Глава IX. Дополнительные задачи — с. 212
808. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями a и b.
Пусть высота (меньшая боковая сторона) h = 2r, а большая боковая сторона с. В описанном четырёхугольнике a + b = h + c, откуда с = a + b − h. Из прямоугольного треугольника, образованного большей боковой стороной, высотой и разностью оснований: с² = h² + (a − b)². Подставляем: (a + b − h)² = h² + (a − b)²; (a + b)² − 2h(a + b) + h² = h² + (a − b)²; 4ab = 2h(a + b); h = 2ab/(a + b). Тогда r = h/2 = ab/(a + b).
Ответ: ab/(a + b).
Ответ: ab/(a + b).
809. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.
В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. В ромбе противоположные углы равны, поэтому каждый из них равен 90°. Ромб с прямыми углами — квадрат.
810*. Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Пусть в четырёхугольнике ABCD ∠А + ∠С = 180° (1). Проведём окружность через три вершины А, В, D и докажем, что она проходит и через С. Предположим, что это не так. Пусть сначала С лежит внутри круга. Продолжим DС и ВС до пересечения с окружностью (например, луч ВС пересекает её в точке E, луч DС — в точке F). Угол ВСD — угол между хордами, поэтому ∠С = ½ (⌣ВАD + ⌣EF) > ½ ⌣ВАD (так как угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой заключённых дуг, дуга EF положительна). Угол А вписанный: ∠А = ½ ⌣ВED. Тогда ∠А + ∠С > ½ (⌣ВED + ⌣ВАD) = ½ · 360° = 180°, что противоречит (1). Если С лежит вне круга, то аналогично угол С измеряется полуразностью дуг и ∠С < ½ ⌣ВАD, откуда ∠А + ∠С < 180° — снова противоречие. Значит, С лежит на окружности, и около четырёхугольника описана окружность.
811. Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла AOB и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника АСВО можно описать окружность.
Точки А и В лежат на сторонах угла, и прямая, проведённая через А, перпендикулярна стороне ОА, а через В — стороне ОВ. Значит, ∠ОАС = 90° и ∠ОВС = 90°. В четырёхугольнике АСВО сумма противоположных углов А и В равна 90° + 90° = 180°, поэтому по признаку (задача 810) около него можно описать окружность (она построена на диаметре ОС).