Глава I. §2. п.4 Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире — с. 19
57. Одна секунда — мгновение для человека и целая эпоха с точки зрения атомов и электронов. Невооружённый человеческий взгляд может заметить явления, длящиеся буквально единицы миллисекунд (1 миллисекунда равна 10⁻³ с). Одна наносекунда ещё меньше и составляет 10⁻⁹ с. Посчитайте дистанцию, которую пройдёт частица со скоростью света за одну наносекунду, и результат запишите в миллиметрах.
Скорость света c ≈ 3 · 10⁸ м/с. За t = 10⁻⁹ с частица пройдёт s = c · t = 3 · 10⁸ · 10⁻⁹ = 3 · 10⁻¹ = 0,3 м. Так как 1 м = 1000 мм, получаем 0,3 · 1000 = 300 мм.
Ответ: 300 мм.
Ответ: 300 мм.
58. Современные фотоаппараты делают огромное количество кадров за короткий промежуток времени. Рекорд составляет 6 миллионов кадров за секунду. Можно увидеть события, которые человеческий глаз никогда не сможет уловить. За какое время происходит один кадр в таком фотоаппарате?
Результат запишите в наносекундах.
6 миллионов кадров = 6 · 10⁶ кадров за 1 с. Один кадр длится 1 : (6 · 10⁶) = (1/6) · 10⁻⁶ с. Так как 1 нс = 10⁻⁹ с, то 10⁻⁶ с = 10³ нс = 1000 нс. Поэтому время одного кадра равно 1000/6 нс = 166 2/3 нс ≈ 167 нс.
Ответ: ≈ 167 нс.
Ответ: ≈ 167 нс.
59. Упростите выражение: а) (2ab/(a² − b²) + (a − b)/(2a + 2b)) · 2a/(a + b) + b/(b − a); б) y/(x − y) − (x³ − xy²)/(x² + y²) · (x/(x − y)² − y/(x² − y²)).
а) Разложим на множители: a² − b² = (a − b)(a + b), 2a + 2b = 2(a + b). Общий знаменатель в скобках 2(a − b)(a + b):
2ab/((a − b)(a + b)) + (a − b)/(2(a + b)) = (4ab + (a − b)²)/(2(a − b)(a + b)) = (a + b)²/(2(a − b)(a + b)) = (a + b)/(2(a − b)).
Умножаем: (a + b)/(2(a − b)) · 2a/(a + b) = a/(a − b).
Прибавляем b/(b − a) = −b/(a − b): a/(a − b) − b/(a − b) = (a − b)/(a − b) = 1.
б) Скобка: x/(x − y)² − y/((x − y)(x + y)) = (x(x + y) − y(x − y))/((x − y)²(x + y)) = (x² + xy − xy + y²)/((x − y)²(x + y)) = (x² + y²)/((x − y)²(x + y)).
Множитель: x³ − xy² = x(x − y)(x + y). Тогда x(x − y)(x + y)/(x² + y²) · (x² + y²)/((x − y)²(x + y)) = x/(x − y).
Итого: y/(x − y) − x/(x − y) = (y − x)/(x − y) = −1.
Ответ: а) 1; б) −1.
2ab/((a − b)(a + b)) + (a − b)/(2(a + b)) = (4ab + (a − b)²)/(2(a − b)(a + b)) = (a + b)²/(2(a − b)(a + b)) = (a + b)/(2(a − b)).
Умножаем: (a + b)/(2(a − b)) · 2a/(a + b) = a/(a − b).
Прибавляем b/(b − a) = −b/(a − b): a/(a − b) − b/(a − b) = (a − b)/(a − b) = 1.
б) Скобка: x/(x − y)² − y/((x − y)(x + y)) = (x(x + y) − y(x − y))/((x − y)²(x + y)) = (x² + xy − xy + y²)/((x − y)²(x + y)) = (x² + y²)/((x − y)²(x + y)).
Множитель: x³ − xy² = x(x − y)(x + y). Тогда x(x − y)(x + y)/(x² + y²) · (x² + y²)/((x − y)²(x + y)) = x/(x − y).
Итого: y/(x − y) − x/(x − y) = (y − x)/(x − y) = −1.
Ответ: а) 1; б) −1.
60. Решите систему уравнений: а) x − y = 1, xy = 240; б) x² + y² = 65, 2x − y = 15.
а) Из первого уравнения x = y + 1. Подставим: (y + 1)y = 240, y² + y − 240 = 0. D = 1 + 960 = 961 = 31², y = (−1 ± 31)/2: y₁ = 15, y₂ = −16. Тогда x₁ = 16, x₂ = −15.
б) Из второго уравнения y = 2x − 15. Подставим: x² + (2x − 15)² = 65, x² + 4x² − 60x + 225 = 65, 5x² − 60x + 160 = 0, x² − 12x + 32 = 0. По теореме Виета x₁ = 4, x₂ = 8. Тогда y₁ = 8 − 15 = −7, y₂ = 16 − 15 = 1.
Ответ: а) (16; 15), (−15; −16); б) (4; −7), (8; 1).
б) Из второго уравнения y = 2x − 15. Подставим: x² + (2x − 15)² = 65, x² + 4x² − 60x + 225 = 65, 5x² − 60x + 160 = 0, x² − 12x + 32 = 0. По теореме Виета x₁ = 4, x₂ = 8. Тогда y₁ = 8 − 15 = −7, y₂ = 16 − 15 = 1.
Ответ: а) (16; 15), (−15; −16); б) (4; −7), (8; 1).
61. Сколько решений имеет уравнение: а) 25/x = 2x − 5; б) x³ = |x|?
а) Область определения x ≠ 0. Умножим на x: 25 = 2x² − 5x, 2x² − 5x − 25 = 0. D = 25 + 200 = 225, x = (5 ± 15)/4: x₁ = 5, x₂ = −2,5. Оба корня отличны от нуля, поэтому решений два.
б) Если x ≥ 0, то |x| = x, x³ = x, x(x² − 1) = 0: x = 0 или x = 1 (оба неотрицательны). Если x < 0, то |x| = −x, x³ = −x, x(x² + 1) = 0, откуда x = 0 — не подходит (x < 0), других корней нет. Итого два решения: 0 и 1.
Ответ: а) два; б) два.
б) Если x ≥ 0, то |x| = x, x³ = x, x(x² − 1) = 0: x = 0 или x = 1 (оба неотрицательны). Если x < 0, то |x| = −x, x³ = −x, x(x² + 1) = 0, откуда x = 0 — не подходит (x < 0), других корней нет. Итого два решения: 0 и 1.
Ответ: а) два; б) два.