа 1, 6, 11, 16, … имеют вид 5k + 1, где k = 0, 1, 2, …; при k = n − 1 получаем aₙ = 5(n − 1) + 1 = 5n − 4.
Ответ: а) aₙ = 5n; б) aₙ = 5n − 4.
639. Вычислите первые несколько членов последовательности (yₙ), если: а) y₁ = −3, y(n+1) − yₙ = 10; б) y₁ = 10, y(n+1) · yₙ = 2,5; в) y₁ = 1,5, y(n−1) − yₙ = n; г) y₁ = −4, y(n+1) : yₙ = −n².
Вычисляем по рекуррентному правилу (первые пять членов).
а) y(n+1) = yₙ + 10: −3; 7; 17; 27; 37.
б) y(n+1) = 2,5/yₙ: y₁ = 10; y₂ = 2,5/10 = 0,25; y₃ = 2,5/0,25 = 10; y₄ = 0,25; y₅ = 10 (члены чередуются: 10; 0,25; 10; 0,25; …).
в) yₙ = y(n−1) − n (n ≥ 2): y₂ = 1,5 − 2 = −0,5; y₃ = −0,5 − 3 = −3,5; y₄ = −3,5 − 4 = −7,5; y₅ = −7,5 − 5 = −12,5. Последовательность: 1,5; −0,5; −3,5; −7,5; −12,5.
г) y(n+1) = −n² · yₙ: y₂ = −1 · (−4) = 4; y₃ = −4 · 4 = −16; y₄ = −9 · (−16) = 144; y₅ = −16 · 144 = −2304. Последовательность: −4; 4; −16; 144; −2304.
а) y(n+1) = yₙ + 10: −3; 7; 17; 27; 37.
б) y(n+1) = 2,5/yₙ: y₁ = 10; y₂ = 2,5/10 = 0,25; y₃ = 2,5/0,25 = 10; y₄ = 0,25; y₅ = 10 (члены чередуются: 10; 0,25; 10; 0,25; …).
в) yₙ = y(n−1) − n (n ≥ 2): y₂ = 1,5 − 2 = −0,5; y₃ = −0,5 − 3 = −3,5; y₄ = −3,5 − 4 = −7,5; y₅ = −7,5 − 5 = −12,5. Последовательность: 1,5; −0,5; −3,5; −7,5; −12,5.
г) y(n+1) = −n² · yₙ: y₂ = −1 · (−4) = 4; y₃ = −4 · 4 = −16; y₄ = −9 · (−16) = 144; y₅ = −16 · 144 = −2304. Последовательность: −4; 4; −16; 144; −2304.
640. Найдите члены арифметической прогрессии (aₙ), обозначенные буквами: а) a₁; a₂; −19; −11,5; a₅; … ; б) a₁; −8,5; a₃; −4,5; a₅; a₆; … .
а) a₃ = −19, a₄ = −11,5, разность d = −11,5 − (−19) = 7,5. a₂ = a₃ − d = −26,5; a₁ = a₂ − d = −34; a₅ = a₄ + d = −4.
б) a₂ = −8,5, a₄ = −4,5; a₄ − a₂ = 2d = 4, d = 2. a₁ = a₂ − d = −10,5; a₃ = a₂ + d = −6,5; a₅ = a₄ + d = −2,5; a₆ = a₅ + d = −0,5.
Ответ: а) a₁ = −34, a₂ = −26,5, a₅ = −4; б) a₁ = −10,5, a₃ = −6,5, a₅ = −2,5, a₆ = −0,5.
б) a₂ = −8,5, a₄ = −4,5; a₄ − a₂ = 2d = 4, d = 2. a₁ = a₂ − d = −10,5; a₃ = a₂ + d = −6,5; a₅ = a₄ + d = −2,5; a₆ = a₅ + d = −0,5.
Ответ: а) a₁ = −34, a₂ = −26,5, a₅ = −4; б) a₁ = −10,5, a₃ = −6,5, a₅ = −2,5, a₆ = −0,5.