Глава I. §1. п.2 Сравнение действительных чисел — с. 13
29. Сравните числа: а) 5,48(5) и 5,4(85); б) −3,5(61) и −3,56(1).
а) 5,48(5) = 5,485555…; 5,4(85) = 5,485858…. Совпадают до тысячных (5,485); в разряде десятитысячных 5 < 8. Значит 5,48(5) < 5,4(85).
б) −3,5(61) = −3,56161…; −3,56(1) = −3,56111…. Сравним модули: 3,56161… > 3,56111…, поэтому −3,5(61) < −3,56(1).
Ответ: а) <; б) <.
б) −3,5(61) = −3,56161…; −3,56(1) = −3,56111…. Сравним модули: 3,56161… > 3,56111…, поэтому −3,5(61) < −3,56(1).
Ответ: а) <; б) <.
30. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: √3; √5; √8; √10; √20; √50; √75.
Находим наибольший точный квадрат, не превосходящий подкоренного числа, и следующий за ним.
√3: 1 < 3 < 4, значит 1 < √3 < 2.
√5: 4 < 5 < 9, значит 2 < √5 < 3.
√8: 4 < 8 < 9, значит 2 < √8 < 3.
√10: 9 < 10 < 16, значит 3 < √10 < 4.
√20: 16 < 20 < 25, значит 4 < √20 < 5.
√50: 49 < 50 < 64, значит 7 < √50 < 8.
√75: 64 < 75 < 81, значит 8 < √75 < 9.
Ответ: 1 и 2; 2 и 3; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 5; 7 и 8; 8 и 9.
√3: 1 < 3 < 4, значит 1 < √3 < 2.
√5: 4 < 5 < 9, значит 2 < √5 < 3.
√8: 4 < 8 < 9, значит 2 < √8 < 3.
√10: 9 < 10 < 16, значит 3 < √10 < 4.
√20: 16 < 20 < 25, значит 4 < √20 < 5.
√50: 49 < 50 < 64, значит 7 < √50 < 8.
√75: 64 < 75 < 81, значит 8 < √75 < 9.
Ответ: 1 и 2; 2 и 3; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 5; 7 и 8; 8 и 9.
31. Сравните числа c и √c при условии, что: а) c > 1; б) 0 < c < 1. Существует ли значение c, при котором верно равенство √c = c?
а) Пусть c > 1. Тогда c = √c · √c, а √c > 1 (корень возрастает: √c > √1 = 1). Умножим неравенство √c > 1 на положительное √c: c > √c.
б) Пусть 0 < c < 1. Тогда 0 < √c < 1; умножим неравенство √c < 1 на √c: c < √c.
Равенство √c = c: возведём в квадрат, c = c², c(c − 1) = 0, c = 0 или c = 1. Проверка: √0 = 0, √1 = 1.
Ответ: а) c > √c; б) c < √c; существует: c = 0 и c = 1.
б) Пусть 0 < c < 1. Тогда 0 < √c < 1; умножим неравенство √c < 1 на √c: c < √c.
Равенство √c = c: возведём в квадрат, c = c², c(c − 1) = 0, c = 0 или c = 1. Проверка: √0 = 0, √1 = 1.
Ответ: а) c > √c; б) c < √c; существует: c = 0 и c = 1.
32. Сравните числа: а) 5√3 и 3√5; б) 0,1√4500 и √45; в) 0,3√10 и 0,1√80; г) −4√0,2 и −√0,7.
Внесём множители под знак корня.
а) 5√3 = √75; 3√5 = √45; 75 > 45, поэтому 5√3 > 3√5.
б) 0,1√4500 = √(0,01 · 4500) = √45; числа равны.
в) 0,3√10 = √(0,09 · 10) = √0,9; 0,1√80 = √(0,01 · 80) = √0,8; 0,9 > 0,8, поэтому 0,3√10 > 0,1√80.
г) 4√0,2 = √(16 · 0,2) = √3,2 > √0,7, поэтому −4√0,2 < −√0,7.
Ответ: а) >; б) =; в) >; г) <.
а) 5√3 = √75; 3√5 = √45; 75 > 45, поэтому 5√3 > 3√5.
б) 0,1√4500 = √(0,01 · 4500) = √45; числа равны.
в) 0,3√10 = √(0,09 · 10) = √0,9; 0,1√80 = √(0,01 · 80) = √0,8; 0,9 > 0,8, поэтому 0,3√10 > 0,1√80.
г) 4√0,2 = √(16 · 0,2) = √3,2 > √0,7, поэтому −4√0,2 < −√0,7.
Ответ: а) >; б) =; в) >; г) <.
33. Найдите значение выражения: а) 12 2/5 − 2 2/7 : 1 19/21; б) (12 2/5 − 2 2/7) : 1 19/21.
а) Сначала деление: 2 2/7 : 1 19/21 = 16/7 : 40/21 = 16/7 · 21/40 = (16 · 3)/40 = 6/5 = 1,2. Тогда 12 2/5 − 1,2 = 12,4 − 1,2 = 11,2.
б) Скобки: 12 2/5 − 2 2/7 = 12 14/35 − 2 10/35 = 10 4/35 = 354/35. Делим: 354/35 : 40/21 = 354/35 · 21/40 = (354 · 3)/(5 · 40) = 1062/200 = 5,31.
Ответ: а) 11,2; б) 5,31.
б) Скобки: 12 2/5 − 2 2/7 = 12 14/35 − 2 10/35 = 10 4/35 = 354/35. Делим: 354/35 : 40/21 = 354/35 · 21/40 = (354 · 3)/(5 · 40) = 1062/200 = 5,31.
Ответ: а) 11,2; б) 5,31.
34. Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел: а) 2,4 · 10⁻² и 0,0125 · 10³; б) (1,3 · 10⁻²)² и 5,2 · 10⁻⁵; в) 15,4 · 10⁶ и 0,044 · 10⁷; г) (3,5 · 10⁻³)² и (7 · 10⁻⁴)².
а) 2,4 · 10⁻² = 0,024; 0,0125 · 10³ = 12,5. Сумма 0,024 + 12,5 = 12,524; разность 0,024 − 12,5 = −12,476; произведение 0,024 · 12,5 = 0,3; частное 0,024 : 12,5 = 0,00192.
б) (1,3 · 10⁻²)² = 1,69 · 10⁻⁴; 5,2 · 10⁻⁵ = 0,52 · 10⁻⁴. Сумма 2,21 · 10⁻⁴; разность 1,17 · 10⁻⁴; произведение 1,69 · 5,2 · 10⁻⁹ = 8,788 · 10⁻⁹; частное 1,69 : 0,52 = 3,25.
в) 0,044 · 10⁷ = 0,44 · 10⁶. Сумма (15,4 + 0,44) · 10⁶ = 15,84 · 10⁶; разность 14,96 · 10⁶; произведение 15,4 · 0,044 · 10¹³ = 6,776 · 10¹²; частное 15,4 : 0,44 = 35.
г) (3,5 · 10⁻³)² = 12,25 · 10⁻⁶; (7 · 10⁻⁴)² = 49 · 10⁻⁸ = 0,49 · 10⁻⁶. Сумма 12,74 · 10⁻⁶; разность 11,76 · 10⁻⁶; произведение 12,25 · 49 · 10⁻¹⁴ = 600,25 · 10⁻¹⁴ = 6,0025 · 10⁻¹²; частное 12,25 : 0,49 = 25.
Оговорка: у первого числа в пункте а) знак минус у показателя степени на скане почти не виден; прочитано как 10⁻².
б) (1,3 · 10⁻²)² = 1,69 · 10⁻⁴; 5,2 · 10⁻⁵ = 0,52 · 10⁻⁴. Сумма 2,21 · 10⁻⁴; разность 1,17 · 10⁻⁴; произведение 1,69 · 5,2 · 10⁻⁹ = 8,788 · 10⁻⁹; частное 1,69 : 0,52 = 3,25.
в) 0,044 · 10⁷ = 0,44 · 10⁶. Сумма (15,4 + 0,44) · 10⁶ = 15,84 · 10⁶; разность 14,96 · 10⁶; произведение 15,4 · 0,044 · 10¹³ = 6,776 · 10¹²; частное 15,4 : 0,44 = 35.
г) (3,5 · 10⁻³)² = 12,25 · 10⁻⁶; (7 · 10⁻⁴)² = 49 · 10⁻⁸ = 0,49 · 10⁻⁶. Сумма 12,74 · 10⁻⁶; разность 11,76 · 10⁻⁶; произведение 12,25 · 49 · 10⁻¹⁴ = 600,25 · 10⁻¹⁴ = 6,0025 · 10⁻¹²; частное 12,25 : 0,49 = 25.
Оговорка: у первого числа в пункте а) знак минус у показателя степени на скане почти не виден; прочитано как 10⁻².
35. Найдите значение выражения: а) 7⁵ · (7²)⁴ : 7¹¹; б) 11^(−4) : 11^13 : 11^17; в) 5⁹ : 5^(−12) : 5^20; г) 10 : (5^(−2))^13 : 25^14; д) 15⁵/(3³ · 5⁴) : 12⁵/(3⁶ · 4⁶); е) 10^10/(2⁸ · 5⁹) : (17⁶ · 8³)/34⁷.
а) 7⁵ · 7⁸ : 7¹¹ = 7^(5+8−11) = 7² = 49.
б) 11^(−4−13−17) = 11^(−34).
в) 5^(9+12−20) = 5¹ = 5.
г) (5^(−2))^13 = 5^(−26); 25^14 = 5^28. Тогда 10 · 5^26 : 5^28 = 10 : 25 = 0,4.
д) Заменим деление умножением: 15⁵ · 3⁶ · 4⁶ / (3³ · 5⁴ · 12⁵). Так как 15⁵ = 3⁵ · 5⁵ и 12⁵ = 3⁵ · 4⁵, получаем 3^(5+6) · 5⁵ · 4⁶ / (3^(3+5) · 5⁴ · 4⁵) = 3³ · 5 · 4 = 27 · 20 = 540.
е) Первая дробь: 10^10/(2⁸ · 5⁹) = 2^10 · 5^10/(2⁸ · 5⁹) = 4 · 5 = 20. Вторая: 17⁶ · 2⁹/(2⁷ · 17⁷) = 4/17. Частное 20 : 4/17 = 20 · 17/4 = 85.
Ответ: а) 49; б) 11^(−34); в) 5; г) 0,4; д) 540; е) 85.
б) 11^(−4−13−17) = 11^(−34).
в) 5^(9+12−20) = 5¹ = 5.
г) (5^(−2))^13 = 5^(−26); 25^14 = 5^28. Тогда 10 · 5^26 : 5^28 = 10 : 25 = 0,4.
д) Заменим деление умножением: 15⁵ · 3⁶ · 4⁶ / (3³ · 5⁴ · 12⁵). Так как 15⁵ = 3⁵ · 5⁵ и 12⁵ = 3⁵ · 4⁵, получаем 3^(5+6) · 5⁵ · 4⁶ / (3^(3+5) · 5⁴ · 4⁵) = 3³ · 5 · 4 = 27 · 20 = 540.
е) Первая дробь: 10^10/(2⁸ · 5⁹) = 2^10 · 5^10/(2⁸ · 5⁹) = 4 · 5 = 20. Вторая: 17⁶ · 2⁹/(2⁷ · 17⁷) = 4/17. Частное 20 : 4/17 = 20 · 17/4 = 85.
Ответ: а) 49; б) 11^(−34); в) 5; г) 0,4; д) 540; е) 85.
36. Вычислите: а) (27⁵ + 27⁴)/(9⁸ + 9⁷ + 9⁶); б) (16⁷ + 16⁶)/(8^10 + 8⁹ + 8⁸); в) (4^95 + 4^94 + 4^93)/(21 · (16²)^23).
а) Числитель: 27⁴ · (27 + 1) = 28 · 3^12. Знаменатель: 9⁶ · (9² + 9 + 1) = 91 · 3^12. Дробь 28/91.
б) Числитель: 16⁶ · (16 + 1) = 17 · 2^24. Знаменатель: 8⁸ · (8² + 8 + 1) = 73 · 2^24. Дробь 17/73.
в) Числитель: 4^93 · (4² + 4 + 1) = 21 · 4^93. Знаменатель: 21 · 16^46 = 21 · 4^92. Частное 4^93 : 4^92 = 4.
Ответ: а) 28/91; б) 17/73; в) 4.
б) Числитель: 16⁶ · (16 + 1) = 17 · 2^24. Знаменатель: 8⁸ · (8² + 8 + 1) = 73 · 2^24. Дробь 17/73.
в) Числитель: 4^93 · (4² + 4 + 1) = 21 · 4^93. Знаменатель: 21 · 16^46 = 21 · 4^92. Частное 4^93 : 4^92 = 4.
Ответ: а) 28/91; б) 17/73; в) 4.