Глава IX. Вопросы для повторения (окончание). Дополнительные задачи — с. 210
Вопрос 11. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.
Полуокружность равна 180°. По теореме о вписанном угле вписанный угол, опирающийся на неё, равен 180° : 2 = 90°.
Вопрос 12. Как измеряются углы между хордами?
Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой двух дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями. Доказательство: проводим хорду ВС (хорды АВ и СD пересекаются в М); угол АМС — внешний для треугольника МВС, поэтому ∠АМС = ∠1 + ∠2, где ∠1 = ½ ⌣АС и ∠2 = ½ ⌣ВD — вписанные углы. Отсюда ∠АМС = ½ (⌣АС + ⌣ВD).
Вопрос 13. Как измеряется угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают эту окружность?
Такой угол (угол между двумя секущими, пересекающимися вне окружности) измеряется полуразностью двух дуг, заключённых внутри угла: ∠АМС = ½ (⌣АС − ⌣ВD), где АС — большая, ВD — меньшая дуга. Это следует из того, что угол АВС — внешний для треугольника МВС: ∠АМС = ∠АВС − ∠ВСD, и оба угла вписанные.
Вопрос 14. Как измеряется угол между касательной к окружности и хордой, один конец которой совпадает с точкой касания?
Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключённой внутри этого угла. Доказательство: пусть ВМ — диаметр через точку касания М, МА — хорда. Тогда ∠ВМK = 90° (касательная ⊥ радиусу) и ∠ВАМ = 90° (опирается на диаметр). Обозначим ∠1 = ∠ВМА, ∠2 = ∠МВА. Из ∠ВМK = ∠АМK + ∠1 = 90° и ∠2 + ∠1 = 90° получаем ∠АМK = ∠2. Угол 2 вписанный и опирается на дугу АМ, поэтому ∠АМK = ½ ⌣АМ.
Вопрос 15. Как измеряется угол между касательной и секущей, не проходящей через точку касания?
Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, на которые точкой касания делится дуга, заключённая внутри угла: ∠ВМK = ½ (⌣ВK − ⌣АK), где K — точка касания, А и В — точки пересечения секущей. Доказывается через внешний угол треугольника МKВ и теоремы о вписанном угле и об угле между хордой и касательной.
Вопрос 16. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
Какой многоугольник называется описанным около окружности?
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Многоугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около неё.
Вопрос 17. Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, описанного около окружности?
Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны: АВ + СD = ВС + АD. Это видно из равенства отрезков касательных, проведённых из одной вершины: если они равны a, b, c, d, то АВ + СD = a + b + c + d = ВС + АD.
Вопрос 18. Какая окружность называется описанной около многоугольника?
Какой многоугольник называется вписанным в окружность?
Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на ней. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.
Вопрос 19. Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность?
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Действительно, ∠А = ½ ⌣BCD, ∠C = ½ ⌣BAD, поэтому ∠А + ∠С = ½ (⌣BCD + ⌣BAD) = ½ · 360° = 180°.
796. Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом (см. п. 41).
Пусть параллельные прямые а и b касаются окружности с центром О, секущая с пересекает их в точках Р и Q, окружность касается и с. Центр О равноудалён от сторон угла между а и с с вершиной Р и от сторон угла между b и с с вершиной Q, поэтому РО и QО — биссектрисы углов, у которых они лежат: ∠ОРQ = ½ ∠1, ∠OQP = ½ ∠2, где ∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при параллельных а, b и секущей с (центр лежит между а и b). Их сумма ∠1 + ∠2 = 180°, значит, ∠ОРQ + ∠OQP = 90°. В треугольнике РОQ ∠РОQ = 180° − 90° = 90°. Что и требовалось доказать.
797. Две окружности радиусов r и R касаются внешним образом в точке А. К ним проведена общая внешняя касательная МK. а) Докажите, что ∠KАМ = 90°; б) найдите длину отрезка МK.
а) Проведём через А общую касательную окружностей; она пересекает МK в точке Р. Отрезки касательных, проведённых из Р к одной окружности, равны: РМ = РА (первая окружность) и РK = РА (вторая). Значит, РА = РМ = РK, то есть АР — медиана треугольника МАK, равная половине стороны МK. Треугольники РМА и РАK равнобедренные: ∠РМА = ∠РАМ, ∠РKА = ∠РАK. Сумма углов треугольника МАK: ∠М + ∠K + ∠МАK = (∠РАМ + ∠РАK) + ∠МАK = 2∠МАK = 180°, откуда ∠МАK = 90°.
б) Пусть О1 и О2 — центры, радиусы r и R. О1М ⊥ МK, О2K ⊥ МK. Проведём О1Н ∥ МK до пересечения с О2K в точке Н; МKНО1 — прямоугольник, KН = r, О2Н = R − r, О1Н = МK. В прямоугольном треугольнике О1НО2 гипотенуза О1О2 = R + r (внешнее касание). МK² = (R + r)² − (R − r)² = 4Rr, МK = 2√(Rr).
Ответ: МK = 2√(Rr).
б) Пусть О1 и О2 — центры, радиусы r и R. О1М ⊥ МK, О2K ⊥ МK. Проведём О1Н ∥ МK до пересечения с О2K в точке Н; МKНО1 — прямоугольник, KН = r, О2Н = R − r, О1Н = МK. В прямоугольном треугольнике О1НО2 гипотенуза О1О2 = R + r (внешнее касание). МK² = (R + r)² − (R − r)² = 4Rr, МK = 2√(Rr).
Ответ: МK = 2√(Rr).
798. Даны две окружности радиусов r и R. Расстояние между их центрами равно d (d > R + r). Найдите отрезок их общей а) внешней касательной; б) внутренней касательной.
Пусть О1 и О2 — центры, радиусы r и R, касательные касаются окружностей в точках М и K; О1М ⊥ МK, О2K ⊥ МK.
а) Внешняя касательная. Проведём О1Н ∥ МK, Н лежит на О2K. МK = О1Н, О2Н = R − r (r ≤ R). Из прямоугольного треугольника О1НО2: МK = √(d² − (R − r)²).
б) Внутренняя касательная (окружности по разные стороны от неё). Проведём О1Н ∥ МK, Н лежит на продолжении О2K за точку K; О1М KН — прямоугольник, KН = r, О2Н = R + r, О1Н = МK. Из треугольника О1НО2 (∠Н = 90°): МK = √(d² − (R + r)²); этот корень существует, так как d > R + r.
Ответ: а) √(d² − (R − r)²); б) √(d² − (R + r)²).
а) Внешняя касательная. Проведём О1Н ∥ МK, Н лежит на О2K. МK = О1Н, О2Н = R − r (r ≤ R). Из прямоугольного треугольника О1НО2: МK = √(d² − (R − r)²).
б) Внутренняя касательная (окружности по разные стороны от неё). Проведём О1Н ∥ МK, Н лежит на продолжении О2K за точку K; О1М KН — прямоугольник, KН = r, О2Н = R + r, О1Н = МK. Из треугольника О1НО2 (∠Н = 90°): МK = √(d² − (R + r)²); этот корень существует, так как d > R + r.
Ответ: а) √(d² − (R − r)²); б) √(d² − (R + r)²).
799. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1. Докажите, что градусные меры дуг AB и AB1, меньших полуокружности, равны.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому прямая АА1 — серединный перпендикуляр к ВВ1. Симметрия относительно прямой АА1 переводит окружность в себя, точку А оставляет на месте, а точку В переводит в В1. Значит, дуга АВ переходит в дугу АВ1, и их градусные меры равны. (Иначе: ОН — высота равнобедренного треугольника ВОВ1, а значит, и биссектриса, поэтому ∠АОВ = ∠АОВ1.)
800. Точки A, B, C и D лежат на окружности. Докажите, что если ⌣AB = ⌣CD, то AB = CD.
Пусть О — центр. Если дуги АВ и СD равны, то равны и центральные углы АОВ и СОD (для дуг, меньших полуокружности, угол равен дуге; для больших угол равен 360° − дуга, также одинаков; для полуокружностей хорды — диаметры, равные 2r). Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам (ОА = ОВ = ОС = ОD = r) и углу между ними. Следовательно, АВ = СD.
801. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Докажите, что величина угла СВD не зависит от выбора прямой m.
Пусть точка А лежит между С и D (С на первой, D на второй окружности). В треугольнике СВD ∠ВСD = ∠ВСА — вписанный угол первой окружности, опирающийся на дугу АВ, и ∠ВDС = ∠ВDА — вписанный угол второй окружности, опирающийся на дугу АВ. Дуга АВ первой окружности (не содержащая С) и дуга АВ второй окружности (не содержащая D) не зависят от выбора прямой m. Поэтому ∠ВСD и ∠ВDС имеют постоянные значения, и ∠СВD = 180° − ∠ВСD − ∠ВDС тоже постоянен. Что и требовалось доказать.
Оговорка: рассмотрено основное расположение, когда А лежит между С и D; для другого расположения рассуждение аналогично (углы заменяются на смежные).
Оговорка: рассмотрено основное расположение, когда А лежит между С и D; для другого расположения рассуждение аналогично (углы заменяются на смежные).
802. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Через точки С и D проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке K. Докажите, что: а) величина угла СKD не зависит от выбора прямой m; б) четырёхугольник BCKD можно вписать в окружность.
Пусть А лежит между С и D. Угол между касательной KС и хордой СВ первой окружности равен вписанному углу САВ: ∠KСВ = ∠САВ (оба измеряются половиной дуги СВ). Аналогично для второй окружности ∠KDВ = ∠DАВ. Так как С, А, D лежат на одной прямой и А между ними, ∠САВ + ∠DАВ = 180°, откуда ∠KСВ + ∠KDВ = 180°.
а) Сумма углов четырёхугольника ВСKD равна 360°: ∠СKD = 360° − (∠KСВ + ∠KDВ) − ∠СВD = 180° − ∠СВD. По задаче 801 ∠СВD не зависит от прямой m, поэтому и ∠СKD постоянен.
б) Из ∠СKD + ∠СВD = 180° (сумма противоположных углов) следует, что около четырёхугольника ВСKD можно описать окружность (признак, задача 810).
а) Сумма углов четырёхугольника ВСKD равна 360°: ∠СKD = 360° − (∠KСВ + ∠KDВ) − ∠СВD = 180° − ∠СВD. По задаче 801 ∠СВD не зависит от прямой m, поэтому и ∠СKD постоянен.
б) Из ∠СKD + ∠СВD = 180° (сумма противоположных углов) следует, что около четырёхугольника ВСKD можно описать окружность (признак, задача 810).