Глава I. §1. п.3 Погрешность и точность приближения — с. 16
37. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближённых значений.
Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений.
17,26 ≈ 17,3; |17,26 − 17,3| = 0,04.
12,034 ≈ 12,0; |12,034 − 12,0| = 0,034.
8,654 ≈ 8,7; |8,654 − 8,7| = 0,046.
Ответ: 17,3 (погрешность 0,04); 12,0 (0,034); 8,7 (0,046).
17,26 ≈ 17,3; |17,26 − 17,3| = 0,04.
12,034 ≈ 12,0; |12,034 − 12,0| = 0,034.
8,654 ≈ 8,7; |8,654 − 8,7| = 0,046.
Ответ: 17,3 (погрешность 0,04); 12,0 (0,034); 8,7 (0,046).
38. Найдите абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления: а) числа 9,87 до единиц; б) числа 124 до десятков; в) числа 0,453 до десятых; г) числа 0,198 до сотых.
а) 9,87 ≈ 10; |9,87 − 10| = 0,13.
б) 124 ≈ 120; |124 − 120| = 4.
в) 0,453 ≈ 0,5; |0,453 − 0,5| = 0,047.
г) 0,198 ≈ 0,20; |0,198 − 0,20| = 0,002.
Ответ: а) 0,13; б) 4; в) 0,047; г) 0,002.
б) 124 ≈ 120; |124 − 120| = 4.
в) 0,453 ≈ 0,5; |0,453 − 0,5| = 0,047.
г) 0,198 ≈ 0,20; |0,198 − 0,20| = 0,002.
Ответ: а) 0,13; б) 4; в) 0,047; г) 0,002.
39. При выполнении вычислений дробь 1/7 заменили десятичной дробью 0,14. Какова абсолютная погрешность этого приближения?
Абсолютная погрешность равна |1/7 − 0,14| = |1/7 − 14/100| = |1/7 − 7/50| = |(50 − 49)/350| = 1/350.
1/350 ≈ 0,003.
Ответ: 1/350 (приближённо 0,003).
1/350 ≈ 0,003.
Ответ: 1/350 (приближённо 0,003).
40. В каких границах заключено число y, если: а) y = 6,5 ± 0,1; б) y = 1,27 ± 0,2?
Запись y = a ± h означает a − h ≤ y ≤ a + h.
а) 6,5 − 0,1 ≤ y ≤ 6,5 + 0,1, то есть 6,4 ≤ y ≤ 6,6.
б) 1,27 − 0,2 ≤ y ≤ 1,27 + 0,2, то есть 1,07 ≤ y ≤ 1,47.
Ответ: а) от 6,4 до 6,6; б) от 1,07 до 1,47.
а) 6,5 − 0,1 ≤ y ≤ 6,5 + 0,1, то есть 6,4 ≤ y ≤ 6,6.
б) 1,27 − 0,2 ≤ y ≤ 1,27 + 0,2, то есть 1,07 ≤ y ≤ 1,47.
Ответ: а) от 6,4 до 6,6; б) от 1,07 до 1,47.
41. На упаковке простокваши написано, что её надо хранить при температуре 4 ± 2 °C. В каких границах заключено значение температуры t °C, допустимое для хранения?
4 − 2 ≤ t ≤ 4 + 2, то есть 2 ≤ t ≤ 6.
Ответ: от 2 °C до 6 °C.
Ответ: от 2 °C до 6 °C.
42. На упаковке товара указано, что его масса равна 420 г ± 3%. В каких границах заключена масса a г этого товара?
3% от 420 г: 420 · 0,03 = 12,6 г.
420 − 12,6 ≤ a ≤ 420 + 12,6, то есть 407,4 ≤ a ≤ 432,6.
Ответ: от 407,4 г до 432,6 г.
420 − 12,6 ≤ a ≤ 420 + 12,6, то есть 407,4 ≤ a ≤ 432,6.
Ответ: от 407,4 г до 432,6 г.
43. На коробке конфет указано, что она должна храниться при температуре 16 ± 3 °C. Удовлетворяет ли этому условию температура воздуха, равная: а) 18 °C; б) 21 °C; в) 14,5 °C; г) 12,5 °C?
Допустимые температуры: 16 − 3 ≤ t ≤ 16 + 3, то есть 13 ≤ t ≤ 19.
а) 18 лежит в промежутке [13; 19] — удовлетворяет.
б) 21 > 19 — не удовлетворяет.
в) 14,5 лежит в промежутке — удовлетворяет.
г) 12,5 < 13 — не удовлетворяет.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.
а) 18 лежит в промежутке [13; 19] — удовлетворяет.
б) 21 > 19 — не удовлетворяет.
в) 14,5 лежит в промежутке — удовлетворяет.
г) 12,5 < 13 — не удовлетворяет.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.
44. Определяя массу мешка картофеля с точностью до 1 кг, нашли, что она равна 32 кг. Может ли масса этого мешка, измеренная с точностью до 0,1 кг, оказаться равной: а) 31,4; б) 32,5; в) 33,2; г) 30,7?
Из первого измерения масса m мешка удовлетворяет |m − 32| ≤ 1, то есть 31 ≤ m ≤ 33. Если второе измерение даёт значение a с точностью до 0,1 кг, то a − 0,1 ≤ m ≤ a + 0,1, и эти границы должны пересекаться с промежутком [31; 33].
а) a = 31,4: [31,3; 31,5] лежит внутри [31; 33] — может.
б) a = 32,5: [32,4; 32,6] внутри [31; 33] — может.
в) a = 33,2: [33,1; 33,3] правее 33 — не может.
г) a = 30,7: [30,6; 30,8] левее 31 — не может.
Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) нет.
Оговорка: в ответах учебника для этого номера дан иной ответ («Нет»); при принятом здесь прочтении условия получается результат, приведённый выше.
а) a = 31,4: [31,3; 31,5] лежит внутри [31; 33] — может.
б) a = 32,5: [32,4; 32,6] внутри [31; 33] — может.
в) a = 33,2: [33,1; 33,3] правее 33 — не может.
г) a = 30,7: [30,6; 30,8] левее 31 — не может.
Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) нет.
Оговорка: в ответах учебника для этого номера дан иной ответ («Нет»); при принятом здесь прочтении условия получается результат, приведённый выше.
45. Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира. Какова точность полученного результата?
Выполняем практическое задание: чертим, например, острый угол и совмещаем центр транспортира с вершиной угла, а нулевой штрих — с одной из сторон. По шкале у второй стороны читаем градусную меру, например 47°.
Цена деления шкалы школьного транспортира равна 1°, поэтому измерение выполнено с точностью до 1°: угол ≈ 47° с точностью до 1° (то есть 47° ± 1°). Если на шкале нанесены деления через 0,5°, точность до 0,5°.
Ответ: точность до цены деления транспортира, обычно до 1°.
Цена деления шкалы школьного транспортира равна 1°, поэтому измерение выполнено с точностью до 1°: угол ≈ 47° с точностью до 1° (то есть 47° ± 1°). Если на шкале нанесены деления через 0,5°, точность до 0,5°.
Ответ: точность до цены деления транспортира, обычно до 1°.
46. При измерении длины стержня пользовались различными измерительными инструментами: линейкой с миллиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деления 0,1 мм) и микрометром (цена деления 0,01 мм). При этом были получены результаты: 17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм. Каким инструментом выполнено каждое из указанных измерений и какую точность даёт каждый инструмент?
Результат записан с точностью до цены деления инструмента.
18 мм — целое число миллиметров, измерение линейкой с миллиметровыми делениями, точность до 1 мм.
17,9 мм — один знак после запятой (десятые доли миллиметра), измерение штангенциркулем, точность до 0,1 мм.
17,86 мм — два знака после запятой (сотые доли миллиметра), измерение микрометром, точность до 0,01 мм.
Ответ: 18 мм — линейка (до 1 мм); 17,9 мм — штангенциркуль (до 0,1 мм); 17,86 мм — микрометр (до 0,01 мм).
18 мм — целое число миллиметров, измерение линейкой с миллиметровыми делениями, точность до 1 мм.
17,9 мм — один знак после запятой (десятые доли миллиметра), измерение штангенциркулем, точность до 0,1 мм.
17,86 мм — два знака после запятой (сотые доли миллиметра), измерение микрометром, точность до 0,01 мм.
Ответ: 18 мм — линейка (до 1 мм); 17,9 мм — штангенциркуль (до 0,1 мм); 17,86 мм — микрометр (до 0,01 мм).
47. Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.
2,525 ≈ 2,5. Абсолютная погрешность |2,525 − 2,5| = 0,025.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения: 0,025/2,5 = 0,01 = 1%.
Ответ: 2,5; относительная погрешность 1%.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения: 0,025/2,5 = 0,01 = 1%.
Ответ: 2,5; относительная погрешность 1%.