Глава I. §1. п.1 Действия над действительными числами — с. 10
12. Среди чисел −2; 0; √2; 8,83; π; 1/48; −√11; 200; −100; 2/3; −5,12; −3/7; 0,0002 найдите: а) натуральные числа; б) целые отрицательные числа; в) целые неотрицательные числа; г) рациональные числа; д) иррациональные числа; е) действительные числа.
Иррациональные здесь √2, π, −√11 (корни из чисел, не являющихся квадратами рациональных чисел, и число π). Остальные числа записаны целыми числами, десятичными или обыкновенными дробями, то есть рациональны.
а) Натуральное число: 200.
б) Целые отрицательные: −2 и −100.
в) Целые неотрицательные: 0 и 200.
г) Рациональные: −2; 0; 8,83; 1/48; 200; −100; 2/3; −5,12; −3/7; 0,0002.
д) Иррациональные: √2; π; −√11.
е) Действительные — все данные числа (рациональные и иррациональные вместе).
а) Натуральное число: 200.
б) Целые отрицательные: −2 и −100.
в) Целые неотрицательные: 0 и 200.
г) Рациональные: −2; 0; 8,83; 1/48; 200; −100; 2/3; −5,12; −3/7; 0,0002.
д) Иррациональные: √2; π; −√11.
е) Действительные — все данные числа (рациональные и иррациональные вместе).
13. Какое множество является: а) объединением множеств N и Z, их пересечением; б) объединением множеств Q и R, их пересечением; в) объединением множеств N и Q, их пересечением; г) объединением множеств Z и R, их пересечением?
Используем включения N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Если одно множество содержится в другом, то их объединение — большее множество, а пересечение — меньшее.
а) N ∪ Z = Z; N ∩ Z = N.
б) Q ∪ R = R; Q ∩ R = Q.
в) N ∪ Q = Q; N ∩ Q = N.
г) Z ∪ R = R; Z ∩ R = Z.
а) N ∪ Z = Z; N ∩ Z = N.
б) Q ∪ R = R; Q ∩ R = Q.
в) N ∪ Q = Q; N ∩ Q = N.
г) Z ∪ R = R; Z ∩ R = Z.
14. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам: √7; −√11; √12,3; 12/13; 1/2; 3 1/3; 0; 1,6 + √2.
Найдём приближённые значения, чтобы расположить точки: 2² = 4 < 7 < 9 = 3², поэтому √7 ≈ 2,65; 3² = 9 < 11 < 16, поэтому −√11 ≈ −3,32; 12,3 между 9 и 16, √12,3 ≈ 3,51; 12/13 ≈ 0,92; 1/2 = 0,5; 3 1/3 ≈ 3,33; 0; √2 ≈ 1,41, поэтому 1,6 + √2 ≈ 3,01.
По возрастанию: −√11 (≈ −3,32); 0; 1/2; 12/13; √7 (≈ 2,65); 1,6 + √2 (≈ 3,01); 3 1/3 (≈ 3,33); √12,3 (≈ 3,51). Точки отмечены на рисунке.
По возрастанию: −√11 (≈ −3,32); 0; 1/2; 12/13; √7 (≈ 2,65); 1,6 + √2 (≈ 3,01); 3 1/3 (≈ 3,33); √12,3 (≈ 3,51). Точки отмечены на рисунке.
15. Укажите пять значений переменной a, при которых число √a является рациональным, и пять значений, при которых это число является иррациональным.
Число √a рационально, если a — квадрат рационального числа, и иррационально, если a — неотрицательное число, не являющееся таким квадратом.
Рационально: a = 0 (√0 = 0), a = 1 (√1 = 1), a = 4 (√4 = 2), a = 0,25 (√0,25 = 0,5), a = 49/9 (√(49/9) = 7/3).
Иррационально: a = 2, a = 3, a = 5, a = 7, a = 10 (эти числа не являются квадратами натуральных, а корень из натурального числа, не являющегося квадратом, иррационален).
Ответ: например, рациональное — при a = 0; 1; 4; 0,25; 49/9; иррациональное — при a = 2; 3; 5; 7; 10.
Рационально: a = 0 (√0 = 0), a = 1 (√1 = 1), a = 4 (√4 = 2), a = 0,25 (√0,25 = 0,5), a = 49/9 (√(49/9) = 7/3).
Иррационально: a = 2, a = 3, a = 5, a = 7, a = 10 (эти числа не являются квадратами натуральных, а корень из натурального числа, не являющегося квадратом, иррационален).
Ответ: например, рациональное — при a = 0; 1; 4; 0,25; 49/9; иррациональное — при a = 2; 3; 5; 7; 10.
16. Приведите пример числа, которое является: а) рациональным и нецелым; б) действительным, но не рациональным; в) целым, но не натуральным.
а) Рациональное нецелое число — например 3/4 (или −1,5).
б) Действительное нерациональное — иррациональное число, например √2 (или π).
в) Целое, но не натуральное — нуль или отрицательное целое число, например 0 или −8.
Ответ: а) 3/4; б) √2; в) −8 (возможны другие примеры).
б) Действительное нерациональное — иррациональное число, например √2 (или π).
в) Целое, но не натуральное — нуль или отрицательное целое число, например 0 или −8.
Ответ: а) 3/4; б) √2; в) −8 (возможны другие примеры).
17. Прочитайте утверждения и выберите верные: −18 ∈ Z; 12/15 ∈ N; 3,38 ∉ Q; 205 ∈ Q; 2,5 ∉ R; 2 + √2 ∈ R; √3 ∉ N; √2 ∈ Q; 3 1/4 + 0,25 ∈ R; 0,15 ∈ Z; 0,(8) ∈ R; 4 + √4 ∈ Z.
Проверяем каждое утверждение.
−18 ∈ Z — верно (−18 целое).
12/15 ∈ N — неверно: 12/15 = 4/5, не целое число.
3,38 ∉ Q — неверно: 3,38 — конечная десятичная дробь, рациональное число.
205 ∈ Q — верно (целое число рационально).
2,5 ∉ R — неверно: 2,5 действительное.
2 + √2 ∈ R — верно (сумма действительных чисел).
√3 ∉ N — верно (√3 иррациональное).
√2 ∈ Q — неверно: √2 иррациональное.
3 1/4 + 0,25 ∈ R — верно (3 1/4 + 0,25 = 3,5).
0,15 ∈ Z — неверно: 0,15 не целое.
0,(8) ∈ R — верно (периодическая дробь — рациональное, значит и действительное число).
4 + √4 ∈ Z — верно: 4 + √4 = 4 + 2 = 6.
Ответ: верны утверждения −18 ∈ Z; 205 ∈ Q; 2 + √2 ∈ R; √3 ∉ N; 3 1/4 + 0,25 ∈ R; 0,(8) ∈ R; 4 + √4 ∈ Z.
−18 ∈ Z — верно (−18 целое).
12/15 ∈ N — неверно: 12/15 = 4/5, не целое число.
3,38 ∉ Q — неверно: 3,38 — конечная десятичная дробь, рациональное число.
205 ∈ Q — верно (целое число рационально).
2,5 ∉ R — неверно: 2,5 действительное.
2 + √2 ∈ R — верно (сумма действительных чисел).
√3 ∉ N — верно (√3 иррациональное).
√2 ∈ Q — неверно: √2 иррациональное.
3 1/4 + 0,25 ∈ R — верно (3 1/4 + 0,25 = 3,5).
0,15 ∈ Z — неверно: 0,15 не целое.
0,(8) ∈ R — верно (периодическая дробь — рациональное, значит и действительное число).
4 + √4 ∈ Z — верно: 4 + √4 = 4 + 2 = 6.
Ответ: верны утверждения −18 ∈ Z; 205 ∈ Q; 2 + √2 ∈ R; √3 ∉ N; 3 1/4 + 0,25 ∈ R; 0,(8) ∈ R; 4 + √4 ∈ Z.
18. Запишите с помощью знака ⊂ соотношения между множествами: а) Q и N; б) Q и Z; в) R и N; г) R и Z.
Из цепочки N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R следует:
а) N ⊂ Q;
б) Z ⊂ Q;
в) N ⊂ R;
г) Z ⊂ R.
а) N ⊂ Q;
б) Z ⊂ Q;
в) N ⊂ R;
г) Z ⊂ R.
19. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющее неравенству: а) x < 3; б) −2 < x < 4; в) x ≥ 1; г) 5 ≤ x ≤ 7,5; д) 0 < x ≤ 2,5; е) x ≥ 10,5.
Строгое неравенство (< или >) — граничная точка выпуклая «пустая» (не входит), нестрогое (≤ или ≥) — закрашенная (входит).
а) x < 3: луч слева от 3, точка 3 не входит.
б) −2 < x < 4: интервал между −2 и 4, концы не входят.
в) x ≥ 1: луч вправо от 1, точка 1 входит.
г) 5 ≤ x ≤ 7,5: отрезок от 5 до 7,5, оба конца входят.
д) 0 < x ≤ 2,5: промежуток от 0 до 2,5, точка 0 не входит, точка 2,5 входит.
е) x ≥ 10,5: луч вправо от 10,5, точка 10,5 входит.
Решения выделены красным на рисунке.
а) x < 3: луч слева от 3, точка 3 не входит.
б) −2 < x < 4: интервал между −2 и 4, концы не входят.
в) x ≥ 1: луч вправо от 1, точка 1 входит.
г) 5 ≤ x ≤ 7,5: отрезок от 5 до 7,5, оба конца входят.
д) 0 < x ≤ 2,5: промежуток от 0 до 2,5, точка 0 не входит, точка 2,5 входит.
е) x ≥ 10,5: луч вправо от 10,5, точка 10,5 входит.
Решения выделены красным на рисунке.