Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Неравенства — с. 203
799. Решите неравенство: а) (4,2 + 2x)/3 > 1,5x − 1,1; б) 2,3a + 0,8 < (5,8a + 3,4)/2; в) (0,5 − 5y)/6 ≥ (0,6 − 5y)/4; г) (0,6m + 1,2)/12 ≤ (1,5m − 2,5)/15; д) (1,3a − 0,7)/4 − (0,9a + 0,3)/3 > 0; е) (1,6 − 0,3y)/2 + (4,4 + 1,5y)/5 < −4,05y.
Умножаем обе части на положительный общий знаменатель.
а) ×3: 4,2 + 2x > 4,5x − 3,3, 7,5 > 2,5x, x < 3.
б) ×2: 4,6a + 1,6 < 5,8a + 3,4, −1,8 < 1,2a, a > −1,5.
в) ×12: 2(0,5 − 5y) ≥ 3(0,6 − 5y), 1 − 10y ≥ 1,8 − 15y, 5y ≥ 0,8, y ≥ 0,16.
г) ×60: 5(0,6m + 1,2) ≤ 4(1,5m − 2,5), 3m + 6 ≤ 6m − 10, 16 ≤ 3m, m ≥ 5 1/3.
д) ×12: 3(1,3a − 0,7) − 4(0,9a + 0,3) > 0, 3,9a − 2,1 − 3,6a − 1,2 > 0, 0,3a > 3,3, a > 11.
е) ×10: 5(1,6 − 0,3y) + 2(4,4 + 1,5y) < −40,5y, 8 − 1,5y + 8,8 + 3y < −40,5y, 16,8 + 1,5y < −40,5y, 42y < −16,8, y < −0,4.
Ответ: а) x < 3; б) a > −1,5; в) y ≥ 0,16; г) m ≥ 5 1/3; д) a > 11; е) y < −0,4.
а) ×3: 4,2 + 2x > 4,5x − 3,3, 7,5 > 2,5x, x < 3.
б) ×2: 4,6a + 1,6 < 5,8a + 3,4, −1,8 < 1,2a, a > −1,5.
в) ×12: 2(0,5 − 5y) ≥ 3(0,6 − 5y), 1 − 10y ≥ 1,8 − 15y, 5y ≥ 0,8, y ≥ 0,16.
г) ×60: 5(0,6m + 1,2) ≤ 4(1,5m − 2,5), 3m + 6 ≤ 6m − 10, 16 ≤ 3m, m ≥ 5 1/3.
д) ×12: 3(1,3a − 0,7) − 4(0,9a + 0,3) > 0, 3,9a − 2,1 − 3,6a − 1,2 > 0, 0,3a > 3,3, a > 11.
е) ×10: 5(1,6 − 0,3y) + 2(4,4 + 1,5y) < −40,5y, 8 − 1,5y + 8,8 + 3y < −40,5y, 16,8 + 1,5y < −40,5y, 42y < −16,8, y < −0,4.
Ответ: а) x < 3; б) a > −1,5; в) y ≥ 0,16; г) m ≥ 5 1/3; д) a > 11; е) y < −0,4.
800. При каких значениях b: а) значение дроби (12 − 1,5b)/5 меньше соответствующего значения дроби (11 − 0,5b)/2; б) значение дроби (1,4 + b)/4 больше соответствующего значения дроби (2,6 + 3b)/2; в) значение дроби (6b − 1)/b не превосходит соответствующее значение дроби (16 − 2b)/(9 − b)?
а) (12 − 1,5b)/5 < (11 − 0,5b)/2. Умножим на 10: 2(12 − 1,5b) < 5(11 − 0,5b), 24 − 3b < 55 − 2,5b, −31 < 0,5b, b > −62.
б) (1,4 + b)/4 > (2,6 + 3b)/2. Умножим на 4: 1,4 + b > 2(2,6 + 3b), 1,4 + b > 5,2 + 6b, −3,8 > 5b, b < −0,76.
в) Нужно решить (6b − 1)/b ≤ (16 − 2b)/(9 − b), b ≠ 0, b ≠ 9. Перенесём всё в левую часть: ((6b − 1)(9 − b) − b(16 − 2b))/(b(9 − b)) ≤ 0. Числитель: 54b − 6b² − 9 + b − 16b + 2b² = −4b² + 39b − 9. Умножим неравенство на −1 и заменим знак: (4b² − 39b + 9)/(b(9 − b)) ≥ 0, или (4b² − 39b + 9)/(b(b − 9)) ≤ 0. Корни числителя: D = 1521 − 144 = 1377 = 81 · 17, b = (39 ± 9√17)/8, то есть b₁ ≈ 0,24 и b₂ ≈ 9,51. На числовой прямой отмечаем точки 0, b₁, 9, b₂ и определяем знаки методом интервалов: дробь отрицательна или равна нулю при 0 < b ≤ b₁ и при 9 < b ≤ b₂.
Ответ: а) при b > −62; б) при b < −0,76; в) при 0 < b ≤ (39 − 9√17)/8 и при 9 < b ≤ (39 + 9√17)/8.
Оговорка: для пункта в) в «Ответах» учебника результат не приведён; условие прочитано как (6b − 1)/b и (16 − 2b)/(9 − b), ответ получен при таком чтении.
б) (1,4 + b)/4 > (2,6 + 3b)/2. Умножим на 4: 1,4 + b > 2(2,6 + 3b), 1,4 + b > 5,2 + 6b, −3,8 > 5b, b < −0,76.
в) Нужно решить (6b − 1)/b ≤ (16 − 2b)/(9 − b), b ≠ 0, b ≠ 9. Перенесём всё в левую часть: ((6b − 1)(9 − b) − b(16 − 2b))/(b(9 − b)) ≤ 0. Числитель: 54b − 6b² − 9 + b − 16b + 2b² = −4b² + 39b − 9. Умножим неравенство на −1 и заменим знак: (4b² − 39b + 9)/(b(9 − b)) ≥ 0, или (4b² − 39b + 9)/(b(b − 9)) ≤ 0. Корни числителя: D = 1521 − 144 = 1377 = 81 · 17, b = (39 ± 9√17)/8, то есть b₁ ≈ 0,24 и b₂ ≈ 9,51. На числовой прямой отмечаем точки 0, b₁, 9, b₂ и определяем знаки методом интервалов: дробь отрицательна или равна нулю при 0 < b ≤ b₁ и при 9 < b ≤ b₂.
Ответ: а) при b > −62; б) при b < −0,76; в) при 0 < b ≤ (39 − 9√17)/8 и при 9 < b ≤ (39 + 9√17)/8.
Оговорка: для пункта в) в «Ответах» учебника результат не приведён; условие прочитано как (6b − 1)/b и (16 − 2b)/(9 − b), ответ получен при таком чтении.
801. Решите двойное неравенство: а) −2 < (4x − 1)/5 < 2; б) 0,2 ≤ (1 − 5x)/20 ≤ 0,4.
а) Умножим все части на 5: −10 < 4x − 1 < 10. Прибавим 1: −9 < 4x < 11. Разделим на 4: −2,25 < x < 2,75.
б) Умножим все части на 20: 4 ≤ 1 − 5x ≤ 8. Вычтем 1: 3 ≤ −5x ≤ 7. Разделим на −5, меняя знаки неравенств: −1,4 ≤ x ≤ −0,6.
Ответ: а) (−2,25; 2,75); б) [−1,4; −0,6].
б) Умножим все части на 20: 4 ≤ 1 − 5x ≤ 8. Вычтем 1: 3 ≤ −5x ≤ 7. Разделим на −5, меняя знаки неравенств: −1,4 ≤ x ≤ −0,6.
Ответ: а) (−2,25; 2,75); б) [−1,4; −0,6].
802. Решите неравенство: а) (5 − 2x)(√6 − 3) < 0; б) (4 − √10)(3x + 1) > 0; в) (√3 − √2)/(2 + 7x) < 0; г) (√7 − √8)/(4 + 5x) > 0.
а) √6 < 3, поэтому √6 − 3 < 0. Произведение отрицательно, значит, 5 − 2x > 0, x < 2,5.
б) √10 < 4, поэтому 4 − √10 > 0. Значит, 3x + 1 > 0, x > −1/3.
в) √3 > √2, числитель положителен. Дробь отрицательна, значит, 2 + 7x < 0, x < −2/7.
г) √7 < √8, числитель отрицателен. Дробь положительна, значит, 4 + 5x < 0, x < −0,8.
Ответ: а) (−∞; 2,5); б) (−1/3; +∞); в) (−∞; −2/7); г) (−∞; −0,8).
б) √10 < 4, поэтому 4 − √10 > 0. Значит, 3x + 1 > 0, x > −1/3.
в) √3 > √2, числитель положителен. Дробь отрицательна, значит, 2 + 7x < 0, x < −2/7.
г) √7 < √8, числитель отрицателен. Дробь положительна, значит, 4 + 5x < 0, x < −0,8.
Ответ: а) (−∞; 2,5); б) (−1/3; +∞); в) (−∞; −2/7); г) (−∞; −0,8).
803. Решите систему неравенств: а) {5x − 2 > 2x + 1, 2x + 3 < 18 − 3x; б) {4y + 5 > y + 17, y − 1 > 2y − 3; в) {12y − 1 < 3 − 2y, 5y < 2 − 11y; г) {8x + 1 > 5x − 1, 9x + 9 < 8x + 8.
а) 3x > 3, x > 1; 5x < 15, x < 3. Решение: 1 < x < 3.
б) 3y > 12, y > 4; −y > −2, y < 2. Общих значений нет.
в) 14y < 4, y < 2/7; 16y < 2, y < 1/8. Общая часть: y < 1/8.
г) 3x > −2, x > −2/3; x < −1. Так как −1 < −2/3, общих значений нет.
Ответ: а) (1; 3); б) решений нет; в) (−∞; 1/8); г) решений нет.
б) 3y > 12, y > 4; −y > −2, y < 2. Общих значений нет.
в) 14y < 4, y < 2/7; 16y < 2, y < 1/8. Общая часть: y < 1/8.
г) 3x > −2, x > −2/3; x < −1. Так как −1 < −2/3, общих значений нет.
Ответ: а) (1; 3); б) решений нет; в) (−∞; 1/8); г) решений нет.
804. Решите систему трёх неравенств: а) {2x + 5 > 3x − 1, x/3 > −1, 10x < 0; б) {6x > x − 10, 2x − 4 < 0, 2x + 1 > x + 4.
а) 2x + 5 > 3x − 1 ⇒ x < 6; x/3 > −1 ⇒ x > −3; 10x < 0 ⇒ x < 0. Пересечение: −3 < x < 0.
б) 6x > x − 10 ⇒ 5x > −10 ⇒ x > −2; 2x − 4 < 0 ⇒ x < 2; 2x + 1 > x + 4 ⇒ x > 3. Условия x < 2 и x > 3 несовместны, решений нет.
Ответ: а) (−3; 0); б) решений нет.
б) 6x > x − 10 ⇒ 5x > −10 ⇒ x > −2; 2x − 4 < 0 ⇒ x < 2; 2x + 1 > x + 4 ⇒ x > 3. Условия x < 2 и x > 3 несовместны, решений нет.
Ответ: а) (−3; 0); б) решений нет.