Глава I. §1. п.3 Погрешность и точность приближения — с. 17
48. Выполняя лабораторную работу по определению плотности железа, ученик получил результат 7,6 г/см³. Вычислите относительную погрешность экспериментального результата (табличное значение плотности железа равно 7,8 г/см³).
Точное (табличное) значение 7,8, приближённое 7,6. Абсолютная погрешность: |7,8 − 7,6| = 0,2 г/см³.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения: 0,2/7,6 = 1/38 ≈ 0,0263, то есть около 2,6 %.
Ответ: 0,2/7,6 = 1/38 ≈ 2,6 %.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения: 0,2/7,6 = 1/38 ≈ 0,0263, то есть около 2,6 %.
Ответ: 0,2/7,6 = 1/38 ≈ 2,6 %.
49. Поверхность Земли равна 510,2 млн км² (с точностью до 0,1 млн км²). Оцените относительную погрешность приближённого значения.
Абсолютная погрешность не превосходит h = 0,1 млн км². Относительная погрешность не превосходит h/|a| = 0,1/510,2 ≈ 0,000196 ≈ 0,0002, то есть около 0,02 %.
Ответ: не более 0,02 %.
Ответ: не более 0,02 %.
50. Измерили толщину человеческого волоса d и расстояние от Земли до Луны l. Получили d ≈ 0,15 мм с точностью до 0,01 мм и l ≈ 384 000 км с точностью до 500 км. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности.
Для толщины волоса: 0,01/0,15 = 1/15 ≈ 0,067, то есть не более 6,7 %.
Для расстояния до Луны: 500/384 000 = 1/768 ≈ 0,0013, то есть не более 0,13 %.
Относительная погрешность второго измерения намного меньше (0,13 % < 6,7 %), значит, расстояние до Луны измерено качественнее, чем толщина волоса, хотя абсолютная погрешность там больше.
Ответ: δ(d) ≈ 6,7 %, δ(l) ≈ 0,13 %; качество измерения расстояния до Луны выше.
Для расстояния до Луны: 500/384 000 = 1/768 ≈ 0,0013, то есть не более 0,13 %.
Относительная погрешность второго измерения намного меньше (0,13 % < 6,7 %), значит, расстояние до Луны измерено качественнее, чем толщина волоса, хотя абсолютная погрешность там больше.
Ответ: δ(d) ≈ 6,7 %, δ(l) ≈ 0,13 %; качество измерения расстояния до Луны выше.
51. Сравнивая с нулём значения выражений, ученик получил следующие результаты: 1. 3√2 − √7 > 0; 2. 4√7 − 9√2 < 0; 3. 6√3 − 3√6 > 0; 4. 7√11 − 6√12 < 0. При этом он допустил ошибку. Найдите её и исправьте.
Внесём множители под знак корня и сравним подкоренные выражения.
1. 3√2 = √18, а √7 = √7; √18 > √7, поэтому 3√2 − √7 > 0. Верно.
2. 4√7 = √112, 9√2 = √162; √112 < √162, поэтому 4√7 − 9√2 < 0. Верно.
3. 6√3 = √108, 3√6 = √54; √108 > √54, поэтому 6√3 − 3√6 > 0. Верно.
4. 7√11 = √(49 · 11) = √539, 6√12 = √(36 · 12) = √432; √539 > √432, поэтому 7√11 − 6√12 > 0, а не < 0.
Ответ: ошибка в четвёртом результате; верно 7√11 − 6√12 > 0.
1. 3√2 = √18, а √7 = √7; √18 > √7, поэтому 3√2 − √7 > 0. Верно.
2. 4√7 = √112, 9√2 = √162; √112 < √162, поэтому 4√7 − 9√2 < 0. Верно.
3. 6√3 = √108, 3√6 = √54; √108 > √54, поэтому 6√3 − 3√6 > 0. Верно.
4. 7√11 = √(49 · 11) = √539, 6√12 = √(36 · 12) = √432; √539 > √432, поэтому 7√11 − 6√12 > 0, а не < 0.
Ответ: ошибка в четвёртом результате; верно 7√11 − 6√12 > 0.
52. Докажите неравенство: а) 6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a; б) (2p − 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p.
а) Найдём разность правой и левой частей: (3a + 1)(2a + 1) + a − 6a(a + 1) = 6a² + 3a + 2a + 1 + a − 6a² − 6a = 1 > 0. Значит, правая часть больше левой при любом a, неравенство верно.
б) Найдём разность левой и правой частей: (2p − 1)(2p + 1) + 3(p + 1) − (4p + 3)p = 4p² − 1 + 3p + 3 − 4p² − 3p = 2 > 0. Значит, левая часть больше правой при любом p, неравенство верно.
б) Найдём разность левой и правой частей: (2p − 1)(2p + 1) + 3(p + 1) − (4p + 3)p = 4p² − 1 + 3p + 3 − 4p² − 3p = 2 > 0. Значит, левая часть больше правой при любом p, неравенство верно.
53. а) Разность корней уравнения x² − 8x + q = 0 равна 16. Найдите q. б) Сумма квадратов корней уравнения x² − 7x + q = 0 равна 29. Найдите q.
а) По теореме Виета x₁ + x₂ = 8, x₁x₂ = q. По условию x₁ − x₂ = 16. Сложим: 2x₁ = 24, x₁ = 12, тогда x₂ = 8 − 12 = −4. q = 12 · (−4) = −48. Проверка: x² − 8x − 48 = 0, D = 64 + 192 = 256 > 0, корни 12 и −4, их разность 16.
б) x₁ + x₂ = 7, x₁x₂ = q. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 49 − 2q = 29, откуда 2q = 20, q = 10. Проверка: x² − 7x + 10 = 0, корни 2 и 5, 4 + 25 = 29.
Ответ: а) q = −48; б) q = 10.
б) x₁ + x₂ = 7, x₁x₂ = q. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 49 − 2q = 29, откуда 2q = 20, q = 10. Проверка: x² − 7x + 10 = 0, корни 2 и 5, 4 + 25 = 29.
Ответ: а) q = −48; б) q = 10.
Вопрос 1. Назовите основные числовые множества. Запишите последовательность соотношений между этими множествами в виде цепочки включений и проиллюстрируйте её рисунком.
Основные числовые множества: N — натуральные числа (1, 2, 3, …); Z — целые числа (натуральные, им противоположные и нуль); Q — рациональные числа (числа вида m/n, где m — целое, n — натуральное); R — действительные числа (рациональные и иррациональные).
Каждое натуральное число целое, каждое целое рационально, каждое рациональное число действительное, поэтому N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. На рисунке множества изображены вложенными кругами: самый маленький круг — N, затем Z, Q и самый большой — R.
Каждое натуральное число целое, каждое целое рационально, каждое рациональное число действительное, поэтому N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. На рисунке множества изображены вложенными кругами: самый маленький круг — N, затем Z, Q и самый большой — R.
Вопрос 2. Сформулируйте и запишите в буквенном виде законы сложения и законы умножения чисел.
Законы сложения: переместительный a + b = b + a; сочетательный (a + b) + c = a + (b + c). Сумма не зависит от порядка слагаемых и способа их группировки.
Законы умножения: переместительный ab = ba; сочетательный (ab)c = a(bc); распределительный (относительно сложения) a(b + c) = ab + ac.
Законы умножения: переместительный ab = ba; сочетательный (ab)c = a(bc); распределительный (относительно сложения) a(b + c) = ab + ac.
Вопрос 3. Сформулируйте и запишите в виде буквенного равенства свойства нуля при сложении, свойства нуля и единицы при умножении.
Прибавление нуля не меняет числа: a + 0 = a.
Умножение на нуль даёт нуль: a · 0 = 0.
Умножение на единицу не меняет числа: a · 1 = a.
Умножение на нуль даёт нуль: a · 0 = 0.
Умножение на единицу не меняет числа: a · 1 = a.
Вопрос 4. Что называется абсолютной погрешностью приближённого значения?
Объясните смысл записи x = a ± h.
Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.
Запись x = a ± h означает, что x ≈ a с точностью до h, то есть абсолютная погрешность приближённого значения a не превосходит h, и точное значение x заключено между a − h и a + h: a − h ≤ x ≤ a + h.
Запись x = a ± h означает, что x ≈ a с точностью до h, то есть абсолютная погрешность приближённого значения a не превосходит h, и точное значение x заключено между a − h и a + h: a − h ≤ x ≤ a + h.
Вопрос 5. Что называется относительной погрешностью приближённого значения?
Относительной погрешностью приближённого значения называют отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения. Её принято выражать в процентах. Если известна только точность h, то оценивают относительную погрешность числом h/|a|.