Глава IX. Окружность. §1. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей — с. 198
748. В прямоугольной трапеции ABCD ∠A = ∠D = 90°. Докажите, что: а) прямая AD является касательной к окружности с центром B радиуса AB; б) прямая CD является касательной к окружности с центром A радиуса AD; в) прямая CD не является касательной к окружности с центром В радиуса BC.
Так как АВ ⊥ AD и CD ⊥ AD, прямые АВ и CD параллельны: основания трапеции АВ и CD, боковые стороны ВС и AD, причём AD перпендикулярна основаниям. Считаем, что трапеция не прямоугольник (ВС не перпендикулярна основаниям).
а) АВ — радиус окружности с центром В, проведённый в точку А, и AD ⊥ АВ. Прямая, перпендикулярная радиусу в его конце на окружности, является касательной. Значит, AD касается окружности.
б) AD — радиус окружности с центром А, проведённый в точку D, и CD ⊥ AD, поэтому CD — касательная.
в) Расстояние от точки В до прямой CD равно AD (общий перпендикуляр параллельных прямых). Радиус ВС — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом AD и катетом, равным разности оснований, поэтому ВС > AD. Расстояние от центра до прямой CD меньше радиуса, значит, CD — секущая, а не касательная.
а) АВ — радиус окружности с центром В, проведённый в точку А, и AD ⊥ АВ. Прямая, перпендикулярная радиусу в его конце на окружности, является касательной. Значит, AD касается окружности.
б) AD — радиус окружности с центром А, проведённый в точку D, и CD ⊥ AD, поэтому CD — касательная.
в) Расстояние от точки В до прямой CD равно AD (общий перпендикуляр параллельных прямых). Радиус ВС — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом AD и катетом, равным разности оснований, поэтому ВС > AD. Расстояние от центра до прямой CD меньше радиуса, значит, CD — секущая, а не касательная.
749. Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, ОА = 4 см; в) ∠HAO = 30°, ОА = 6 см?
Прямая АН перпендикулярна прямой ОН. Расстояние от центра О до прямой АН равно длине отрезка ОН (ОН ⊥ АН). Прямая АН — касательная, если ОН = 3 см.
а) ОН² = 25 − 16 = 9, ОН = 3 см = r: да.
б) В прямоугольном треугольнике ОНА ∠А = 45°, ОН = ОА · sin 45° = 4 · √2/2 = 2√2 ≈ 2,83 см < 3 см: нет (прямая — секущая).
в) ОН = ОА · sin 30° = 6 · 1/2 = 3 см = r: да.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
а) ОН² = 25 − 16 = 9, ОН = 3 см = r: да.
б) В прямоугольном треугольнике ОНА ∠А = 45°, ОН = ОА · sin 45° = 4 · √2/2 = 2√2 ≈ 2,83 см < 3 см: нет (прямая — секущая).
в) ОН = ОА · sin 30° = 6 · 1/2 = 3 см = r: да.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
750. Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 5 см и 3 см. Каким целым числом может быть расстояние между их центрами?
Окружности пересекаются, если R − r < d < R + r, то есть 5 − 3 < d < 5 + 3, 2 < d < 8. Целые значения: 3, 4, 5, 6, 7 см.
751. Две окружности радиусов 7 см и 3 см касаются внутренним образом. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
При внутреннем касании d = R − r = 7 − 3 = 4 см.
752. Две окружности радиусов 10 см и 6 см касаются внешним образом. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
При внешнем касании d = R + r = 10 + 6 = 16 см.
753. Окружность радиуса 8 см расположена вне окружности радиуса r. Каким целым числом может быть r, если расстояние между центрами этих окружностей равно 14 см?
Окружности расположены одна вне другой, если d > R + r, то есть 14 > 8 + r, r < 6. Так как r > 0, целые значения r: 1, 2, 3, 4, 5 см.
754. Определите взаимное расположение двух окружностей, радиусы которых равны 5 и 9, если расстояние между их центрами равно: а) 16; б) 14; в) 7; г) 4.
Здесь R + r = 14, R − r = 4.
а) d = 16 > 14: окружности не имеют общих точек, каждая лежит вне другой.
б) d = 14 = R + r: касаются внешним образом.
в) 4 < 7 < 14: пересекаются в двух точках.
г) d = 4 = R − r: касаются внутренним образом.
а) d = 16 > 14: окружности не имеют общих точек, каждая лежит вне другой.
б) d = 14 = R + r: касаются внешним образом.
в) 4 < 7 < 14: пересекаются в двух точках.
г) d = 4 = R − r: касаются внутренним образом.
755. Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами О1 и О2 и радиусами R и r, если: а) О1О2 = 12 см, R = 8 см, r = 6 см; б) О1О2 = 12 см, R = 8 см, r = 4 см; в) О1О2 = 12 см, R = 6 см, r = 4 см; г) О1О2 = 2 см, R = 8 см, r = 6 см; д) О1О2 = 3 см, R = 5 см, r = 4 см?
Число общих касательных: 4 — окружности вне друг друга (d > R + r); 3 — внешнее касание (d = R + r); 2 — пересечение; 1 — внутреннее касание (d = R − r); 0 — одна внутри другой (d < R − r).
а) R + r = 14, R − r = 2; 2 < 12 < 14: пересекаются, две касательные.
б) R + r = 12 = d: внешнее касание, три касательные.
в) R + r = 10 < 12: четыре касательные.
г) R − r = 2 = d: внутреннее касание, одна касательная.
д) R + r = 9, R − r = 1; 1 < 3 < 9, окружности пересекаются в двух точках, значит, имеют две общие касательные.
Оговорка: по условию д) (d = 3, R = 5, r = 4) окружности пересекаются, поэтому получаем две общие касательные.
а) R + r = 14, R − r = 2; 2 < 12 < 14: пересекаются, две касательные.
б) R + r = 12 = d: внешнее касание, три касательные.
в) R + r = 10 < 12: четыре касательные.
г) R − r = 2 = d: внутреннее касание, одна касательная.
д) R + r = 9, R − r = 1; 1 < 3 < 9, окружности пересекаются в двух точках, значит, имеют две общие касательные.
Оговорка: по условию д) (d = 3, R = 5, r = 4) окружности пересекаются, поэтому получаем две общие касательные.
756. Три равные окружности радиуса r касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого являются: а) центры данных окружностей; б) точки касания данных окружностей.
а) Центры О1, О2, О3: при внешнем касании расстояние между центрами равно r + r = 2r, поэтому О1О2 = О2О3 = О1О3 = 2r. Треугольник равносторонний, все углы 60°.
б) Точка касания двух окружностей лежит на отрезке, соединяющем их центры, и равноудалена от них (радиусы равны), то есть является серединой стороны треугольника О1О2О3. Треугольник с вершинами в точках касания — средний треугольник равностороннего треугольника со стороной 2r, его стороны равны половине стороны, то есть r, углы по 60°.
Ответ: а) 2r, 2r, 2r; 60°, 60°, 60°; б) r, r, r; 60°, 60°, 60°.
б) Точка касания двух окружностей лежит на отрезке, соединяющем их центры, и равноудалена от них (радиусы равны), то есть является серединой стороны треугольника О1О2О3. Треугольник с вершинами в точках касания — средний треугольник равностороннего треугольника со стороной 2r, его стороны равны половине стороны, то есть r, углы по 60°.
Ответ: а) 2r, 2r, 2r; 60°, 60°, 60°; б) r, r, r; 60°, 60°, 60°.
757. В угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.
Пусть О — вершина угла, О1 и О2 — центры окружностей, радиусы r и R. Центры лежат на биссектрисе угла (равноудалены от сторон), каждая половина угла равна 30°. Расстояние от центра окружности до стороны угла равно радиусу, а в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий против этого угла, вдвое меньше гипотенузы: ОО1 = 2r, ОО2 = 2R. Окружности касаются внешне: О1О2 = R + r. Так как ОО2 − ОО1 = О1О2, то 2R − 2r = R + r, откуда R = 3r.
Ответ: 3r.
Ответ: 3r.
758. Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то окружности касаются внешним образом.
Пусть О1О2 = d = R + r. На отрезке О1О2 отметим точку K так, что О1K = R; тогда KО2 = d − R = r. Значит, K лежит на обеих окружностях — общая точка. Докажем, что других общих точек нет. Пусть М — общая точка, не лежащая на прямой О1О2 (если М на прямой, то она единственная: на луче О1О2 на расстоянии R от О1 находится только K, а точка на противоположном луче была бы дальше от О2 чем d, то есть не на окружности радиуса r). Тогда в треугольнике О1МО2 по неравенству треугольника О1О2 < О1М + МО2 = R + r = d, противоречие. Значит, общая точка единственная, окружности касаются; все остальные точки каждой окружности лежат вне другой, то есть касание внешнее.
759. Докажите утверждение 4 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы радиусов этих окружностей, то окружности не имеют общих точек, причём одна окружность лежит вне другой окружности.
Пусть d = О1О2 > R + r. Допустим, что у окружностей есть общая точка М. Тогда О1М = R, О2М = r, и по неравенству треугольника (для точек О1, М, О2, возможно лежащих на одной прямой) О1О2 ≤ О1М + МО2 = R + r < d — противоречие. Значит, общих точек нет. Далее для любой точки М окружности с центром О2: О1М ≥ О1О2 − О2М = d − r > R, то есть каждая точка второй окружности лежит вне первой. Следовательно, вторая окружность лежит вне первой.
760. Докажите утверждение 5 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей с неравными радиусами меньше разности радиусов, то одна окружность лежит внутри другой окружности.
Пусть R > r, d = О1О2 < R − r. Возьмём любую точку М окружности с центром О2 (О2М = r). По неравенству треугольника О1М ≤ О1О2 + О2М = d + r < (R − r) + r = R. Значит, каждая точка окружности с центром О2 удалена от О1 меньше чем на R, то есть лежит внутри окружности с центром О1. Общих точек нет, и вторая окружность лежит внутри первой.