Глава I. §1. п.2 Сравнение действительных чисел — с. 12
22. Расположите в порядке возрастания числа: −1 1/3; −1,3; 1,15; 1 1/8; −1,4.
Переведём в десятичные дроби: −1 1/3 = −1,333…; 1 1/8 = 1,125.
Отрицательные числа: из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше. Модули: 1,4; 1,333…; 1,3. Значит −1,4 < −1,333… < −1,3.
Положительные: 1,125 < 1,15.
Всякое отрицательное число меньше положительного.
Ответ: −1,4; −1 1/3; −1,3; 1 1/8; 1,15.
Отрицательные числа: из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше. Модули: 1,4; 1,333…; 1,3. Значит −1,4 < −1,333… < −1,3.
Положительные: 1,125 < 1,15.
Всякое отрицательное число меньше положительного.
Ответ: −1,4; −1 1/3; −1,3; 1 1/8; 1,15.
23. Расположите в порядке убывания числа: −5,28; −1,634…; −1,34; −1,(3).
Все числа отрицательные, поэтому больше то, у которого модуль меньше. Модули: 5,28; 1,634…; 1,34; 1,(3) = 1,333…
Сравним: 1,333… < 1,34 < 1,634… < 5,28.
Значит, по убыванию: −1,(3) > −1,34 > −1,634… > −5,28.
Ответ: −1,(3); −1,34; −1,634…; −5,28.
Сравним: 1,333… < 1,34 < 1,634… < 5,28.
Значит, по убыванию: −1,(3) > −1,34 > −1,634… > −5,28.
Ответ: −1,(3); −1,34; −1,634…; −5,28.
24. Какие целые числа расположены между числами: а) −4,122… и 3,895…; б) −6,240… и −1,328…; в) −5,07 и −2,708; г) −2,25 и 0,62?
а) Целые числа больше −4,122… и меньше 3,895…: −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3.
б) Больше −6,240… и меньше −1,328…: −6; −5; −4; −3; −2.
в) Больше −5,07 и меньше −2,708: −5; −4; −3.
г) Больше −2,25 и меньше 0,62: −2; −1; 0.
Ответ: а) −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; б) −6; −5; −4; −3; −2; в) −5; −4; −3; г) −2; −1; 0.
б) Больше −6,240… и меньше −1,328…: −6; −5; −4; −3; −2.
в) Больше −5,07 и меньше −2,708: −5; −4; −3.
г) Больше −2,25 и меньше 0,62: −2; −1; 0.
Ответ: а) −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; б) −6; −5; −4; −3; −2; в) −5; −4; −3; г) −2; −1; 0.
25. Сравните числа: а) 0,017 и 0,099; б) −4,9 и −4,25; в) −8,48 и −8,84; г) 11/16 и 0,6875; д) −2,882 и −2 13/20; е) 12/13 и 13/14; ж) −6,006 и 6,066; з) −34 3/4 и −34,75; и) 0,653 и 13/20; к) 3/7 и 0,43.
а) 0,017 < 0,099 (17 тысячных меньше 99 тысячных).
б) |−4,9| = 4,9 > 4,25 = |−4,25|, поэтому −4,9 < −4,25.
в) |−8,48| < |−8,84|, поэтому −8,48 > −8,84.
г) 11/16 = 0,6875 (11 : 16 = 0,6875), числа равны.
д) −2 13/20 = −2,65; |−2,882| > 2,65, поэтому −2,882 < −2 13/20.
е) 12/13 = 1 − 1/13, 13/14 = 1 − 1/14; так как 1/13 > 1/14, то 12/13 < 13/14.
ж) Отрицательное число меньше положительного: −6,006 < 6,066.
з) −34 3/4 = −34,75, числа равны.
и) 13/20 = 0,65; 0,653 > 0,65, значит 0,653 > 13/20.
к) 3/7 = 0,428… < 0,43, значит 3/7 < 0,43.
Ответ: а) <; б) <; в) >; г) =; д) <; е) <; ж) <; з) =; и) >; к) <.
б) |−4,9| = 4,9 > 4,25 = |−4,25|, поэтому −4,9 < −4,25.
в) |−8,48| < |−8,84|, поэтому −8,48 > −8,84.
г) 11/16 = 0,6875 (11 : 16 = 0,6875), числа равны.
д) −2 13/20 = −2,65; |−2,882| > 2,65, поэтому −2,882 < −2 13/20.
е) 12/13 = 1 − 1/13, 13/14 = 1 − 1/14; так как 1/13 > 1/14, то 12/13 < 13/14.
ж) Отрицательное число меньше положительного: −6,006 < 6,066.
з) −34 3/4 = −34,75, числа равны.
и) 13/20 = 0,65; 0,653 > 0,65, значит 0,653 > 13/20.
к) 3/7 = 0,428… < 0,43, значит 3/7 < 0,43.
Ответ: а) <; б) <; в) >; г) =; д) <; е) <; ж) <; з) =; и) >; к) <.
26. Сравните числа: а) 2,5 и −25; б) −3,01 и 3,001; в) −0,14 и −0,41; г) −2,35 и −3,25.
а) Положительное число больше отрицательного: 2,5 > −25.
б) Отрицательное меньше положительного: −3,01 < 3,001.
в) |−0,14| = 0,14 < 0,41 = |−0,41|, поэтому −0,14 > −0,41.
г) |−2,35| = 2,35 < 3,25 = |−3,25|, поэтому −2,35 > −3,25.
Ответ: а) >; б) <; в) >; г) >.
б) Отрицательное меньше положительного: −3,01 < 3,001.
в) |−0,14| = 0,14 < 0,41 = |−0,41|, поэтому −0,14 > −0,41.
г) |−2,35| = 2,35 < 3,25 = |−3,25|, поэтому −2,35 > −3,25.
Ответ: а) >; б) <; в) >; г) >.
27. Сравните числа: а) 2,3(4) и 2,(34); б) 1,0(5) и 1,0(05); в) −1,34 и −1,(34); г) 0,61 и 0,61(1).
Записываем дроби поразрядно.
а) 2,3(4) = 2,34444…; 2,(34) = 2,343434…. Цифры совпадают до сотых (2,34); в разряде тысячных 4 > 3. Значит 2,3(4) > 2,(34).
б) 1,0(5) = 1,05555…; 1,0(05) = 1,005005…. В разряде сотых 5 > 0, значит 1,0(5) > 1,0(05).
в) −1,34 = −1,34000…; −1,(34) = −1,343434…. Модуль первого меньше (1,34000… < 1,34343…), поэтому −1,34 > −1,(34).
г) 0,61 = 0,61000…; 0,61(1) = 0,61111…. Значит 0,61 < 0,61(1).
Ответ: а) >; б) >; в) >; г) <.
а) 2,3(4) = 2,34444…; 2,(34) = 2,343434…. Цифры совпадают до сотых (2,34); в разряде тысячных 4 > 3. Значит 2,3(4) > 2,(34).
б) 1,0(5) = 1,05555…; 1,0(05) = 1,005005…. В разряде сотых 5 > 0, значит 1,0(5) > 1,0(05).
в) −1,34 = −1,34000…; −1,(34) = −1,343434…. Модуль первого меньше (1,34000… < 1,34343…), поэтому −1,34 > −1,(34).
г) 0,61 = 0,61000…; 0,61(1) = 0,61111…. Значит 0,61 < 0,61(1).
Ответ: а) >; б) >; в) >; г) <.
28. Сравните числа: а) 0,5(45) и 0,(54); б) 0,54(5) и 0,545; в) 0,(27) и 0,2(72); г) −7,(3) и −7,123; д) 6,(347) и 6,1(743); е) 0,1(0) и 0,0(9).
а) 0,5(45) = 0,545454…; 0,(54) = 0,545454…. Дроби совпадают: числа равны.
б) 0,54(5) = 0,545555…; 0,545 = 0,545000…. Первое больше (в разряде десятитысячных 5 > 0).
в) 0,(27) = 0,272727…; 0,2(72) = 0,272727…. Равны.
г) |−7,(3)| = 7,333… > 7,123, поэтому −7,(3) < −7,123.
д) 6,(347) = 6,347347…; 6,1(743) = 6,1743743…. В разряде десятых 3 > 1, значит 6,(347) > 6,1(743).
е) 0,1(0) = 0,1000… = 0,1; 0,0(9) = 0,0999… . Так как 0,0(9) = 9/90 = 0,1, числа равны.
Ответ: а) =; б) >; в) =; г) <; д) >; е) =.
б) 0,54(5) = 0,545555…; 0,545 = 0,545000…. Первое больше (в разряде десятитысячных 5 > 0).
в) 0,(27) = 0,272727…; 0,2(72) = 0,272727…. Равны.
г) |−7,(3)| = 7,333… > 7,123, поэтому −7,(3) < −7,123.
д) 6,(347) = 6,347347…; 6,1(743) = 6,1743743…. В разряде десятых 3 > 1, значит 6,(347) > 6,1(743).
е) 0,1(0) = 0,1000… = 0,1; 0,0(9) = 0,0999… . Так как 0,0(9) = 9/90 = 0,1, числа равны.
Ответ: а) =; б) >; в) =; г) <; д) >; е) =.