Глава IX. Дополнительные задачи — с. 211
803. На хорде AB окружности с центром O выбрана произвольная точка C. Через точки A, O и C проходит окружность, которая пересекает данную окружность в точке D. Докажите, что треугольник BCD равнобедренный.
В данной окружности ∠АОD = 2∠АВD (центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу АD). В окружности, проходящей через А, О, С, D, вписанные углы АСD и АОD опираются на одну дугу АD, поэтому ∠АСD = ∠АОD = 2∠АВD. Угол АСD — внешний угол треугольника ВСD при вершине С (С лежит на АВ), поэтому ∠АСD = ∠СВD + ∠СDВ = ∠АВD + ∠СDВ. Тогда ∠СDВ = ∠АСD − ∠АВD = 2∠АВD − ∠АВD = ∠АВD = ∠СВD. В треугольнике ВСD углы при стороне ВD равны, значит, СВ = СD, и он равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Оговорка: рассмотрено расположение, при котором точки О и С лежат по одну сторону от АD.
Оговорка: рассмотрено расположение, при котором точки О и С лежат по одну сторону от АD.
804. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: АВ + СD = ВС + АD. В прямоугольнике АВ = СD = a, ВС = АD = b, поэтому 2a = 2b, a = b. Прямоугольник с равными смежными сторонами — квадрат.
805. Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса r. Известно, что AB : CD = 2 : 3, AD : ВС = 2 :
1. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна S.
Пусть АВ = 2х, СD = 3х, АD = 2у, ВС = у. В описанном четырёхугольнике АВ + СD = ВС + АD: 5х = 3у, у = 5х/3. Периметр Р = 5х + 3у = 5х + 5х = 10х. По задаче 786 S = ½ Pr = 5хr, откуда х = S/(5r). Тогда АВ = 2х = 2S/(5r), СD = 3х = 3S/(5r), ВС = у = 5х/3 = S/(3r), АD = 2у = 2S/(3r).
Ответ: АВ = 2S/(5r), СD = 3S/(5r), ВС = S/(3r), АD = 2S/(3r).
Ответ: АВ = 2S/(5r), СD = 3S/(5r), ВС = S/(3r), АD = 2S/(3r).
806. Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
Пусть параллельные прямые а и b, содержащие основания, касаются окружности с центром О. Расстояния от О до а и до b равны радиусу r, а расстояние между а и b равно 2r (центр лежит между прямыми, так как окружность касается обеих). Значит, О лежит на прямой l, параллельной а и b и равноудалённой от них (множество точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, — такая прямая). Прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции (содержащая среднюю линию), параллельна основаниям и равноудалена от них, то есть совпадает с l. Следовательно, она проходит через центр О.
807. Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD АВ + СD = ВС + АD (1). Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС, поэтому окружность с центром О касается этих трёх сторон. Докажем, что она касается и СD.
Предположим, что СD не касается окружности, и пусть сначала СD не имеет с ней общих точек. Проведём касательную С′D′ ∥ СD (С′ на ВС, D′ на АD). Четырёхугольник АВС′D′ описанный, поэтому АВ + С′D′ = ВС′ + АD′ (2). Но ВС′ = ВС − С′С, АD′ = АD − D′D. Из (2): С′D′ + С′С + D′D = ВС + АD − АВ = СD (по (1)). Итак, в четырёхугольнике С′СDD′ одна сторона СD равна сумме трёх других сторон — это невозможно (сторона меньше суммы остальных). Если прямая СD — секущая, то аналогично (проведя касательную, параллельную СD, по другую сторону) получаем противоречие. Значит, окружность касается СD и вписана в четырёхугольник.
Предположим, что СD не касается окружности, и пусть сначала СD не имеет с ней общих точек. Проведём касательную С′D′ ∥ СD (С′ на ВС, D′ на АD). Четырёхугольник АВС′D′ описанный, поэтому АВ + С′D′ = ВС′ + АD′ (2). Но ВС′ = ВС − С′С, АD′ = АD − D′D. Из (2): С′D′ + С′С + D′D = ВС + АD − АВ = СD (по (1)). Итак, в четырёхугольнике С′СDD′ одна сторона СD равна сумме трёх других сторон — это невозможно (сторона меньше суммы остальных). Если прямая СD — секущая, то аналогично (проведя касательную, параллельную СD, по другую сторону) получаем противоречие. Значит, окружность касается СD и вписана в четырёхугольник.