Глава I. §1. п.1 Действия над действительными числами — с. 9
1. Найдите десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,001 и 0,01. Найдите несколько иррациональных чисел, находящихся в этом промежутке.
Рациональные числа — конечные десятичные дроби между 0,001 и 0,01: 0,002; 0,003; 0,004; 0,005; 0,006; 0,007; 0,008; 0,009; 0,0015; 0,0025. Каждое из них больше 0,001 и меньше 0,01.
Иррациональные числа — бесконечные непериодические дроби в этом промежутке: 0,002020020002… (после каждой цифры 2 число нулей увеличивается на один); 0,0050550555… (число пятёрок после нуля растёт); √2/1000 ≈ 0,0014; √5/1000 ≈ 0,0022; √10/1000 ≈ 0,0032 (деление иррационального числа на 1000 даёт иррациональное число).
Ответ: например, 0,002; 0,003; …; 0,009; 0,0015; 0,0025 и иррациональные 0,002020020002…; √2/1000; √5/1000.
Иррациональные числа — бесконечные непериодические дроби в этом промежутке: 0,002020020002… (после каждой цифры 2 число нулей увеличивается на один); 0,0050550555… (число пятёрок после нуля растёт); √2/1000 ≈ 0,0014; √5/1000 ≈ 0,0022; √10/1000 ≈ 0,0032 (деление иррационального числа на 1000 даёт иррациональное число).
Ответ: например, 0,002; 0,003; …; 0,009; 0,0015; 0,0025 и иррациональные 0,002020020002…; √2/1000; √5/1000.
2. Среди чисел 1,38; 2,5; 0; 1,(5); −1,68; 1,68; 2 3/4; 4,05; 1,4; 1,8; 1,75 найдите такие, которые заключены между иррациональными числами √2 и √3.
Так как √2 ≈ 1,414 и √3 ≈ 1,732, ищем числа, большие 1,414 и меньшие 1,732.
1,38 < 1,414 — не подходит; 2,5, 2 3/4, 4,05 больше √3 — не подходят; 0 и −1,68 меньше — не подходят; 1,(5) = 1,555… — подходит; 1,68 — подходит; 1,4 < 1,414 — не подходит; 1,8 и 1,75 больше 1,732 — не подходят.
Ответ: 1,(5) и 1,68.
1,38 < 1,414 — не подходит; 2,5, 2 3/4, 4,05 больше √3 — не подходят; 0 и −1,68 меньше — не подходят; 1,(5) = 1,555… — подходит; 1,68 — подходит; 1,4 < 1,414 — не подходит; 1,8 и 1,75 больше 1,732 — не подходят.
Ответ: 1,(5) и 1,68.
3. Какое из утверждений верно: «Если a ∈ N, то a ∈ Z» или «Если a ∈ Z, то a ∈ N»?
Каждое натуральное число является целым (N ⊂ Z), поэтому первое утверждение верно. Не всякое целое число натуральное: −3 ∈ Z, но −3 ∉ N, поэтому второе утверждение неверно.
Ответ: верно утверждение «Если a ∈ N, то a ∈ Z».
Ответ: верно утверждение «Если a ∈ N, то a ∈ Z».
4. Найдите два значения x, при которых: а) x ∈ Z и x ∉ N; б) x ∈ Q и x ∉ Z; в) x ∈ Q и x ∉ N.
а) Целые числа, не являющиеся натуральными: нуль и отрицательные целые, например x = 0 и x = −5.
б) Рациональные нецелые числа — дроби, например x = 1/2 и x = −2,7.
в) Рациональные числа, не являющиеся натуральными: например x = 0 и x = 1,5 (годятся также отрицательные и дробные числа).
Ответ: а) 0 и −5; б) 1/2 и −2,7; в) 0 и 1,5 (возможны другие значения).
б) Рациональные нецелые числа — дроби, например x = 1/2 и x = −2,7.
в) Рациональные числа, не являющиеся натуральными: например x = 0 и x = 1,5 (годятся также отрицательные и дробные числа).
Ответ: а) 0 и −5; б) 1/2 и −2,7; в) 0 и 1,5 (возможны другие значения).
5. Каким из множеств N, Z, Q и R принадлежит: а) 6; б) −1,98; в) 0,5(87); г) π?
а) 6 — натуральное число, поэтому принадлежит N, Z, Q и R.
б) −1,98 — отрицательная конечная десятичная дробь, рациональное число: принадлежит Q и R (не целое).
в) 0,5(87) — бесконечная периодическая дробь, рациональное число: принадлежит Q и R.
г) π — иррациональное число: принадлежит только R.
Ответ: а) N, Z, Q, R; б) Q, R; в) Q, R; г) R.
б) −1,98 — отрицательная конечная десятичная дробь, рациональное число: принадлежит Q и R (не целое).
в) 0,5(87) — бесконечная периодическая дробь, рациональное число: принадлежит Q и R.
г) π — иррациональное число: принадлежит только R.
Ответ: а) N, Z, Q, R; б) Q, R; в) Q, R; г) R.
6. Найдите три числа, которые принадлежат: а) Z и R; б) R и N; в) Q и R; г) N, Q и R.
Множества связаны цепочкой N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
а) Целые числа принадлежат и Z, и R: например −7, 0, 12.
б) Числа из R и N — натуральные числа (все натуральные числа действительные): например 1, 8, 30.
в) Рациональные числа принадлежат Q и R: например 0,5; −2/3; 4.
г) Натуральные числа принадлежат N, Q и R: например 2, 15, 100.
Ответ: например, а) −7, 0, 12; б) 1, 8, 30; в) 0,5; −2/3; 4; г) 2, 15, 100.
а) Целые числа принадлежат и Z, и R: например −7, 0, 12.
б) Числа из R и N — натуральные числа (все натуральные числа действительные): например 1, 8, 30.
в) Рациональные числа принадлежат Q и R: например 0,5; −2/3; 4.
г) Натуральные числа принадлежат N, Q и R: например 2, 15, 100.
Ответ: например, а) −7, 0, 12; б) 1, 8, 30; в) 0,5; −2/3; 4; г) 2, 15, 100.
7. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число: а) 1/3; б) 2/3; в) 5/6; г) 7/9; д) 1 8/11; е) 2 4/15. В каждом случае выделите период, заключив его в скобки.
Делим числитель на знаменатель «уголком».
а) 1 : 3 = 0,333… = 0,(3).
б) 2 : 3 = 0,666… = 0,(6).
в) 5 : 6 = 0,8333… = 0,8(3).
г) 7 : 9 = 0,777… = 0,(7).
д) 8 : 11 = 0,7272…, поэтому 1 8/11 = 1,(72).
е) 4 : 15 = 0,2666…, поэтому 2 4/15 = 2,2(6).
Ответ: а) 0,(3); б) 0,(6); в) 0,8(3); г) 0,(7); д) 1,(72); е) 2,2(6).
а) 1 : 3 = 0,333… = 0,(3).
б) 2 : 3 = 0,666… = 0,(6).
в) 5 : 6 = 0,8333… = 0,8(3).
г) 7 : 9 = 0,777… = 0,(7).
д) 8 : 11 = 0,7272…, поэтому 1 8/11 = 1,(72).
е) 4 : 15 = 0,2666…, поэтому 2 4/15 = 2,2(6).
Ответ: а) 0,(3); б) 0,(6); в) 0,8(3); г) 0,(7); д) 1,(72); е) 2,2(6).
8. Представьте число в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Округлите результат до десятых; до сотых; до тысячных: а) 1/9; б) 3/32; в) 2/7; г) 13/64; д) 37/15; е) 87/65.
Делим числитель на знаменатель.
а) 1/9 = 0,(1) = 0,111…; до десятых 0,1; до сотых 0,11; до тысячных 0,111.
б) 3/32 = 0,09375 = 0,09375(0); до десятых 0,1; до сотых 0,09; до тысячных 0,094.
в) 2/7 = 0,(285714); до десятых 0,3; до сотых 0,29; до тысячных 0,286.
г) 13/64 = 0,203125 = 0,203125(0); до десятых 0,2; до сотых 0,20; до тысячных 0,203.
д) 37/15 = 2,4(6) = 2,4666…; до десятых 2,5; до сотых 2,47; до тысячных 2,467.
е) 87/65 = 1,3(384615) = 1,338461538…; до десятых 1,3; до сотых 1,34; до тысячных 1,338.
Ответ: см. решение по пунктам.
а) 1/9 = 0,(1) = 0,111…; до десятых 0,1; до сотых 0,11; до тысячных 0,111.
б) 3/32 = 0,09375 = 0,09375(0); до десятых 0,1; до сотых 0,09; до тысячных 0,094.
в) 2/7 = 0,(285714); до десятых 0,3; до сотых 0,29; до тысячных 0,286.
г) 13/64 = 0,203125 = 0,203125(0); до десятых 0,2; до сотых 0,20; до тысячных 0,203.
д) 37/15 = 2,4(6) = 2,4666…; до десятых 2,5; до сотых 2,47; до тысячных 2,467.
е) 87/65 = 1,3(384615) = 1,338461538…; до десятых 1,3; до сотых 1,34; до тысячных 1,338.
Ответ: см. решение по пунктам.
9. Проверьте, выполнив деление, что верно равенство: а) 2,(3) = 2 1/3; б) 0,1(6) = 1/6; в) 7,(18) = 7 2/11; г) 3,4(6) = 3 7/15.
Выполним деление дробной части на знаменатель.
а) 1 : 3 = 0,333… = 0,(3), поэтому 2 1/3 = 2,(3).
б) 1 : 6 = 0,1666… = 0,1(6). Равенство верно.
в) 2 : 11 = 0,181818… = 0,(18), поэтому 7 2/11 = 7,(18).
г) 7 : 15 = 0,4666… = 0,4(6), поэтому 3 7/15 = 3,4(6).
Все равенства верны.
а) 1 : 3 = 0,333… = 0,(3), поэтому 2 1/3 = 2,(3).
б) 1 : 6 = 0,1666… = 0,1(6). Равенство верно.
в) 2 : 11 = 0,181818… = 0,(18), поэтому 7 2/11 = 7,(18).
г) 7 : 15 = 0,4666… = 0,4(6), поэтому 3 7/15 = 3,4(6).
Все равенства верны.
10. Докажите, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — числа рациональные.
Возьмём рациональные числа m/n и p/q, где m, n, p, q — целые, n ≠ 0, q ≠ 0.
Разность: m/n − p/q = (mq − np)/(nq). Числитель mq − np — целое число, знаменатель nq — целое число, не равное нулю, значит разность рациональна.
Произведение: m/n · p/q = mp/(nq). Числитель mp целый, знаменатель nq целый и не равен нулю — число рациональное.
Частное (p/q ≠ 0, то есть p ≠ 0): (m/n) : (p/q) = m/n · q/p = mq/(np). Числитель mq целый, знаменатель np целый и np ≠ 0, так как n ≠ 0 и p ≠ 0. Число рациональное.
Что и требовалось доказать.
Разность: m/n − p/q = (mq − np)/(nq). Числитель mq − np — целое число, знаменатель nq — целое число, не равное нулю, значит разность рациональна.
Произведение: m/n · p/q = mp/(nq). Числитель mp целый, знаменатель nq целый и не равен нулю — число рациональное.
Частное (p/q ≠ 0, то есть p ≠ 0): (m/n) : (p/q) = m/n · q/p = mq/(np). Числитель mq целый, знаменатель np целый и np ≠ 0, так как n ≠ 0 и p ≠ 0. Число рациональное.
Что и требовалось доказать.
11. Запишите, используя знак ∈, утверждение: а) Число 13 является натуральным; б) число 0,8 является рациональным; в) число √3 является действительным; г) число 585 является натуральным; д) число 0 является целым.
а) 13 ∈ N.
б) 0,8 ∈ Q.
в) √3 ∈ R.
г) 585 ∈ N.
д) 0 ∈ Z.
Ответ: а) 13 ∈ N; б) 0,8 ∈ Q; в) √3 ∈ R; г) 585 ∈ N; д) 0 ∈ Z.
б) 0,8 ∈ Q.
в) √3 ∈ R.
г) 585 ∈ N.
д) 0 ∈ Z.
Ответ: а) 13 ∈ N; б) 0,8 ∈ Q; в) √3 ∈ R; г) 585 ∈ N; д) 0 ∈ Z.