Глава IX. §3 (окончание). Вопросы для повторения к главе IX — с. 209
790. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.
а) Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения О делятся пополам, поэтому ОА = ОВ = ОС = ОD. Окружность с центром О и радиусом ОА проходит через все вершины.
б) Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями АD и ВС. Тогда ∠А = ∠D, а ∠А + ∠В = 180° (односторонние углы при параллельных ВС и АD). Поэтому ∠В + ∠D = ∠В + ∠А = 180°. Сумма противоположных углов равна 180°, и по признаку (задача 810) около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями АD и ВС. Тогда ∠А = ∠D, а ∠А + ∠В = 180° (односторонние углы при параллельных ВС и АD). Поэтому ∠В + ∠D = ∠В + ∠А = 180°. Сумма противоположных углов равна 180°, и по признаку (задача 810) около четырёхугольника можно описать окружность.
791. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов 180°: ∠А + ∠С = 180°. В параллелограмме ∠А = ∠С, поэтому ∠А = 90°. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
792. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
Пусть трапеция ABCD с основаниями ВС и АD вписана в окружность. Основания — параллельные хорды, и дуги, заключённые между ними, равны (задача 774): ⌣АВ = ⌣СD. Равные дуги стягиваются равными хордами (равные центральные углы, равные треугольники АОВ и СОD), поэтому АВ = СD. Трапеция с равными боковыми сторонами — равнобедренная.
793. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АK, ВМ, СN, пересекающиеся в точке Н. Докажите, что около каждого из четырёхугольников СМНK, АМНN, ВNНK можно описать окружность.
В четырёхугольнике СМНK ∠СМН = 90° (ВМ ⊥ АС) и ∠СKН = 90° (АK ⊥ ВС). Сумма этих противоположных углов равна 180°, поэтому около него можно описать окружность (задача 810; окружность построена на диаметре СН). Аналогично в АМНN ∠АМН = ∠АNН = 90°, а в ВNНK ∠ВNН = ∠ВKН = 90°, суммы противоположных углов равны 180°. Что и требовалось доказать.
794. Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то её центр является точкой пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.
Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон (расстояния равны радиусу). Точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Поэтому центр лежит на биссектрисе каждого из четырёх углов четырёхугольника, то есть является точкой их пересечения.
795. Докажите, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то её центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого четырёхугольника.
Центр описанной окружности равноудалён от концов каждой стороны (расстояния до вершин равны радиусу). Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре. Значит, центр лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне, то есть является точкой их пересечения.
Вопрос 1. Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте полученные выводы.
Пусть r — радиус окружности, d — расстояние от центра О до прямой р, ОН ⊥ р.
Если d < r, на прямой от точки Н откладываем отрезки НА = НВ = √(r² − d²); по теореме Пифагора ОА = ОВ = r, значит, А и В — общие точки. Других общих точек нет: иначе из О проводились бы два разных перпендикуляра к р. Итак, при d < r прямая и окружность имеют две общие точки (прямая — секущая).
Если d = r, точка Н лежит на окружности, а для любой другой точки М прямой ОМ > ОН = r (наклонная больше перпендикуляра), поэтому Н — единственная общая точка: прямая касается окружности.
Если d > r, то для любой точки М прямой ОМ ≥ ОН > r, общих точек нет.
Если d < r, на прямой от точки Н откладываем отрезки НА = НВ = √(r² − d²); по теореме Пифагора ОА = ОВ = r, значит, А и В — общие точки. Других общих точек нет: иначе из О проводились бы два разных перпендикуляра к р. Итак, при d < r прямая и окружность имеют две общие точки (прямая — секущая).
Если d = r, точка Н лежит на окружности, а для любой другой точки М прямой ОМ > ОН = r (наклонная больше перпендикуляра), поэтому Н — единственная общая точка: прямая касается окружности.
Если d > r, то для любой точки М прямой ОМ ≥ ОН > r, общих точек нет.
Вопрос 2. Объясните, как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Пусть М — данная точка окружности с центром О. Проводим радиус ОМ и через точку М строим прямую, перпендикулярную ОМ (циркулем и линейкой или угольником). Эта прямая и есть касательная: она перпендикулярна радиусу в его конце, лежащем на окружности.
Вопрос 3. Объясните, почему две окружности не могут иметь три общие точки.
Пусть две окружности с разными центрами О1 и О2 имеют три общие точки А, В, С. Каждая из точек О1 и О2 равноудалена от А, В, С, поэтому обе лежат на серединном перпендикуляре l1 к АВ и на серединном перпендикуляре l2 к ВС. Различные прямые l1 и l2 тогда проходят через две точки О1 и О2, что противоречит аксиоме: через две точки проходит единственная прямая. (Если центры совпадают, а окружности различны, общих точек нет вовсе.)
Вопрос 4. Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.
Пусть центры О1 и О2 не совпадают, О1О2 = d, радиусы R ≥ r.
R − r < d < R + r: окружности пересекаются в двух точках.
d = R + r: касаются внешним образом (одна общая точка).
d = R − r (R > r): касаются внутренним образом.
d > R + r: общих точек нет, каждая окружность лежит вне другой.
d < R − r: общих точек нет, меньшая окружность лежит внутри большей.
При совпадающих центрах окружности концентрические. Доказательство использует лемму: если a + b > c, b + c > a, a + c > b, то существует треугольник со сторонами a, b, c (для пересечения берётся треугольник О1М1О2 со сторонами d, R, r), а для касаний — неравенство треугольника.
R − r < d < R + r: окружности пересекаются в двух точках.
d = R + r: касаются внешним образом (одна общая точка).
d = R − r (R > r): касаются внутренним образом.
d > R + r: общих точек нет, каждая окружность лежит вне другой.
d < R − r: общих точек нет, меньшая окружность лежит внутри большей.
При совпадающих центрах окружности концентрические. Доказательство использует лемму: если a + b > c, b + c > a, a + c > b, то существует треугольник со сторонами a, b, c (для пересечения берётся треугольник О1М1О2 со сторонами d, R, r), а для касаний — неравенство треугольника.
Вопрос 5. Как зависит количество общих касательных от взаимного расположения двух окружностей?
Одна окружность внутри другой — общих касательных нет; касание внутренним образом — одна общая касательная; пересекаются — две; касание внешним образом — три (две внешние и одна внутренняя); окружности лежат одна вне другой — четыре (две внешние и две внутренние).
Вопрос 6. Какой угол называется центральным углом окружности?
Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре окружности.
Вопрос 7. Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокружности.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, — диаметр. Если центральный угол АОВ неразвёрнутый, то дуга АВ, лежащая внутри этого угла, меньше полуокружности, а другая дуга с теми же концами больше полуокружности.
Вопрос 8. Как определяется градусная мера дуги?
Как она обозначается?
Если дуга меньше полуокружности или является полуокружностью, её мера равна мере соответствующего центрального угла АОВ. Если дуга больше полуокружности, её мера равна 360° − ∠АОВ. Сумма мер двух дуг с общими концами равна 360°. Градусная мера дуги АВ обозначается тем же символом дуги: ⌣АВ (⌣АLВ), например ⌣СВ = 145°.
Вопрос 9. Какой угол называется вписанным?
Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.
Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность.
Теорема: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство. Пусть ∠АВС вписан в окружность с центром О. Рассмотрим расположение луча ВО.
1) Луч ВО совпадает со стороной ВС. Тогда дуга АС меньше полуокружности, ∠АОС = ⌣АС. Угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АВО, ∠АОС = ∠1 + ∠2, где ∠1 = ∠АВС и ∠2 = ∠ВАО — углы при основании равнобедренного треугольника ВОА (ОА = ОВ), поэтому ∠АОС = 2∠АВС. Значит, ∠АВС = ½ ⌣АС.
2) Луч ВО лежит внутри угла АВС и пересекает дугу АС в точке D. По п. 1 ∠АВD = ½ ⌣АD, ∠DВС = ½ ⌣DС. Складывая, ∠АВС = ½ (⌣АD + ⌣DС) = ½ ⌣АС.
3) Луч ВО лежит вне угла АВС. Проводим диаметр ВD, тогда ∠АВС = ∠DВС − ∠DВА (или наоборот), по п. 1 равен ½ ⌣DС − ½ ⌣DА = ½ ⌣АС. Теорема доказана.
Теорема: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство. Пусть ∠АВС вписан в окружность с центром О. Рассмотрим расположение луча ВО.
1) Луч ВО совпадает со стороной ВС. Тогда дуга АС меньше полуокружности, ∠АОС = ⌣АС. Угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АВО, ∠АОС = ∠1 + ∠2, где ∠1 = ∠АВС и ∠2 = ∠ВАО — углы при основании равнобедренного треугольника ВОА (ОА = ОВ), поэтому ∠АОС = 2∠АВС. Значит, ∠АВС = ½ ⌣АС.
2) Луч ВО лежит внутри угла АВС и пересекает дугу АС в точке D. По п. 1 ∠АВD = ½ ⌣АD, ∠DВС = ½ ⌣DС. Складывая, ∠АВС = ½ (⌣АD + ⌣DС) = ½ ⌣АС.
3) Луч ВО лежит вне угла АВС. Проводим диаметр ВD, тогда ∠АВС = ∠DВС − ∠DВА (или наоборот), по п. 1 равен ½ ⌣DС − ½ ⌣DА = ½ ⌣АС. Теорема доказана.
Вопрос 10. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Каждый вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги (теорема о вписанном угле). Следовательно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны одному и тому же числу — её половине.