Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Тождественные преобразования — с. 192
708. Представьте в виде дроби: а) (ab² − 16a)/(5b³) · 20b⁵/(a²b + 4a²); б) 7xy/(x² − 4xy + 4y²) · (3x − 6y)/(14y²); в) (p³ − 125)/(8p²) · 4p/(p² + 5p + 25); г) (9m² − 12mn + 4n²)/(3m³ + 24n³) · (3m + 6n)/(2n − 3m).
а) ab² − 16a = a(b − 4)(b + 4), a²b + 4a² = a²(b + 4). Произведение = a(b − 4)(b + 4) · 20b⁵/(5b³ · a²(b + 4)) = 4b²(b − 4)/a = (4b³ − 16b²)/a.
б) x² − 4xy + 4y² = (x − 2y)², 3x − 6y = 3(x − 2y). Произведение = 7xy · 3(x − 2y)/((x − 2y)² · 14y²) = 21xy/(14y²(x − 2y)) = 3x/(2y(x − 2y)) = 3x/(2xy − 4y²).
в) p³ − 125 = (p − 5)(p² + 5p + 25). Произведение = (p − 5)(p² + 5p + 25) · 4p/(8p² · (p² + 5p + 25)) = (p − 5)/(2p).
г) 9m² − 12mn + 4n² = (3m − 2n)², 3m³ + 24n³ = 3(m + 2n)(m² − 2mn + 4n²), 3m + 6n = 3(m + 2n), 2n − 3m = −(3m − 2n). Произведение = (3m − 2n)² · 3(m + 2n)/(3(m + 2n)(m² − 2mn + 4n²) · (−(3m − 2n))) = −(3m − 2n)/(m² − 2mn + 4n²) = (2n − 3m)/(m² − 2mn + 4n²).
Ответ: а) (4b³ − 16b²)/a; б) 3x/(2xy − 4y²); в) (p − 5)/(2p); г) (2n − 3m)/(m² − 2mn + 4n²).
б) x² − 4xy + 4y² = (x − 2y)², 3x − 6y = 3(x − 2y). Произведение = 7xy · 3(x − 2y)/((x − 2y)² · 14y²) = 21xy/(14y²(x − 2y)) = 3x/(2y(x − 2y)) = 3x/(2xy − 4y²).
в) p³ − 125 = (p − 5)(p² + 5p + 25). Произведение = (p − 5)(p² + 5p + 25) · 4p/(8p² · (p² + 5p + 25)) = (p − 5)/(2p).
г) 9m² − 12mn + 4n² = (3m − 2n)², 3m³ + 24n³ = 3(m + 2n)(m² − 2mn + 4n²), 3m + 6n = 3(m + 2n), 2n − 3m = −(3m − 2n). Произведение = (3m − 2n)² · 3(m + 2n)/(3(m + 2n)(m² − 2mn + 4n²) · (−(3m − 2n))) = −(3m − 2n)/(m² − 2mn + 4n²) = (2n − 3m)/(m² − 2mn + 4n²).
Ответ: а) (4b³ − 16b²)/a; б) 3x/(2xy − 4y²); в) (p − 5)/(2p); г) (2n − 3m)/(m² − 2mn + 4n²).
709. Упростите: а) (x² − 4x)/(x² + 7x) : (24 − 6x)/(49 − x²); б) (y³ − 16y)/(2y + 18) : (4 − y)/(y² + 9y); в) ((a + b)² − 2ab)/(4a²) : (a² + b²)/(ab); г) (5c³ − 5)/(c + 2) : ((c + 1)² − c)/(13c + 26).
Делим, умножая на обратную дробь.
а) x(x − 4)/(x(x + 7)) · (7 − x)(7 + x)/(6(4 − x)) = (x − 4)(7 − x)/(6(4 − x)) = −(7 − x)/6 = (x − 7)/6.
б) y(y − 4)(y + 4)/(2(y + 9)) · y(y + 9)/(4 − y) = y²(y − 4)(y + 4)/(2(4 − y)) = −y²(y + 4)/2 = −(y³ + 4y²)/2.
в) (a + b)² − 2ab = a² + b². (a² + b²)/(4a²) · ab/(a² + b²) = b/(4a).
г) 5c³ − 5 = 5(c − 1)(c² + c + 1); (c + 1)² − c = c² + c + 1; 13c + 26 = 13(c + 2). Результат: 5(c − 1)(c² + c + 1)/(c + 2) · 13(c + 2)/(c² + c + 1) = 65(c − 1).
Ответ: а) (x − 7)/6; б) −(y³ + 4y²)/2; в) b/(4a); г) 65(c − 1).
Оговорка: в ответах учебника для пункта г) указано 5(c − 1); при условии 13c + 26 в знаменателе второй дроби я проверил дважды и получил 65(c − 1).
а) x(x − 4)/(x(x + 7)) · (7 − x)(7 + x)/(6(4 − x)) = (x − 4)(7 − x)/(6(4 − x)) = −(7 − x)/6 = (x − 7)/6.
б) y(y − 4)(y + 4)/(2(y + 9)) · y(y + 9)/(4 − y) = y²(y − 4)(y + 4)/(2(4 − y)) = −y²(y + 4)/2 = −(y³ + 4y²)/2.
в) (a + b)² − 2ab = a² + b². (a² + b²)/(4a²) · ab/(a² + b²) = b/(4a).
г) 5c³ − 5 = 5(c − 1)(c² + c + 1); (c + 1)² − c = c² + c + 1; 13c + 26 = 13(c + 2). Результат: 5(c − 1)(c² + c + 1)/(c + 2) · 13(c + 2)/(c² + c + 1) = 65(c − 1).
Ответ: а) (x − 7)/6; б) −(y³ + 4y²)/2; в) b/(4a); г) 65(c − 1).
Оговорка: в ответах учебника для пункта г) указано 5(c − 1); при условии 13c + 26 в знаменателе второй дроби я проверил дважды и получил 65(c − 1).
710. Упростите выражение: а) (7(m − 2)/(m³ − 8) − (m + 2)/(m² + 2m + 4)) · (2m² + 4m + 8)/(m − 3); б) (a + 5)/(a² − 9) : ((a + 2)/(a² − 3a + 9) − 2(a + 8)/(a³ + 27)); в) ((x + 2)/(3x) − 2/(x − 2) − (x − 14)/(3x² − 6x)) : (x + 2)/(6x) · 1/(x − 5); г) (4x/(9 − x²) − (x − 3)/(9 + 3x)) · 18/(x + 3) − 2x/(3 − x).
а) m³ − 8 = (m − 2)(m² + 2m + 4), поэтому 7(m − 2)/(m³ − 8) = 7/(m² + 2m + 4). Разность в скобках (7 − (m + 2))/(m² + 2m + 4) = (5 − m)/(m² + 2m + 4). Умножаем на 2(m² + 2m + 4)/(m − 3): 2(5 − m)/(m − 3) = (10 − 2m)/(m − 3).
б) a³ + 27 = (a + 3)(a² − 3a + 9). В скобках: ((a + 2)(a + 3) − 2(a + 8))/(a³ + 27) = (a² + 3a − 10)/(a³ + 27) = (a + 5)(a − 2)/(a³ + 27). Далее (a + 5)/((a − 3)(a + 3)) · (a + 3)(a² − 3a + 9)/((a + 5)(a − 2)) = (a² − 3a + 9)/((a − 3)(a − 2)) = (a² − 3a + 9)/(a² − 5a + 6).
в) Общий знаменатель в скобках 3x(x − 2). Числитель (x + 2)(x − 2) − 6x − (x − 14) = x² − 4 − 6x − x + 14 = x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5). Скобка равна (x − 5)/(3x). Деление на (x + 2)/(6x) даёт (x − 5)/(3x) · 6x/(x + 2) = 2(x − 5)/(x + 2); умножение на 1/(x − 5) даёт 2/(x + 2).
г) 9 + 3x = 3(x + 3). Общий знаменатель в скобках 3(3 − x)(3 + x). Числитель 12x − (x − 3)(3 − x) = 12x + (x − 3)² = (x + 3)². Скобка равна (x + 3)/(3(3 − x)). Умножаем на 18/(x + 3): 6/(3 − x). Вычитаем 2x/(3 − x): (6 − 2x)/(3 − x) = 2.
Ответ: а) (10 − 2m)/(m − 3); б) (a² − 3a + 9)/(a² − 5a + 6); в) 2/(x + 2); г) 2.
б) a³ + 27 = (a + 3)(a² − 3a + 9). В скобках: ((a + 2)(a + 3) − 2(a + 8))/(a³ + 27) = (a² + 3a − 10)/(a³ + 27) = (a + 5)(a − 2)/(a³ + 27). Далее (a + 5)/((a − 3)(a + 3)) · (a + 3)(a² − 3a + 9)/((a + 5)(a − 2)) = (a² − 3a + 9)/((a − 3)(a − 2)) = (a² − 3a + 9)/(a² − 5a + 6).
в) Общий знаменатель в скобках 3x(x − 2). Числитель (x + 2)(x − 2) − 6x − (x − 14) = x² − 4 − 6x − x + 14 = x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5). Скобка равна (x − 5)/(3x). Деление на (x + 2)/(6x) даёт (x − 5)/(3x) · 6x/(x + 2) = 2(x − 5)/(x + 2); умножение на 1/(x − 5) даёт 2/(x + 2).
г) 9 + 3x = 3(x + 3). Общий знаменатель в скобках 3(3 − x)(3 + x). Числитель 12x − (x − 3)(3 − x) = 12x + (x − 3)² = (x + 3)². Скобка равна (x + 3)/(3(3 − x)). Умножаем на 18/(x + 3): 6/(3 − x). Вычитаем 2x/(3 − x): (6 − 2x)/(3 − x) = 2.
Ответ: а) (10 − 2m)/(m − 3); б) (a² − 3a + 9)/(a² − 5a + 6); в) 2/(x + 2); г) 2.
711. Преобразуйте выражение: а) 1/2 + (3m/(1 − 3m) + 2m/(3m + 1)) · (9m² − 6m + 1)/(6m² + 10m); б) (1/(x + y) − y²/(xy² − x³)) : ((x − y)/(x² + xy) − x/(y² + xy)) − x/(x + y); в) (2a + 3)/(2a − 3) · ((2a² + 3a)/(4a² + 12a + 9) − (3a + 2)/(2a + 3)) + (4a − 1)/(2a − 3) − (a − 1)/a; г) ((a + 3)/(a² + 2a + 1) + (a − 1)/(a² − 2a − 3)) · (a² − 2a − 3)/(a + 2) − 1; д) 3(m + 3)/(m² + 3m + 9) + (m³ − 3m²)/(m + 3)² · (3m/(m³ − 27) + 1/(m − 3)); е) ((9x² + 8)/(27x³ − 1) − 1/(3x − 1) + 4/(9x² + 3x + 1)) · (3x − 1)/(3x + 1).
а) В скобках: (3m(3m + 1) + 2m(1 − 3m))/((1 − 3m)(1 + 3m)) = (3m² + 5m)/(1 − 9m²) = m(3m + 5)/(1 − 9m²). Умножаем на (3m − 1)²/(2m(3m + 5)): (3m − 1)²/(2(1 − 9m²)) = (1 − 3m)²/(2(1 − 3m)(1 + 3m)) = (1 − 3m)/(2(1 + 3m)). Прибавляем 1/2: (1/2)(1 + (1 − 3m)/(1 + 3m)) = (1/2) · 2/(1 + 3m) = 1/(1 + 3m).
б) xy² − x³ = x(y − x)(y + x). Первая скобка: (x(y − x) − y²)/(x(y − x)(x + y)) = (xy − x² − y²)/(x(y − x)(x + y)) = (x² − xy + y²)/(x(x − y)(x + y)). Вторая: (x − y)/(x(x + y)) − x/(y(x + y)) = (y(x − y) − x²)/(xy(x + y)) = −(x² − xy + y²)/(xy(x + y)). Частное: (x² − xy + y²)/(x(x − y)(x + y)) · (−xy(x + y))/(x² − xy + y²) = −y/(x − y) = y/(y − x). Вычитаем x/(x + y): (y(x + y) − x(y − x))/((y − x)(y + x)) = (x² + y²)/(y² − x²).
в) 4a² + 12a + 9 = (2a + 3)², 2a² + 3a = a(2a + 3), поэтому первая дробь равна a/(2a + 3). Скобка: (a − 3a − 2)/(2a + 3) = −2(a + 1)/(2a + 3). Умножаем на (2a + 3)/(2a − 3): −2(a + 1)/(2a − 3). Прибавляем (4a − 1)/(2a − 3): (−2a − 2 + 4a − 1)/(2a − 3) = 1. Вычитаем (a − 1)/a: 1 − (a − 1)/a = 1/a.
г) a² + 2a + 1 = (a + 1)², a² − 2a − 3 = (a − 3)(a + 1). Скобка: ((a + 3)(a − 3) + (a − 1)(a + 1))/((a + 1)²(a − 3)) = (2a² − 10)/((a + 1)²(a − 3)). Умножаем на (a − 3)(a + 1)/(a + 2): (2a² − 10)/((a + 1)(a + 2)). Вычитаем 1: (2a² − 10 − a² − 3a − 2)/((a + 1)(a + 2)) = (a² − 3a − 12)/(a² + 3a + 2).
д) m³ − 27 = (m − 3)(m² + 3m + 9). Скобка: (3m + m² + 3m + 9)/((m − 3)(m² + 3m + 9)) = (m + 3)²/((m − 3)(m² + 3m + 9)). Умножаем на m²(m − 3)/(m + 3)²: m²/(m² + 3m + 9). Сумма: (3m + 9 + m²)/(m² + 3m + 9) = 1.
е) 27x³ − 1 = (3x − 1)(9x² + 3x + 1). Числитель в скобке: 9x² + 8 − (9x² + 3x + 1) + 4(3x − 1) = 9x + 3 = 3(3x + 1). Скобка 3(3x + 1)/((3x − 1)(9x² + 3x + 1)). Умножаем на (3x − 1)/(3x + 1): 3/(9x² + 3x + 1).
Ответ: а) 1/(1 + 3m); б) (x² + y²)/(y² − x²); в) 1/a; г) (a² − 3a − 12)/(a² + 3a + 2); д) 1; е) 3/(9x² + 3x + 1).
б) xy² − x³ = x(y − x)(y + x). Первая скобка: (x(y − x) − y²)/(x(y − x)(x + y)) = (xy − x² − y²)/(x(y − x)(x + y)) = (x² − xy + y²)/(x(x − y)(x + y)). Вторая: (x − y)/(x(x + y)) − x/(y(x + y)) = (y(x − y) − x²)/(xy(x + y)) = −(x² − xy + y²)/(xy(x + y)). Частное: (x² − xy + y²)/(x(x − y)(x + y)) · (−xy(x + y))/(x² − xy + y²) = −y/(x − y) = y/(y − x). Вычитаем x/(x + y): (y(x + y) − x(y − x))/((y − x)(y + x)) = (x² + y²)/(y² − x²).
в) 4a² + 12a + 9 = (2a + 3)², 2a² + 3a = a(2a + 3), поэтому первая дробь равна a/(2a + 3). Скобка: (a − 3a − 2)/(2a + 3) = −2(a + 1)/(2a + 3). Умножаем на (2a + 3)/(2a − 3): −2(a + 1)/(2a − 3). Прибавляем (4a − 1)/(2a − 3): (−2a − 2 + 4a − 1)/(2a − 3) = 1. Вычитаем (a − 1)/a: 1 − (a − 1)/a = 1/a.
г) a² + 2a + 1 = (a + 1)², a² − 2a − 3 = (a − 3)(a + 1). Скобка: ((a + 3)(a − 3) + (a − 1)(a + 1))/((a + 1)²(a − 3)) = (2a² − 10)/((a + 1)²(a − 3)). Умножаем на (a − 3)(a + 1)/(a + 2): (2a² − 10)/((a + 1)(a + 2)). Вычитаем 1: (2a² − 10 − a² − 3a − 2)/((a + 1)(a + 2)) = (a² − 3a − 12)/(a² + 3a + 2).
д) m³ − 27 = (m − 3)(m² + 3m + 9). Скобка: (3m + m² + 3m + 9)/((m − 3)(m² + 3m + 9)) = (m + 3)²/((m − 3)(m² + 3m + 9)). Умножаем на m²(m − 3)/(m + 3)²: m²/(m² + 3m + 9). Сумма: (3m + 9 + m²)/(m² + 3m + 9) = 1.
е) 27x³ − 1 = (3x − 1)(9x² + 3x + 1). Числитель в скобке: 9x² + 8 − (9x² + 3x + 1) + 4(3x − 1) = 9x + 3 = 3(3x + 1). Скобка 3(3x + 1)/((3x − 1)(9x² + 3x + 1)). Умножаем на (3x − 1)/(3x + 1): 3/(9x² + 3x + 1).
Ответ: а) 1/(1 + 3m); б) (x² + y²)/(y² − x²); в) 1/a; г) (a² − 3a − 12)/(a² + 3a + 2); д) 1; е) 3/(9x² + 3x + 1).