Задачи повышенной трудности — с. 210
846. Найдите множество значений функции y = x/(x² + 1).
Число y принадлежит множеству значений, если уравнение y = x/(x² + 1) имеет решение относительно x. Перепишем: yx² − x + y = 0.
При y = 0 получаем x = 0 — решение есть.
При y ≠ 0 это квадратное уравнение; оно имеет корни, если D = 1 − 4y² ≥ 0, то есть −1/2 ≤ y ≤ 1/2.
Значения ±1/2 достигаются при x = ±1.
Ответ: [−1/2; 1/2].
При y = 0 получаем x = 0 — решение есть.
При y ≠ 0 это квадратное уравнение; оно имеет корни, если D = 1 − 4y² ≥ 0, то есть −1/2 ≤ y ≤ 1/2.
Значения ±1/2 достигаются при x = ±1.
Ответ: [−1/2; 1/2].
847. Сумма квадратов корней x1 и x2 уравнения x² − 3ax + a² = 0 равна 1,75. Найдите x1 и x2.
По теореме Виета x1 + x2 = 3a, x1x2 = a².
x1² + x2² = (x1 + x2)² − 2x1x2 = 9a² − 2a² = 7a² = 1,75, откуда a² = 0,25, a = 0,5 или a = −0,5. Дискриминант D = 9a² − 4a² = 5a² > 0, корни существуют.
При a = 0,5: x² − 1,5x + 0,25 = 0, x = (1,5 ± √1,25)/2 = (3 ± √5)/4.
При a = −0,5: x² + 1,5x + 0,25 = 0, x = (−1,5 ± √1,25)/2 = (−3 ± √5)/4.
Ответ: (3 − √5)/4 и (3 + √5)/4 (при a = 0,5) или (−3 − √5)/4 и (−3 + √5)/4 (при a = −0,5).
x1² + x2² = (x1 + x2)² − 2x1x2 = 9a² − 2a² = 7a² = 1,75, откуда a² = 0,25, a = 0,5 или a = −0,5. Дискриминант D = 9a² − 4a² = 5a² > 0, корни существуют.
При a = 0,5: x² − 1,5x + 0,25 = 0, x = (1,5 ± √1,25)/2 = (3 ± √5)/4.
При a = −0,5: x² + 1,5x + 0,25 = 0, x = (−1,5 ± √1,25)/2 = (−3 ± √5)/4.
Ответ: (3 − √5)/4 и (3 + √5)/4 (при a = 0,5) или (−3 − √5)/4 и (−3 + √5)/4 (при a = −0,5).
848. Найдите все значения a, при которых один из корней уравнения x² − 3,75x + a³ = 0 является квадратом другого.
Пусть корни x1 и x2 = x1². По теореме Виета: x1 + x1² = 3,75 и x1 · x1² = a³, то есть x1³ = a³, откуда x1 = a (кубы равны — числа равны).
Из первого равенства: a² + a − 3,75 = 0, D = 1 + 15 = 16, a = (−1 ± 4)/2, то есть a = 1,5 или a = −2,5.
Проверка. a = 1,5: уравнение x² − 3,75x + 3,375 = 0 имеет корни 1,5 и 2,25 = 1,5². a = −2,5: x² − 3,75x − 15,625 = 0 имеет корни −2,5 и 6,25 = (−2,5)². Оба значения подходят.
Ответ: a = 1,5 или a = −2,5.
Из первого равенства: a² + a − 3,75 = 0, D = 1 + 15 = 16, a = (−1 ± 4)/2, то есть a = 1,5 или a = −2,5.
Проверка. a = 1,5: уравнение x² − 3,75x + 3,375 = 0 имеет корни 1,5 и 2,25 = 1,5². a = −2,5: x² − 3,75x − 15,625 = 0 имеет корни −2,5 и 6,25 = (−2,5)². Оба значения подходят.
Ответ: a = 1,5 или a = −2,5.
849. При каком значении m корни уравнения x² − 2mx + m² − 1 = 0 принадлежат интервалу (−2; 4)?
Запишем уравнение как (x − m)² = 1; его корни x = m − 1 и x = m + 1.
Оба корня лежат в интервале (−2; 4), если m − 1 > −2 и m + 1 < 4, то есть m > −1 и m < 3.
Ответ: при −1 < m < 3, то есть m ∈ (−1; 3).
Оба корня лежат в интервале (−2; 4), если m − 1 > −2 и m + 1 < 4, то есть m > −1 и m < 3.
Ответ: при −1 < m < 3, то есть m ∈ (−1; 3).
850. При каких значениях a биквадратное уравнение x^4 + ax² + a − 1 = 0 имеет только два различных корня?
Положим t = x² ≥ 0: t² + at + a − 1 = 0. Разложим: t² − 1 + a(t + 1) = (t + 1)(t − 1) + a(t + 1) = (t + 1)(t + a − 1), поэтому t = −1 или t = 1 − a.
t = −1 не даёт корней (x² ≠ −1). Значение t = 1 − a даёт два различных корня x = ±√(1 − a) при 1 − a > 0; при a = 1 получаем единственный корень x = 0, при a > 1 корней нет.
Ответ: при a < 1.
t = −1 не даёт корней (x² ≠ −1). Значение t = 1 − a даёт два различных корня x = ±√(1 − a) при 1 − a > 0; при a = 1 получаем единственный корень x = 0, при a > 1 корней нет.
Ответ: при a < 1.
851. Решите систему уравнений {(x + y)(8 − x) = 10, (x + y)(y + 5) = 20.
Обозначим u = x + y. Из уравнений u ≠ 0 и 8 − x = 10/u, y + 5 = 20/u, откуда x = 8 − 10/u, y = 20/u − 5.
Тогда u = x + y = 3 + 10/u, то есть u² − 3u − 10 = 0, u = 5 или u = −2.
u = 5: x = 8 − 2 = 6, y = 4 − 5 = −1.
u = −2: x = 8 + 5 = 13, y = −10 − 5 = −15.
Проверка (13; −15): (−2)(−5) = 10; (−2)(−10) = 20. Верно. (6; −1): 5 · 2 = 10; 5 · 4 = 20. Верно.
Ответ: (6; −1), (13; −15).
Тогда u = x + y = 3 + 10/u, то есть u² − 3u − 10 = 0, u = 5 или u = −2.
u = 5: x = 8 − 2 = 6, y = 4 − 5 = −1.
u = −2: x = 8 + 5 = 13, y = −10 − 5 = −15.
Проверка (13; −15): (−2)(−5) = 10; (−2)(−10) = 20. Верно. (6; −1): 5 · 2 = 10; 5 · 4 = 20. Верно.
Ответ: (6; −1), (13; −15).
852. Решите систему уравнений: а) {(x² + y²)(x − y) = 447, xy(x − y) = 210; б) {xy(x + y) = 30, x³ + y³ = 35.
а) Так как xy(x − y) = 210 ≠ 0, то x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ y. Разделим первое уравнение на второе: (x² + y²)/(xy) = 447/210 = 149/70. Пусть r = x/y: r + 1/r = 149/70, 70r² − 149r + 70 = 0, D = 22201 − 19600 = 2601 = 51², r = (149 ± 51)/140, то есть r = 10/7 или r = 7/10.
r = 10/7: x = 10y/7, xy(x − y) = (10/7)y² · (3/7)y = (30/49)y³ = 210, y³ = 343, y = 7, x = 10.
r = 7/10: x = 0,7y, xy(x − y) = 0,7y² · (−0,3y) = −0,21y³ = 210, y³ = −1000, y = −10, x = −7.
Проверка (10; 7): (100 + 49) · 3 = 447; 70 · 3 = 210. Верно. (−7; −10): 149 · 3 = 447; 70 · 3 = 210. Верно.
б) Пусть s = x + y, p = xy. Тогда ps = 30 и x³ + y³ = s³ − 3ps = s³ − 90 = 35, откуда s³ = 125, s = 5, p = 6. Числа x и y — корни уравнения t² − 5t + 6 = 0, то есть 2 и 3.
Ответ: а) (10; 7), (−7; −10); б) (2; 3), (3; 2).
r = 10/7: x = 10y/7, xy(x − y) = (10/7)y² · (3/7)y = (30/49)y³ = 210, y³ = 343, y = 7, x = 10.
r = 7/10: x = 0,7y, xy(x − y) = 0,7y² · (−0,3y) = −0,21y³ = 210, y³ = −1000, y = −10, x = −7.
Проверка (10; 7): (100 + 49) · 3 = 447; 70 · 3 = 210. Верно. (−7; −10): 149 · 3 = 447; 70 · 3 = 210. Верно.
б) Пусть s = x + y, p = xy. Тогда ps = 30 и x³ + y³ = s³ − 3ps = s³ − 90 = 35, откуда s³ = 125, s = 5, p = 6. Числа x и y — корни уравнения t² − 5t + 6 = 0, то есть 2 и 3.
Ответ: а) (10; 7), (−7; −10); б) (2; 3), (3; 2).
853. Решите систему уравнений {x³ − y³ = 19(x − y), x³ + y³ = 7(x + y).
Разложим обе части: (x − y)(x² + xy + y² − 19) = 0 и (x + y)(x² − xy + y² − 7) = 0.
Рассмотрим сочетания множителей.
1) x = y и x = −y: x = y = 0, решение (0; 0).
2) x = y и x² − xy + y² = 7: x² = 7, решения (√7; √7), (−√7; −√7).
3) x² + xy + y² = 19 и x = −y: x² = 19, решения (√19; −√19), (−√19; √19).
4) x² + xy + y² = 19 и x² − xy + y² = 7. Вычитая, получаем 2xy = 12, xy = 6; тогда x² + y² = 13, (x + y)² = 25, (x − y)² = 1. Отсюда x + y = ±5, x − y = ±1, решения (3; 2), (2; 3), (−2; −3), (−3; −2).
Ответ: (0; 0), (2; 3), (3; 2), (−2; −3), (−3; −2), (√7; √7), (−√7; −√7), (√19; −√19), (−√19; √19).
Рассмотрим сочетания множителей.
1) x = y и x = −y: x = y = 0, решение (0; 0).
2) x = y и x² − xy + y² = 7: x² = 7, решения (√7; √7), (−√7; −√7).
3) x² + xy + y² = 19 и x = −y: x² = 19, решения (√19; −√19), (−√19; √19).
4) x² + xy + y² = 19 и x² − xy + y² = 7. Вычитая, получаем 2xy = 12, xy = 6; тогда x² + y² = 13, (x + y)² = 25, (x − y)² = 1. Отсюда x + y = ±5, x − y = ±1, решения (3; 2), (2; 3), (−2; −3), (−3; −2).
Ответ: (0; 0), (2; 3), (3; 2), (−2; −3), (−3; −2), (√7; √7), (−√7; −√7), (√19; −√19), (−√19; √19).
854. Найдите все решения системы {x³ + x³y³ + y³ = 12, x + xy + y = 0.
Пусть s = x + y, p = xy. Второе уравнение: s + p = 0, p = −s.
Первое: x³ + y³ + p³ = (s³ − 3ps) + p³ = s³ + 3s² − s³ = 3s² = 12, откуда s² = 4, s = ±2.
s = 2, p = −2: x и y — корни t² − 2t − 2 = 0, t = 1 ± √3.
s = −2, p = 2: t² + 2t + 2 = 0, D = 4 − 8 < 0, действительных корней нет.
Ответ: (1 + √3; 1 − √3), (1 − √3; 1 + √3).
Первое: x³ + y³ + p³ = (s³ − 3ps) + p³ = s³ + 3s² − s³ = 3s² = 12, откуда s² = 4, s = ±2.
s = 2, p = −2: x и y — корни t² − 2t − 2 = 0, t = 1 ± √3.
s = −2, p = 2: t² + 2t + 2 = 0, D = 4 − 8 < 0, действительных корней нет.
Ответ: (1 + √3; 1 − √3), (1 − √3; 1 + √3).
855. Решите уравнение (x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 4.
Сделаем замену y = x + 4 (середина между x + 3 и x + 5). Тогда (y − 1)^4 + (y + 1)^4 = 4.
Раскрывая скобки, нечётные степени взаимно уничтожаются: 2y^4 + 12y² + 2 = 4, то есть y^4 + 6y² − 1 = 0.
Пусть z = y² ≥ 0: z² + 6z − 1 = 0, z = −3 ± √10. Подходит z = √10 − 3 > 0 (второй корень отрицателен).
Тогда y = ±√(√10 − 3), x = y − 4.
Ответ: x = −4 + √(√10 − 3) и x = −4 − √(√10 − 3).
Раскрывая скобки, нечётные степени взаимно уничтожаются: 2y^4 + 12y² + 2 = 4, то есть y^4 + 6y² − 1 = 0.
Пусть z = y² ≥ 0: z² + 6z − 1 = 0, z = −3 ± √10. Подходит z = √10 − 3 > 0 (второй корень отрицателен).
Тогда y = ±√(√10 − 3), x = y − 4.
Ответ: x = −4 + √(√10 − 3) и x = −4 − √(√10 − 3).
856. Решите уравнение (x² + x)^4 − 1 = 0.
(x² + x)^4 = 1, значит, x² + x = 1 или x² + x = −1.
x² + x − 1 = 0: D = 5, x = (−1 ± √5)/2.
x² + x + 1 = 0: D = −3 < 0, корней нет.
Ответ: (−1 − √5)/2; (−1 + √5)/2.
x² + x − 1 = 0: D = 5, x = (−1 ± √5)/2.
x² + x + 1 = 0: D = −3 < 0, корней нет.
Ответ: (−1 − √5)/2; (−1 + √5)/2.
857. Решите систему уравнений {∛x + ∛y = 3, xy = 8.
Пусть u = ∛x, v = ∛y. Тогда u + v = 3 и u³v³ = 8, то есть uv = 2.
u и v — корни уравнения t² − 3t + 2 = 0, то есть 1 и 2.
u = 1, v = 2: x = 1, y = 8. u = 2, v = 1: x = 8, y = 1.
Ответ: (1; 8), (8; 1).
u и v — корни уравнения t² − 3t + 2 = 0, то есть 1 и 2.
u = 1, v = 2: x = 1, y = 8. u = 2, v = 1: x = 8, y = 1.
Ответ: (1; 8), (8; 1).
858. Решите систему уравнений {∛(x/y) + ∛(y/x) = 4,25, x + y = 130.
Пусть t = ∛(x/y); тогда ∛(y/x) = 1/t и t + 1/t = 17/4, 4t² − 17t + 4 = 0, D = 289 − 64 = 225, t = (17 ± 15)/8, то есть t = 4 или t = 1/4.
t = 4: x/y = 64, x = 64y, 65y = 130, y = 2, x = 128.
t = 1/4: x/y = 1/64, y = 64x, 65x = 130, x = 2, y = 128.
Ответ: (128; 2), (2; 128).
t = 4: x/y = 64, x = 64y, 65y = 130, y = 2, x = 128.
t = 1/4: x/y = 1/64, y = 64x, 65x = 130, x = 2, y = 128.
Ответ: (128; 2), (2; 128).