Глава V. Дополнительные упражнения к главе V — с. 184
649. Докажите, что если d — разность арифметической прогрессии, а xₘ и xₙ — члены этой прогрессии, причём m ≠ n, то d = (xₘ − xₙ)/(m − n).
По формуле n-го члена xₘ = x₁ + (m − 1)d, xₙ = x₁ + (n − 1)d. Вычитаем: xₘ − xₙ = (m − 1)d − (n − 1)d = (m − n)d. Так как m ≠ n, можно разделить на m − n: d = (xₘ − xₙ)/(m − n).
650. Дана арифметическая прогрессия (aₙ). Найдите: а) d, если a₂₀ = 1,7 и a₃₇ = 0; б) a₁₀₀, если a₁₀ = 270 и d = −3.
а) По предыдущему упражнению d = (a₃₇ − a₂₀)/(37 − 20) = (0 − 1,7)/17 = −0,1.
б) a₁₀₀ = a₁₀ + 90d = 270 + 90 · (−3) = 270 − 270 = 0.
Ответ: а) −0,1; б) 0.
б) a₁₀₀ = a₁₀ + 90d = 270 + 90 · (−3) = 270 − 270 = 0.
Ответ: а) −0,1; б) 0.
651. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии: а) 2/3; 3/4; … ; б) √3; √12; … .
Используем S₁₀ = (2a₁ + 9d)/2 · 10 = 5(2a₁ + 9d).
а) a₁ = 2/3, d = 3/4 − 2/3 = 1/12. S₁₀ = 5(4/3 + 9/12) = 5(4/3 + 3/4) = 5 · 25/12 = 125/12 = 10 5/12.
б) a₁ = √3, a₂ = √12 = 2√3, d = √3. S₁₀ = 5(2√3 + 9√3) = 55√3.
Ответ: а) 10 5/12; б) 55√3.
а) a₁ = 2/3, d = 3/4 − 2/3 = 1/12. S₁₀ = 5(4/3 + 9/12) = 5(4/3 + 3/4) = 5 · 25/12 = 125/12 = 10 5/12.
б) a₁ = √3, a₂ = √12 = 2√3, d = √3. S₁₀ = 5(2√3 + 9√3) = 55√3.
Ответ: а) 10 5/12; б) 55√3.
652. Найдите сумму, слагаемыми которой являются последовательные члены арифметической прогрессии: а) 2 + 6 + 10 + … + 198; б) 95 + 85 + 75 + … + (−155).
а) a₁ = 2, d = 4, aₙ = 198: 2 + 4(n − 1) = 198, n = 50. S = (2 + 198)/2 · 50 = 100 · 50 = 5000.
б) a₁ = 95, d = −10, aₙ = −155: 95 − 10(n − 1) = −155, n − 1 = 25, n = 26. S = (95 − 155)/2 · 26 = −30 · 26 = −780.
Ответ: а) 5000; б) −780.
б) a₁ = 95, d = −10, aₙ = −155: 95 − 10(n − 1) = −155, n − 1 = 25, n = 26. S = (95 − 155)/2 · 26 = −30 · 26 = −780.
Ответ: а) 5000; б) −780.
653. На одной стороне угла от вершины отложены двенадцать равных отрезков, и через их концы (кроме вершины угла) проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключённых между сторонами угла, если длина наименьшего из них равна 3 см.
Параллельные отрезки отсекают от угла подобные треугольники с общей вершиной, причём коэффициенты подобия равны 1, 2, 3, …, 12 (расстояния до вершины 1, 2, …, 12 равных отрезков). Поэтому длины параллельных отрезков равны 3 · 1, 3 · 2, …, 3 · 12 — арифметическая прогрессия с a₁ = 3, d = 3, n = 12 (a₁₂ = 36).
S₁₂ = (3 + 36)/2 · 12 = 39 · 6 = 234 (см).
Ответ: 234 см.
S₁₂ = (3 + 36)/2 · 12 = 39 · 6 = 234 (см).
Ответ: 234 см.
654. В арифметической прогрессии (aₙ): а) d = −0,4, n = 12, aₙ = 2,4; найдите a₁ и Sₙ; б) a₁ = −35, d = 5, Sₙ = 250; найдите n и aₙ; в) d = 1/2, aₙ = 50, Sₙ = 2525; найдите a₁ и n; г) a₁ = −1/2, aₙ = −29 1/2, Sₙ = −450; найдите d и n.
а) a₁₂ = a₁ + 11d, a₁ = 2,4 + 4,4 = 6,8. S₁₂ = (6,8 + 2,4)/2 · 12 = 4,6 · 12 = 55,2.
б) Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n = (−70 + 5n − 5)n/2 = 250; 5n² − 75n = 500; n² − 15n − 100 = 0; n = 20 или n = −5 (не подходит). aₙ = −35 + 19 · 5 = 60. Проверка: (−35 + 60)/2 · 20 = 250.
в) a₁ = 50 − (n − 1)/2. Sₙ = (a₁ + 50)/2 · n = 2525, значит, (100 − (n − 1)/2) · n = 5050; 200n − n² + n = 10 100; n² − 201n + 10 100 = 0; D = 40 401 − 40 400 = 1; n = (201 ± 1)/2 = 101 или 100.
При n = 100: a₁ = 50 − 49,5 = 0,5. При n = 101: a₁ = 50 − 50 = 0. Оба случая подходят (S₁₀₀ = 50,5/2 · 100 = 2525; S₁₀₁ = 25 · 101 = 2525).
г) Sₙ = (−1/2 − 29 1/2)/2 · n = −15n = −450, n = 30. d = (a₃₀ − a₁)/29 = (−29,5 + 0,5)/29 = −1.
Ответ: а) a₁ = 6,8, S₁₂ = 55,2; б) n = 20, aₙ = 60; в) a₁ = 0,5, n = 100 или a₁ = 0, n = 101; г) d = −1, n = 30.
б) Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n = (−70 + 5n − 5)n/2 = 250; 5n² − 75n = 500; n² − 15n − 100 = 0; n = 20 или n = −5 (не подходит). aₙ = −35 + 19 · 5 = 60. Проверка: (−35 + 60)/2 · 20 = 250.
в) a₁ = 50 − (n − 1)/2. Sₙ = (a₁ + 50)/2 · n = 2525, значит, (100 − (n − 1)/2) · n = 5050; 200n − n² + n = 10 100; n² − 201n + 10 100 = 0; D = 40 401 − 40 400 = 1; n = (201 ± 1)/2 = 101 или 100.
При n = 100: a₁ = 50 − 49,5 = 0,5. При n = 101: a₁ = 50 − 50 = 0. Оба случая подходят (S₁₀₀ = 50,5/2 · 100 = 2525; S₁₀₁ = 25 · 101 = 2525).
г) Sₙ = (−1/2 − 29 1/2)/2 · n = −15n = −450, n = 30. d = (a₃₀ − a₁)/29 = (−29,5 + 0,5)/29 = −1.
Ответ: а) a₁ = 6,8, S₁₂ = 55,2; б) n = 20, aₙ = 60; в) a₁ = 0,5, n = 100 или a₁ = 0, n = 101; г) d = −1, n = 30.
655. Найдите разность арифметической прогрессии (xₙ) и её первый член, если десятый член этой прогрессии равен 1 и сумма первых шестнадцати её членов равна 4.
x₁₀ = x₁ + 9d = 1, S₁₆ = (2x₁ + 15d)/2 · 16 = 8(2x₁ + 15d) = 4, откуда 2x₁ + 15d = 0,5.
Из первого уравнения x₁ = 1 − 9d. Тогда 2 − 18d + 15d = 0,5; −3d = −1,5; d = 0,5; x₁ = 1 − 4,5 = −3,5.
Проверка: S₁₆ = (2 · (−3,5) + 15 · 0,5)/2 · 16 = 0,5 · 8 = 4.
Ответ: d = 0,5; x₁ = −3,5.
Из первого уравнения x₁ = 1 − 9d. Тогда 2 − 18d + 15d = 0,5; −3d = −1,5; d = 0,5; x₁ = 1 − 4,5 = −3,5.
Проверка: S₁₆ = (2 · (−3,5) + 15 · 0,5)/2 · 16 = 0,5 · 8 = 4.
Ответ: d = 0,5; x₁ = −3,5.
656. Найдите сумму: а) всех двузначных чисел; б) всех трёхзначных чисел.
а) Двузначные числа 10, 11, …, 99 — арифметическая прогрессия, n = 90, a₁ = 10, aₙ = 99. S = (10 + 99)/2 · 90 = 109 · 45 = 4905.
б) Трёхзначные числа 100, …, 999: n = 900. S = (100 + 999)/2 · 900 = 1099 · 450 = 494 550.
Ответ: а) 4905; б) 494 550.
б) Трёхзначные числа 100, …, 999: n = 900. S = (100 + 999)/2 · 900 = 1099 · 450 = 494 550.
Ответ: а) 4905; б) 494 550.
657. Найдите сумму: а) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200; б) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150; в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.
а) 2, 4, …, 200: n = 100. S = (2 + 200)/2 · 100 = 10 100.
б) 1, 3, …, 149 (наибольшее нечётное, не превосходящее 150): n = (149 − 1)/2 + 1 = 75. S = (1 + 149)/2 · 75 = 5625.
в) Первое кратное 3 число после 100 — 102, последнее до 200 — 198. n = (198 − 102)/3 + 1 = 33. S = (102 + 198)/2 · 33 = 150 · 33 = 4950.
Ответ: а) 10 100; б) 5625; в) 4950.
б) 1, 3, …, 149 (наибольшее нечётное, не превосходящее 150): n = (149 − 1)/2 + 1 = 75. S = (1 + 149)/2 · 75 = 5625.
в) Первое кратное 3 число после 100 — 102, последнее до 200 — 198. n = (198 − 102)/3 + 1 = 33. S = (102 + 198)/2 · 33 = 150 · 33 = 4950.
Ответ: а) 10 100; б) 5625; в) 4950.
658. Какова сумма натуральных чисел: а) меньших 100 и не кратных 3; б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5?
а) Сумма всех натуральных чисел от 1 до 99: (1 + 99)/2 · 99 = 4950. Сумма кратных 3 среди них: 3 + 6 + … + 99 (33 числа): (3 + 99)/2 · 33 = 1683. Искомая сумма: 4950 − 1683 = 3267.
б) Числа от 51 до 149 (99 чисел): (51 + 149)/2 · 99 = 9900. Кратные 5: 55, 60, …, 145; n = (145 − 55)/5 + 1 = 19, сумма (55 + 145)/2 · 19 = 1900. Искомая сумма: 9900 − 1900 = 8000.
Ответ: а) 3267; б) 8000.
б) Числа от 51 до 149 (99 чисел): (51 + 149)/2 · 99 = 9900. Кратные 5: 55, 60, …, 145; n = (145 − 55)/5 + 1 = 19, сумма (55 + 145)/2 · 19 = 1900. Искомая сумма: 9900 − 1900 = 8000.
Ответ: а) 3267; б) 8000.