Глава IX. §2. Центральные и вписанные углы — с. 206
779. Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажите, что если AB — диаметр окружности, то ∠C > ∠A и ∠C > ∠B.
Угол С вписанный и опирается на диаметр АВ, значит, ∠С = 90°. В треугольнике сумма углов 180°, поэтому ∠А + ∠В = 90°, откуда каждый из углов А и В меньше 90°. Итак, ∠С > ∠А и ∠С > ∠В.
780. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
Пусть АВ — диаметр, С — точка окружности, СН ⊥ АВ. Угол АСВ опирается на диаметр, поэтому ∠АСВ = 90°, и СН — высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла. Прямоугольные треугольники АНС и СНВ подобны: ∠АСН = 90° − ∠САН = ∠СВН. Из подобия АН : СН = СН : НВ, то есть СН² = АН · НВ, и СН — среднее пропорциональное для АН и НВ. (Если С — конец диаметра, то СН = 0 и утверждение тривиально.)
781. Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 780, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.
Пусть даны отрезки а и b.
Построение.
1) На произвольной прямой откладываем АН = а, затем НВ = b (точка Н между А и В), АВ = а + b.
2) Строим середину О отрезка АВ и полуокружность с диаметром АВ.
3) Через точку Н строим перпендикуляр к АВ; он пересекает полуокружность в точке С.
Отрезок СН — искомый.
Доказательство. По задаче 780 перпендикуляр СН к диаметру есть среднее пропорциональное для отрезков АН = а и НВ = b, то есть СН = √(ab).
Задача имеет единственное решение (с точностью до расположения).
Построение.
1) На произвольной прямой откладываем АН = а, затем НВ = b (точка Н между А и В), АВ = а + b.
2) Строим середину О отрезка АВ и полуокружность с диаметром АВ.
3) Через точку Н строим перпендикуляр к АВ; он пересекает полуокружность в точке С.
Отрезок СН — искомый.
Доказательство. По задаче 780 перпендикуляр СН к диаметру есть среднее пропорциональное для отрезков АН = а и НВ = b, то есть СН = √(ab).
Задача имеет единственное решение (с точностью до расположения).
782. Стороны угла O касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой ОА.
Пусть О1 и О2 — центры окружностей. Каждая из них касается обеих сторон угла, значит, её центр равноудалён от сторон угла и лежит на биссектрисе угла О (точки, равноудалённые от сторон угла, лежат на его биссектрисе). Итак, О1 и О2 лежат на биссектрисе l, и точка О тоже лежит на l. Далее, окружности имеют общую касательную m в точке А; радиусы О1А и О2А перпендикулярны m, поэтому О1, О2 и А лежат на одной прямой — перпендикуляре к m в точке А. Центры различны (концентрические окружности не имеют общей точки, если различны), значит, прямая О1О2 одна и та же: это и l, и перпендикуляр к m. Следовательно, точка А тоже лежит на l, и точки О, А, О1, О2 принадлежат одной прямой ОА. Что и требовалось доказать.
783. На клетчатой бумаге изображены окружности и связанные с ними углы. По данным рисунка 267 найдите величину угла АВС. [рисунок 267: семь клетчатых фрагментов а–ж с окружностью, центром О и точками А, В, С]
Положение точек определяем по клеткам.
а) Точки А и С лежат на окружности под углами 225° и 315° от направления на В (точка В на горизонтали через О), поэтому дуга АС, не содержащая В, равна 90° и ∠АВС = 45°.
б) Точки А и С симметричны относительно вертикали ОВ, ∠АОС = 90°, дуга АС (не содержащая В) равна 90°: ∠АВС = 45°.
в) Дуга АС, не содержащая В, равна 120° (точки В и С симметричны, А вверху над О): ∠АВС = 60°.
г) Дуга АС, не содержащая В, равна 270°: ∠АВС = 135°.
д) ВС касается окружности в точке В, ВА — диагональ клетки, т. е. образует с горизонтальной касательной угол 45°: ∠АВС = 45° (дуга АВ равна 90°).
е) Прямая ВА идёт по диагоналям клеток, ВС — по линии сетки, угол между ними 45°.
ж) Аналогично, прямая ВА идёт по диагоналям клеток, ВС горизонтальна: ∠АВС = 45°.
Ответ: а) 45°; б) 45°; в) 60°; г) 135°; д) 45°; е) 45°; ж) 45°.
Оговорка: величины определены по положению точек относительно клеток на рисунке.
а) Точки А и С лежат на окружности под углами 225° и 315° от направления на В (точка В на горизонтали через О), поэтому дуга АС, не содержащая В, равна 90° и ∠АВС = 45°.
б) Точки А и С симметричны относительно вертикали ОВ, ∠АОС = 90°, дуга АС (не содержащая В) равна 90°: ∠АВС = 45°.
в) Дуга АС, не содержащая В, равна 120° (точки В и С симметричны, А вверху над О): ∠АВС = 60°.
г) Дуга АС, не содержащая В, равна 270°: ∠АВС = 135°.
д) ВС касается окружности в точке В, ВА — диагональ клетки, т. е. образует с горизонтальной касательной угол 45°: ∠АВС = 45° (дуга АВ равна 90°).
е) Прямая ВА идёт по диагоналям клеток, ВС — по линии сетки, угол между ними 45°.
ж) Аналогично, прямая ВА идёт по диагоналям клеток, ВС горизонтальна: ∠АВС = 45°.
Ответ: а) 45°; б) 45°; в) 60°; г) 135°; д) 45°; е) 45°; ж) 45°.
Оговорка: величины определены по положению точек относительно клеток на рисунке.