Задачи повышенной трудности — с. 214
892. Изобразите множество решений неравенства: а) y ≤ 10/|x|; б) y + |8/x| ≥ 0; в) |y| − x² + 2x ≤ 1; г) |y| + x² − 4x ≥ 4.
а) Неравенство имеет смысл при x ≠ 0. Граница — кривая y = 10/|x|: две ветви гиперболы y = 10/x (x > 0) и y = −10/x (x < 0), лежащие в верхней полуплоскости, например (2; 5), (5; 2), (−2; 5), (−5; 2). Решения y ≤ 10/|x|: все точки не выше этих ветвей; в частности, вся нижняя полуплоскость без точек оси y. Ось y исключена.
б) y ≥ −8/|x|, x ≠ 0. Граница — ветви y = −8/|x| (в нижней полуплоскости), например (2; −4), (4; −2), (−2; −4), (−4; −2). Решения — точки на этих ветвях и выше них (в частности, вся верхняя полуплоскость), ось y исключена.
в) |y| ≤ x² − 2x + 1 = (x − 1)². Решения: −(x − 1)² ≤ y ≤ (x − 1)² — область между параболами y = (x − 1)² и y = −(x − 1)² с общей вершиной (1; 0); эта область расположена слева и справа от вершины (в виде «бабочки»), границы входят.
г) |y| ≥ 4 + 4x − x² = 8 − (x − 2)², то есть y ≥ 8 − (x − 2)² или y ≤ −8 + (x − 2)². Не являются решениями точки, для которых |y| < 8 − (x − 2)²: внутренность фигуры между параболами y = 8 − (x − 2)² (вершина (2; 8)) и y = (x − 2)² − 8 (вершина (2; −8)), которые пересекаются в точках (2 − 2√2; 0) и (2 + 2√2; 0). Решения — вся остальная плоскость вместе с границами.
б) y ≥ −8/|x|, x ≠ 0. Граница — ветви y = −8/|x| (в нижней полуплоскости), например (2; −4), (4; −2), (−2; −4), (−4; −2). Решения — точки на этих ветвях и выше них (в частности, вся верхняя полуплоскость), ось y исключена.
в) |y| ≤ x² − 2x + 1 = (x − 1)². Решения: −(x − 1)² ≤ y ≤ (x − 1)² — область между параболами y = (x − 1)² и y = −(x − 1)² с общей вершиной (1; 0); эта область расположена слева и справа от вершины (в виде «бабочки»), границы входят.
г) |y| ≥ 4 + 4x − x² = 8 − (x − 2)², то есть y ≥ 8 − (x − 2)² или y ≤ −8 + (x − 2)². Не являются решениями точки, для которых |y| < 8 − (x − 2)²: внутренность фигуры между параболами y = 8 − (x − 2)² (вершина (2; 8)) и y = (x − 2)² − 8 (вершина (2; −8)), которые пересекаются в точках (2 − 2√2; 0) и (2 + 2√2; 0). Решения — вся остальная плоскость вместе с границами.
893. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) x² + y² − 6|x| + 2y ≤ −1; б) x² + y² − 6x + 2|y| ≤ −1.
а) При x ≥ 0: x² − 6x + y² + 2y ≤ −1 ⇔ (x − 3)² + (y + 1)² ≤ 9 — круг радиуса 3 с центром (3; −1), он целиком расположен в области x ≥ 0 (x от 0 до 6). При x < 0: (x + 3)² + (y + 1)² ≤ 9 — круг радиуса 3 с центром (−3; −1). Ответ: два круга радиуса 3 с центрами (3; −1) и (−3; −1), касающиеся в точке (0; −1).
б) При y ≥ 0: (x − 3)² + (y + 1)² ≤ 9 — часть круга с центром (3; −1), лежащая не ниже оси x: сегмент высотой 2 над осью x (вершина (3; 2)). При y < 0: (x − 3)² + (y − 1)² ≤ 9 — часть круга с центром (3; 1) под осью x: сегмент высотой 2 (вершина (3; −2)). Оба сегмента опираются на отрезок оси x от 3 − 2√2 до 3 + 2√2 (из (x − 3)² + 1 = 9). Ответ: объединение этих двух сегментов.
б) При y ≥ 0: (x − 3)² + (y + 1)² ≤ 9 — часть круга с центром (3; −1), лежащая не ниже оси x: сегмент высотой 2 над осью x (вершина (3; 2)). При y < 0: (x − 3)² + (y − 1)² ≤ 9 — часть круга с центром (3; 1) под осью x: сегмент высотой 2 (вершина (3; −2)). Оба сегмента опираются на отрезок оси x от 3 − 2√2 до 3 + 2√2 (из (x − 3)² + 1 = 9). Ответ: объединение этих двух сегментов.
894. Закрасьте на координатной плоскости фигуру, которая задаётся системой неравенств {y − 4 ≤ x² − 4|x|, 4x − 3y ≤ −12. Охарактеризуйте её аналитически.
Первое неравенство: y ≤ x² − 4|x| + 4 = (|x| − 2)². Граница — W-образная кривая из двух парабол: y = (x − 2)² при x ≥ 0 и y = (x + 2)² при x ≤ 0 (минимумы в точках (±2; 0), в точке (0; 4) излом). Решения — точки на кривой и под ней.
Второе: 3y ≥ 4x + 12, y ≥ 4x/3 + 4 — точки на прямой через (−3; 0) и (0; 4) и выше неё.
Найдём пересечения границ. При x ≥ 0: (x − 2)² = 4x/3 + 4 ⇔ x² − 16x/3 = 0, x = 0 или x = 16/3 (y = 100/9). При x ≤ 0: (x + 2)² = 4x/3 + 4 ⇔ x² + 8x/3 = 0, x = 0 или x = −8/3 (y = 4/9).
На промежутке −8/3 < x < 16/3, кроме x = 0, кривая лежит ниже прямой (например, при x = 1: 1 < 5,33), поэтому там решений нет; при x = 0 обе границы проходят через точку (0; 4), она — решение. При x ≤ −8/3 и при x ≥ 16/3 кривая лежит выше прямой, и решения — полосы между прямой (снизу) и кривой (сверху).
Ответ: фигура состоит из двух неограниченных частей: {x ≤ −8/3, 4x/3 + 4 ≤ y ≤ (x + 2)²} и {x ≥ 16/3, 4x/3 + 4 ≤ y ≤ (x − 2)²} и одной изолированной точки (0; 4).
Второе: 3y ≥ 4x + 12, y ≥ 4x/3 + 4 — точки на прямой через (−3; 0) и (0; 4) и выше неё.
Найдём пересечения границ. При x ≥ 0: (x − 2)² = 4x/3 + 4 ⇔ x² − 16x/3 = 0, x = 0 или x = 16/3 (y = 100/9). При x ≤ 0: (x + 2)² = 4x/3 + 4 ⇔ x² + 8x/3 = 0, x = 0 или x = −8/3 (y = 4/9).
На промежутке −8/3 < x < 16/3, кроме x = 0, кривая лежит ниже прямой (например, при x = 1: 1 < 5,33), поэтому там решений нет; при x = 0 обе границы проходят через точку (0; 4), она — решение. При x ≤ −8/3 и при x ≥ 16/3 кривая лежит выше прямой, и решения — полосы между прямой (снизу) и кривой (сверху).
Ответ: фигура состоит из двух неограниченных частей: {x ≤ −8/3, 4x/3 + 4 ≤ y ≤ (x + 2)²} и {x ≥ 16/3, 4x/3 + 4 ≤ y ≤ (x − 2)²} и одной изолированной точки (0; 4).
895. Изобразите множество решений системы неравенств: а) {x² + y² ≤ 9, |x| + |y| ≤ 0; б) {x² + y² ≤ 9, |y| − |x| ≤ 0.
а) Неравенство |x| + |y| ≤ 0 выполняется, только когда |x| = 0 и |y| = 0, то есть в точке (0; 0). Эта точка удовлетворяет и первому неравенству (0 ≤ 9). Множество решений — одна точка (0; 0).
б) |y| ≤ |x| — это точки, для которых модуль ординаты не больше модуля абсциссы: два вертикальных угла между прямыми y = x и y = −x, содержащие ось x (правый и левый). Вместе с кругом x² + y² ≤ 9 получаем два круговых сектора радиуса 3 с центральным углом 90° каждый, расположенные справа и слева от начала координат; границы входят.
б) |y| ≤ |x| — это точки, для которых модуль ординаты не больше модуля абсциссы: два вертикальных угла между прямыми y = x и y = −x, содержащие ось x (правый и левый). Вместе с кругом x² + y² ≤ 9 получаем два круговых сектора радиуса 3 с центральным углом 90° каждый, расположенные справа и слева от начала координат; границы входят.
896. Окружность с центром в начале координат проходит через точку (30; 40). Она разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на внутреннюю и внешнюю области. Напишите неравенство, графиком которого является: а) внутренняя область; б) внешняя область.
Уравнение окружности с центром (0; 0): x² + y² = r². Так как точка (30; 40) лежит на окружности, r² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500, r = 50.
Точки внутренней области находятся от начала координат на расстоянии меньше 50, внешней — больше 50; сама окружность не входит ни в одну из областей.
а) x² + y² < 2500.
б) x² + y² > 2500.
Точки внутренней области находятся от начала координат на расстоянии меньше 50, внешней — больше 50; сама окружность не входит ни в одну из областей.
а) x² + y² < 2500.
б) x² + y² > 2500.
897. Найдите корни уравнения x³ − 2x² + 3x − 18 = 0.
Целые корни — делители свободного члена −18. Проверим x = 3: 27 − 18 + 9 − 18 = 0, значит, 3 — корень.
Разделим на x − 3: x³ − 2x² + 3x − 18 = (x − 3)(x² + x + 6). Проверка: (x − 3)(x² + x + 6) = x³ + x² + 6x − 3x² − 3x − 18 = x³ − 2x² + 3x − 18.
У x² + x + 6 = 0 дискриминант D = 1 − 24 < 0, корней нет.
Ответ: 3.
Разделим на x − 3: x³ − 2x² + 3x − 18 = (x − 3)(x² + x + 6). Проверка: (x − 3)(x² + x + 6) = x³ + x² + 6x − 3x² − 3x − 18 = x³ − 2x² + 3x − 18.
У x² + x + 6 = 0 дискриминант D = 1 − 24 < 0, корней нет.
Ответ: 3.
898. Докажите, что не имеет решений уравнение: а) 4x² + 4xy + y² + 1 = 0; б) x² − 6xy + 9y² + 2 = 0; в) x² + y² + 4x + 5 = 0; г) x² + y² − 2x − 4y + 6 = 0.
а) 4x² + 4xy + y² + 1 = (2x + y)² + 1 ≥ 1 > 0 при любых x, y.
б) x² − 6xy + 9y² + 2 = (x − 3y)² + 2 ≥ 2 > 0.
в) x² + y² + 4x + 5 = (x² + 4x + 4) + y² + 1 = (x + 2)² + y² + 1 ≥ 1 > 0.
г) x² + y² − 2x − 4y + 6 = (x − 1)² + (y − 2)² + 1 ≥ 1 > 0.
Во всех случаях левая часть положительна и не может равняться нулю, поэтому уравнения не имеют решений. Что и требовалось доказать.
б) x² − 6xy + 9y² + 2 = (x − 3y)² + 2 ≥ 2 > 0.
в) x² + y² + 4x + 5 = (x² + 4x + 4) + y² + 1 = (x + 2)² + y² + 1 ≥ 1 > 0.
г) x² + y² − 2x − 4y + 6 = (x − 1)² + (y − 2)² + 1 ≥ 1 > 0.
Во всех случаях левая часть положительна и не может равняться нулю, поэтому уравнения не имеют решений. Что и требовалось доказать.
899. Найдите значения параметра a, при которых система уравнений x² + y² = 9 и y − x = a имеет одно решение; имеет два решения; не имеет решений. При каком наименьшем по модулю значении параметра a система уравнений имеет одно решение?
Первое уравнение задаёт окружность радиуса 3 с центром в начале координат, второе — прямую x − y + a = 0 (y = x + a). Число решений системы — число общих точек прямой и окружности. Расстояние от центра до прямой: d = |a|/√2.
Одно решение (касание): d = 3, |a| = 3√2, a = 3√2 или a = −3√2.
Два решения: d < 3, |a| < 3√2, то есть −3√2 < a < 3√2.
Нет решений: d > 3, |a| > 3√2, то есть a < −3√2 или a > 3√2.
Проверка алгебраически: подставим y = x + a: 2x² + 2ax + a² − 9 = 0, D/4 = a² − 2(a² − 9) = 18 − a²; D = 0 при a² = 18, D > 0 при a² < 18, D < 0 при a² > 18.
Одно решение возможно только при a = ±3√2, поэтому наименьшее по модулю значение |a| = 3√2.
Ответ: одно решение при a = ±3√2; два решения при |a| < 3√2; нет решений при |a| > 3√2; наименьшее по модулю значение параметра равно 3√2 по модулю (a = 3√2 или a = −3√2).
Одно решение (касание): d = 3, |a| = 3√2, a = 3√2 или a = −3√2.
Два решения: d < 3, |a| < 3√2, то есть −3√2 < a < 3√2.
Нет решений: d > 3, |a| > 3√2, то есть a < −3√2 или a > 3√2.
Проверка алгебраически: подставим y = x + a: 2x² + 2ax + a² − 9 = 0, D/4 = a² − 2(a² − 9) = 18 − a²; D = 0 при a² = 18, D > 0 при a² < 18, D < 0 при a² > 18.
Одно решение возможно только при a = ±3√2, поэтому наименьшее по модулю значение |a| = 3√2.
Ответ: одно решение при a = ±3√2; два решения при |a| < 3√2; нет решений при |a| > 3√2; наименьшее по модулю значение параметра равно 3√2 по модулю (a = 3√2 или a = −3√2).
900. Найдите все целые решения уравнения: а) x² − y² = 3; б) x² − y² = 4; в) x² − 3/y² = 1; г) 4/x² + y² = 6.
а) (x − y)(x + y) = 3. Множители — целые числа с произведением 3 и одинаковой чётности (их сумма 2x чётна): (1; 3), (3; 1), (−1; −3), (−3; −1). Отсюда x = 2, y = 1; x = 2, y = −1; x = −2, y = −1; x = −2, y = 1. Ответ: (±2; ±1), все четыре сочетания знаков.
б) (x − y)(x + y) = 4; множители одной чётности, а значит, оба чётны: (2; 2) и (−2; −2) (пары 1 · 4, 4 · 1 имеют разную чётность). Получаем x = 2, y = 0 и x = −2, y = 0. Ответ: (2; 0), (−2; 0).
в) y ≠ 0. Из x² − 1 = 3/y² следует, что 3/y² — целое число, значит, y² делит 3, то есть y² = 1, y = ±1. Тогда x² = 1 + 3 = 4, x = ±2. Ответ: (±2; ±1), четыре решения.
г) x ≠ 0. Из y² = 6 − 4/x² следует, что 4/x² — целое, поэтому x² делит 4, x² = 1 или x² = 4. При x² = 1: y² = 2; при x² = 4: y² = 5 — ни то, ни другое не является квадратом целого числа. Ответ: целых решений нет.
б) (x − y)(x + y) = 4; множители одной чётности, а значит, оба чётны: (2; 2) и (−2; −2) (пары 1 · 4, 4 · 1 имеют разную чётность). Получаем x = 2, y = 0 и x = −2, y = 0. Ответ: (2; 0), (−2; 0).
в) y ≠ 0. Из x² − 1 = 3/y² следует, что 3/y² — целое число, значит, y² делит 3, то есть y² = 1, y = ±1. Тогда x² = 1 + 3 = 4, x = ±2. Ответ: (±2; ±1), четыре решения.
г) x ≠ 0. Из y² = 6 − 4/x² следует, что 4/x² — целое, поэтому x² делит 4, x² = 1 или x² = 4. При x² = 1: y² = 2; при x² = 4: y² = 5 — ни то, ни другое не является квадратом целого числа. Ответ: целых решений нет.