Глава IX. Окружность. §1. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей — с. 199
761. Постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне окружности.
Пусть дана окружность с центром О и точка М вне её.
Построение.
1) Соединяем О и М и строим середину О1 отрезка ОМ (серединный перпендикуляр).
2) Строим окружность с центром О1 и радиусом О1М = ОМ/2.
3) Эта окружность пересекает данную в точках K и K1.
4) Проводим прямые МK и МK1 — искомые касательные.
Доказательство. Углы МKО и МK1О вписаны в окружность с центром О1 и опираются на диаметр ОМ, поэтому они прямые. Значит, МK ⊥ ОK и МK1 ⊥ ОK1, то есть эти прямые перпендикулярны радиусам в точках окружности и являются касательными.
Исследование. Пусть ОМ = d, радиус данной окружности R, d > R. Расстояние между центрами О и О1 равно d/2, радиусы R и d/2, и |R − d/2| < d/2 < R + d/2, так как 0 < R < d. Окружности пересекаются в двух точках, поэтому задача имеет два решения.
Построение.
1) Соединяем О и М и строим середину О1 отрезка ОМ (серединный перпендикуляр).
2) Строим окружность с центром О1 и радиусом О1М = ОМ/2.
3) Эта окружность пересекает данную в точках K и K1.
4) Проводим прямые МK и МK1 — искомые касательные.
Доказательство. Углы МKО и МK1О вписаны в окружность с центром О1 и опираются на диаметр ОМ, поэтому они прямые. Значит, МK ⊥ ОK и МK1 ⊥ ОK1, то есть эти прямые перпендикулярны радиусам в точках окружности и являются касательными.
Исследование. Пусть ОМ = d, радиус данной окружности R, d > R. Расстояние между центрами О и О1 равно d/2, радиусы R и d/2, и |R − d/2| < d/2 < R + d/2, так как 0 < R < d. Окружности пересекаются в двух точках, поэтому задача имеет два решения.