Глава IX. §3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников — с. 208
784. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырёхугольника.
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: АВ + СD = ВС + АD = 15 см. Периметр равен 15 + 15 = 30 см.
Ответ: 30 см.
Ответ: 30 см.
785. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: АВ + СD = ВС + АD. В параллелограмме АВ = СD и ВС = АD, поэтому 2АВ = 2ВС, то есть АВ = ВС. Параллелограмм с равными смежными сторонами — ромб.
786. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Пусть О — центр вписанной окружности радиуса r, стороны многоугольника a1, a2, …, an. Соединим О с вершинами; многоугольник разбивается на n треугольников, у каждого основание — сторона ai, а высота, проведённая из О, — радиус, проведённый в точку касания (он перпендикулярен касательной), то есть равна r. Площадь i-го треугольника равна ½ ai · r. Складывая, S = ½ r (a1 + … + an) = ½ P r.
787. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.
Суммы противоположных сторон равны, поэтому периметр Р = 2 · 12 = 24 см. По задаче 786 S = ½ Pr = ½ · 24 · 5 = 60 см².
Ответ: 60 см².
Ответ: 60 см².
788. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см². Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.
Периметр Р = 2 · 10 = 20 см. Из S = ½ Pr: 12 = ½ · 20 · r = 10r, r = 1,2 см.
Ответ: 1,2 см.
Ответ: 1,2 см.
789. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
Пусть ABCD — ромб, О — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому О равноудалена от сторон каждого угла: от АВ и АD (биссектриса угла А), от АВ и ВС (биссектриса угла В), от ВС и СD, от СD и DА. Значит, расстояния от О до всех четырёх сторон равны некоторому числу r. Окружность с центром О радиуса r касается всех четырёх сторон (расстояние от центра до каждой стороны равно r; основание перпендикуляра лежит на стороне, так как в прямоугольном треугольнике АОВ с острыми углами при А и В основание высоты из О лежит внутри гипотенузы АВ, и то же для других сторон). Значит, окружность вписана в ромб.