Глава IX. §2. Центральные и вписанные углы — с. 204
762. Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду AB так, чтобы: а) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 120°; г) ∠AOB = 180°.
Проводим радиус ОА. Центральный угол AOB измеряем транспортиром или строим так:
а) 60°: от точки А циркулем раствором ОА отмечаем на окружности точку В (треугольник АОВ равносторонний, ∠АОВ = 60°). Хорда АВ — искомая (на рисунке хорда АВ).
б) 90°: через центр О проводим прямую, перпендикулярную ОА, она пересекает окружность в точке С; хорда АС даёт ∠АОС = 90°.
в) 120°: от точки В откладываем тем же раствором циркуля ещё одну дугу и получаем точку D с ∠ВОD = 60°, тогда ∠АОD = 120°; хорда АD — искомая. Другой способ: ∠АОD = 180° − 60°.
г) 180°: проводим диаметр, т. е. прямую АО до пересечения с окружностью в точке Е; хорда АЕ — диаметр, ∠АОЕ = 180°.
Хорд с нужным углом в каждом случае две (симметричные относительно прямой ОА); на рисунке показана одна из них.
а) 60°: от точки А циркулем раствором ОА отмечаем на окружности точку В (треугольник АОВ равносторонний, ∠АОВ = 60°). Хорда АВ — искомая (на рисунке хорда АВ).
б) 90°: через центр О проводим прямую, перпендикулярную ОА, она пересекает окружность в точке С; хорда АС даёт ∠АОС = 90°.
в) 120°: от точки В откладываем тем же раствором циркуля ещё одну дугу и получаем точку D с ∠ВОD = 60°, тогда ∠АОD = 120°; хорда АD — искомая. Другой способ: ∠АОD = 180° − 60°.
г) 180°: проводим диаметр, т. е. прямую АО до пересечения с окружностью в точке Е; хорда АЕ — диаметр, ∠АОЕ = 180°.
Хорд с нужным углом в каждом случае две (симметричные относительно прямой ОА); на рисунке показана одна из них.
763. Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду AB, если: а) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 180°.
а) Треугольник АОВ равнобедренный с углом 60° при вершине, значит, равносторонний: АВ = 16.
б) Прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами 16: АВ = 16√2.
в) Хорда АВ — диаметр: АВ = 2 · 16 = 32.
Ответ: а) 16; б) 16√2; в) 32.
б) Прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами 16: АВ = 16√2.
в) Хорда АВ — диаметр: АВ = 2 · 16 = 32.
Ответ: а) 16; б) 16√2; в) 32.
764. Хорды AB и CD окружности с центром O равны. а) Докажите, что две дуги с концами A и B соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если ∠AOB = 112°.
а) Треугольники АОВ и СОD равны по трём сторонам (АО = ВО = СО = DО = r, АВ = СD). Поэтому ∠АОВ = ∠СОD. Меньшая дуга с концами А и В по градусной мере равна ∠АОВ, меньшая дуга СD равна ∠СОD, следовательно, они равны; большие дуги равны 360° минус эти равные меры, значит, тоже равны. (Если угол развёрнутый, обе хорды — диаметры, и дуги — полуокружности.)
б) Меньшая дуга СD = ∠СОD = ∠АОВ = 112°, большая дуга 360° − 112° = 248°.
Ответ: 112° и 248°.
б) Меньшая дуга СD = ∠СОD = ∠АОВ = 112°, большая дуга 360° − 112° = 248°.
Ответ: 112° и 248°.