Глава IX. Окружность. §1. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей — с. 197
737. Начертите прямую а и отметьте точку О, не лежащую на этой прямой. Постройте окружность с центром О так, чтобы она: а) не имела с прямой а общих точек; б) пересекалась с прямой а в двух точках; в) касалась прямой а.
Опустим из точки О перпендикуляр ОН на прямую а и измерим d = ОН (на рисунке d = 80 условных единиц).
а) Окружность с центром О и радиусом r < d (на рисунке 45) не имеет с прямой общих точек: расстояние от центра до прямой больше радиуса.
б) Окружность радиуса r > d (на рисунке 110) пересекает прямую в двух точках: расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
в) Окружность радиуса r = d = ОН (на рисунке 80) касается прямой а в точке Н: у неё с прямой ровно одна общая точка.
а) Окружность с центром О и радиусом r < d (на рисунке 45) не имеет с прямой общих точек: расстояние от центра до прямой больше радиуса.
б) Окружность радиуса r > d (на рисунке 110) пересекает прямую в двух точках: расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
в) Окружность радиуса r = d = ОН (на рисунке 80) касается прямой а в точке Н: у неё с прямой ровно одна общая точка.
738. Начертите прямую а и отметьте на ней точку М. Постройте окружность так, чтобы она касалась прямой а в точке М.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому центр окружности лежит на перпендикуляре к прямой а в точке М.
1) Строим прямую, проходящую через М и перпендикулярную а (угольником или циркулем и линейкой).
2) Отмечаем на этом перпендикуляре любую точку О, отличную от М.
3) Строим окружность с центром О и радиусом ОМ.
Прямая а перпендикулярна радиусу ОМ в его конце М, лежащем на окружности, значит, а касается окружности в точке М. Задача имеет бесконечно много решений (центр можно взять по любую сторону от а и на любом расстоянии).
1) Строим прямую, проходящую через М и перпендикулярную а (угольником или циркулем и линейкой).
2) Отмечаем на этом перпендикуляре любую точку О, отличную от М.
3) Строим окружность с центром О и радиусом ОМ.
Прямая а перпендикулярна радиусу ОМ в его конце М, лежащем на окружности, значит, а касается окружности в точке М. Задача имеет бесконечно много решений (центр можно взять по любую сторону от а и на любом расстоянии).
739. Начертите прямую и отметьте на ней две точки А и В. Постройте окружности с центрами в точках А и В так чтобы: а) окружности не имели общих точек и одна окружность лежала внутри другой; б) окружности не имели общих точек и одна окружность лежала вне другой; в) окружности пересекались в двух точках; г) окружности касались внешним образом; д) окружности касались внутренним образом.
Пусть АВ = d (например, d = 6 см). Радиусы окружностей с центрами А и В обозначим R и r (R ≥ r). Нужное расположение определяется соотношением d с R + r и R − r.
а) d < R − r: например, d = 6 см, R = 9 см, r = 2 см. Меньшая окружность лежит внутри большей, общих точек нет.
б) d > R + r: например, R = 3 см, r = 2 см (3 + 2 = 5 < 6). Окружности лежат одна вне другой.
в) R − r < d < R + r: например, R = 4 см, r = 3,5 см (0,5 < 6 < 7,5). Окружности пересекаются в двух точках.
г) d = R + r: например, R = 4 см, r = 2 см. Окружности касаются внешним образом в точке отрезка АВ.
д) d = R − r: например, R = 8 см, r = 2 см. Окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на прямой АВ вне отрезка АВ.
В каждом случае строим две окружности циркулем с указанными радиусами и проверяем взаимное расположение по теореме п. 77. На рисунке d = АВ = 24 условным единицам: а) R = 30, r = 5; б) R = 10, r = 8; в) R = 20, r = 12; г) R = 16, r = 8; д) R = 32, r = 8.
а) d < R − r: например, d = 6 см, R = 9 см, r = 2 см. Меньшая окружность лежит внутри большей, общих точек нет.
б) d > R + r: например, R = 3 см, r = 2 см (3 + 2 = 5 < 6). Окружности лежат одна вне другой.
в) R − r < d < R + r: например, R = 4 см, r = 3,5 см (0,5 < 6 < 7,5). Окружности пересекаются в двух точках.
г) d = R + r: например, R = 4 см, r = 2 см. Окружности касаются внешним образом в точке отрезка АВ.
д) d = R − r: например, R = 8 см, r = 2 см. Окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на прямой АВ вне отрезка АВ.
В каждом случае строим две окружности циркулем с указанными радиусами и проверяем взаимное расположение по теореме п. 77. На рисунке d = АВ = 24 условным единицам: а) R = 30, r = 5; б) R = 10, r = 8; в) R = 20, r = 12; г) R = 16, r = 8; д) R = 32, r = 8.
740. Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса r до прямой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если: а) r = 16 см, d = 12 см; б) r = 5 см, d = 4,2 см; в) r = 7,2 дм, d = 3,7 дм; г) r = 8 см, d = 1,2 дм; д) r = 5 см, d = 50 мм?
Если d < r, прямая секущая (две общие точки); если d = r, прямая касается окружности; если d > r, общих точек нет. Величины сравниваем в одних единицах.
а) 12 < 16: прямая пересекает окружность в двух точках.
б) 4,2 < 5: две общие точки.
в) 3,7 < 7,2: две общие точки.
г) d = 1,2 дм = 12 см > 8 см: общих точек нет.
д) d = 50 мм = 5 см = r: прямая касается окружности.
а) 12 < 16: прямая пересекает окружность в двух точках.
б) 4,2 < 5: две общие точки.
в) 3,7 < 7,2: две общие точки.
г) d = 1,2 дм = 12 см > 8 см: общих точек нет.
д) d = 50 мм = 5 см = r: прямая касается окружности.
741. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.
Пусть О — центр, r — радиус, ОА < r, p — произвольная прямая через А, d — расстояние от О до p. Если А совпадает с основанием перпендикуляра, то d = ОА. Иначе перпендикуляр ОН к p короче наклонной ОА, то есть d = ОН < ОА. В обоих случаях d ≤ ОА < r. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса, значит, прямая p имеет с окружностью две общие точки, то есть является секущей. Что и требовалось доказать.
742. Даны квадрат ОАВС со стороной, равной 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?
Найдём расстояния от точки О до каждой прямой и сравним с r = 5 см.
Прямая ОА проходит через центр: d = 0 < 5, секущая.
Прямая АВ перпендикулярна ОА (угол А квадрата прямой), поэтому расстояние от О до АВ равно ОА = 6 см > 5 см: общих точек нет.
Прямая ВС параллельна ОА, расстояние от О до ВС равно ОС = 6 см > 5 см: общих точек нет.
Прямая АС — диагональ, проходит через центр квадрата, но не через О. Расстояние от О до АС равно половине диагонали ОВ: ОВ = 6√2 см, половина равна 3√2 ≈ 4,24 см < 5 см, поэтому АС секущая.
Ответ: ОА и АС.
Прямая ОА проходит через центр: d = 0 < 5, секущая.
Прямая АВ перпендикулярна ОА (угол А квадрата прямой), поэтому расстояние от О до АВ равно ОА = 6 см > 5 см: общих точек нет.
Прямая ВС параллельна ОА, расстояние от О до ВС равно ОС = 6 см > 5 см: общих точек нет.
Прямая АС — диагональ, проходит через центр квадрата, но не через О. Расстояние от О до АС равно половине диагонали ОВ: ОВ = 6√2 см, половина равна 3√2 ≈ 4,24 см < 5 см, поэтому АС секущая.
Ответ: ОА и АС.
743. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ.
Пусть К — середина хорды АВ, К лежит на радиусе ОМ. Треугольник ОАВ равнобедренный (ОА = ОВ = r), ОК — его медиана, значит, и высота: ОК ⊥ АВ, то есть ОМ ⊥ АВ (если АВ — диаметр, то К = О и утверждение то же). Касательная в точке М перпендикулярна радиусу ОМ. Две прямые, перпендикулярные одной прямой ОМ, параллельны. Следовательно, касательная в точке М параллельна АВ.
744. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ОА = 2 см, а r = 1,5 см.
Радиус ОВ перпендикулярен касательной АВ, поэтому треугольник ОАВ прямоугольный с гипотенузой ОА. По теореме Пифагора АВ² = ОА² − ОВ² = 4 − 2,25 = 1,75, АВ = √1,75 = √7/2 см.
Ответ: √7/2 см (≈ 1,32 см).
Ответ: √7/2 см (≈ 1,32 см).
745. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ∠АОВ = 60°, а r = 12 см.
Треугольник ОАВ прямоугольный (ОВ ⊥ АВ), ОВ = 12 см, ∠О = 60°. Тогда АВ = ОВ · tg 60° = 12√3 см.
(Проверка: ∠А = 30°, ОА = 24 см, АВ² = 576 − 144 = 432, АВ = 12√3.)
Ответ: 12√3 см.
(Проверка: ∠А = 30°, ОА = 24 см, АВ² = 576 − 144 = 432, АВ = 12√3.)
Ответ: 12√3 см.
746. Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠АМС = 3∠ВМС.
Отрезки касательных из одной точки равны, МО — биссектриса угла АМВ: пусть ∠ВМО = α, тогда ∠АМВ = 2α. Так как ОВ ⊥ МВ и точка В — середина ОС, то МВ — высота и медиана треугольника МОС, следовательно, он равнобедренный и МВ — биссектриса угла ОМС: ∠ВМС = ∠ВМО = α. Тогда ∠АМС = ∠АМВ + ∠ВМС = 2α + α = 3α = 3∠ВМС. Что и требовалось доказать.
747. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка А1В1.
Пусть О — центр, Т — точка касания, l — касательная. ОТ ⊥ l, АА1 ⊥ l, ВВ1 ⊥ l, значит, АА1 ∥ ОТ ∥ ВВ1. Прямая ОТ проходит через середину О стороны АВ трапеции АА1В1В (основания АА1 и ВВ1, она не вырожденная, так как АВ не перпендикулярен l) и параллельна основаниям. По теореме Фалеса параллельные прямые АА1, ОТ, ВВ1 отсекают на секущих АВ и А1В1 пропорциональные отрезки: так как АО = ОВ, то и А1Т = ТВ1. Значит, Т — середина А1В1. Что и требовалось доказать.