Геометрия · 8 КЛАСС

Упражнения 765–778 — Глава IX. §2. Центральные и вписанные углы

Страница 205 · Геометрия Атанасян 7-9 класс

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов · Просвещение, 2024 · 15-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава IX. §2. Центральные и вписанные углы — с. 205

765. На полуокружности AB взяты точки С и D так, что ⌣АС = 37°, ⌣BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.
Полуокружность AB равна 180°. Дуга СD = 180° − 37° − 23° = 120° (точки А, С, D, В идут по порядку), поэтому ∠СОD = 120°. Треугольник СОD равнобедренный: ОС = ОD = 15 см. По теореме косинусов CD² = 15² + 15² − 2 · 15 · 15 · cos 120° = 225 + 225 + 225 = 675, CD = 15√3 см.
Ответ: 15√3 см.
766. Найдите вписанный угол ABC, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
а) 24°; б) 28,5° (28°30′); в) 45°; г) 62°; д) 90°.
767. По данным рисунка 266 найдите х. [рисунок 266: а) вписанный угол х, вне угла дуги 152° и 80°; б) вписанный угол 30°, дуга 125°, неизвестная дуга х; в) вписанный угол х, одна сторона — диаметр, дуга 112°, полуокружность 180°; г) вписанный угол 20°, дуга х, дуга 215°]
а) Дуга, на которую опирается угол х, равна 360° − 152° − 80° = 128°. Тогда х = 128° : 2 = 64°.
б) Угол 30° опирается на дугу 60°. Три дуги окружности (125°, 60° и х) составляют 360°: х = 360° − 125° − 60° = 175°.
в) Сторона угла — диаметр, дуга, лежащая слева, 112°, значит, дуга между концом хорды и концом диаметра равна 180° − 112° = 68°. Угол х опирается на эту дугу: х = 68° : 2 = 34°.
г) Угол 20° опирается на дугу 40°. Тогда х = 360° − 215° − 40° = 105°.
Ответ: а) 64°; б) 175°; в) 34°; г) 105°.
768. Центральный угол AOB на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу AB. Найдите каждый из этих углов.
Пусть вписанный угол равен х.
Случай 1: дуга АВ меньше полуокружности. Центральный угол равен дуге, т. е. 2х. Тогда 2х = х + 30°, х = 30°, центральный угол 60°.
Случай 2: дуга АВ, на которую опирается вписанный угол, больше полуокружности. Тогда её мера 2х, а центральный угол АОВ равен 360° − 2х. Получаем 360° − 2х = х + 30°, х = 110°, центральный угол 140°.
Ответ: 60° и 30° или 140° и 110°.
769. Хорда AB стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол BAC.
Возможны два случая расположения точки С.
1) С лежит на дуге АВ, равной 115°. Тогда дуга ВС равна 115° − 43° = 72°, ∠ВАС = 72° : 2 = 36°.
2) С лежит на другой дуге. Дуга ВС, не содержащая А, равна 360° − 115° − 43° = 202°, ∠ВАС = 101°.
Ответ: 36° или 101°.
770. Точки A и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а бо́льшая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.
Большая дуга равна 360° − 140° = 220°. Делим в отношении 6 : 5: на одну часть приходится 220° : 11 = 20°, поэтому ⌣АМ = 120°, ⌣МВ = 100°. Угол ВАМ вписанный, опирается на дугу МВ (не содержащую А): ∠ВАМ = 100° : 2 = 50°.
Ответ: 50°.
771. В окружность вписан треугольник ABC так, что AB — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ⌣ВС = 134°; б) ⌣АС = 70°.
Угол С опирается на диаметр, поэтому ∠С = 90°.
а) ∠А опирается на дугу ВС: ∠А = 134° : 2 = 67°, ∠В = 90° − 67° = 23°.
б) ∠В опирается на дугу АС: ∠В = 35°, ∠А = 90° − 35° = 55°.
Ответ: а) ∠А = 67°, ∠В = 23°, ∠С = 90°; б) ∠А = 55°, ∠В = 35°, ∠С = 90°.
772. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ⌣ВС = 102°.
Дуга ВС в 102° может быть той, что не содержит точку А, или той, что содержит её.
1) Дуга ВС, не содержащая А, равна 102°: ∠А = 51°, ∠В = ∠С = (180° − 51°) : 2 = 64°30′.
2) Дуга ВС, содержащая А, равна 102°: тогда дуга ВС без А равна 258°, ∠А = 129°, ∠В = ∠С = (180° − 129°) : 2 = 25°30′.
Ответ: ∠А = 51°, ∠В = ∠С = 64°30′ или ∠А = 129°, ∠В = ∠С = 25°30′.
773. Через точку А к данной окружности проведены касательная АB (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если ⌣BD = 110°20′.
Так как AD проходит через центр, ВD — дуга, ∠ВОD = 110°20′ (дуга меньше полуокружности). Тогда ∠ВОА = 180° − 110°20′ = 69°40′ (смежные). Радиус ОВ ⊥ АВ, поэтому в прямоугольном треугольнике АВО ∠ВАD = 90° − 69°40′ = 20°20′. Треугольник ВОD равнобедренный (ОВ = ОD), ∠ADB = (180° − 110°20′) : 2 = 34°50′.
Ответ: ∠BAD = 20°20′, ∠ADB = 34°50′.
774. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.
Пусть хорды АВ и СD параллельны, точки А и С лежат по одну сторону, В и D — по другую. Проведём хорду АD. Накрест лежащие углы при параллельных АВ и СD и секущей АD равны: ∠ВАD = ∠АDС. Эти углы вписанные: ∠ВАD опирается на дугу ВD, ∠АDС — на дугу АС. Вписанные углы равны, значит, равны и дуги, на которые они опираются: ⌣ВD = ⌣АС. Это и есть дуги, заключённые между хордами. Что и требовалось доказать.
775. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Бо́льшая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу.
Угол между секущими равен полуразности дуг, заключённых между его сторонами: 32° = (100° − х) : 2, откуда 100° − х = 64°, х = 36°.
Ответ: 36°.
776. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны 140° и 52°.
Угол между секущими равен полуразности заключённых между ними дуг: (140° − 52°) : 2 = 44°. Угол острый.
Ответ: 44°.
777. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ⌣AD = 54°, ⌣ВС = 70°.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями. Для ∠ВЕС это дуги ВС и АD: ∠ВЕС = (70° + 54°) : 2 = 62°.
Ответ: 62°.
778. Отрезок АС — диаметр окружности, AB — хорда, МА — касательная, угол МAB острый. Докажите, что ∠MAB = ∠ACB.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри угла: ∠МАВ = ½ ⌣АВ (дуга АВ внутри угла МАВ; так как угол острый, это дуга меньше полуокружности, не содержащая точку С). Вписанный угол АСВ опирается на ту же дугу АВ, поэтому ∠АСВ = ½ ⌣АВ. Значит, ∠МАВ = ∠АСВ.